基于星凸形隨機超曲面的概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波器*

劉樂文

（蘭州理工大學電氣工程與信息工程學院 蘭州 730050）

1 引言

在傳統(tǒng)目標跟蹤技術(shù)中，早期由于傳感器分辨率的限制，通常只能用點來描述目標，即目標每一時刻最多只能生成一個量測，只能對目標的質(zhì)心位置、速度、加速度等進行估計。隨著現(xiàn)代傳感器技術(shù)發(fā)展，高分辨率傳感器在工程中的應(yīng)用越來越廣泛，導致每個時刻可以得到不止一個量測［1～3］，而擴展目標跟蹤技術(shù)正是利用獲得的多個量測信息，通過信息融合運算，得到對目標形狀和運動狀態(tài)的估計。

近些年擴展目標跟蹤問題得到了廣泛的關(guān)注，而對擴展目標形狀進行估計是學者們研究的重點，因此，誕生了許多對擴展目標形狀建模的方法。例如Baum等將擴展目標建模為隨機超曲面模型（Random Hypersurface Model，RHM），該模型的核心思想是假設(shè)目標的量測源分布在目標邊界的一個縮小版本之上，量測由處于縮小版本邊界上的量測源和傳感器噪聲共同構(gòu)成。星凸隨機超曲面模型主要將徑向函數(shù)用傅里葉級數(shù)展開從而描述目標輪廓，由展開系數(shù)實現(xiàn)對擴展目標形狀建模，并結(jié)合尺度因子縮放擴展目標的形狀完成對其表面量測源的建模［4～6］。隨機超曲面模型假設(shè)目標產(chǎn)生的每一量測由對應(yīng)的量測源產(chǎn)生，這種建模方式弊端會造成量測方程具有較強的非線性，為了解決這個問題，論文選擇用容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter，CKF）算法對非線性偽量測方程的進行線性化處理。

由于存在雜波，并且擴展目標在每個時刻會產(chǎn)生若干個量測，這使得在擴展目標跟蹤問題中，量測簇與目標的對應(yīng)關(guān)系很難匹配。為了解決該問題，本文算法利用Bar-Shalom等提出了概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)（PDA）算法計算量測與目標的關(guān)聯(lián)概率，該算法核心思想是認為在觀測區(qū)域中的有效量測都有可能源自目標，只是每個量測源自目標的概率不同，將各自概率進行加權(quán)平均作為濾波的輸出結(jié)果［7～9］。

論文主要針對雜波環(huán)境下單擴展目標跟蹤問題，將點目標下PDA思想推廣到單擴展目標之中，提出了適用于雜波環(huán)境下的基于星凸隨機超曲面模型的單擴展目標跟蹤濾波器ET-SRHM-PDAF，該算法利用星凸形隨機超曲面模型對量測進行建模，然后給出了ET-SRHM-PDAF中量測似然、關(guān)聯(lián)概率等參數(shù)的詳細推導過程。在評價指標的選擇上，論文利用均方根誤差（RMSE）和擬Jaccard距離，誤差距離能夠直觀地反映出跟蹤效果，RMSE對應(yīng)擴展目標的質(zhì)心位置，擬Jaccard距離對應(yīng)形狀輪廓。論文由對不同形狀擴展目標（十字架形和五角星形）的跟蹤仿真實驗驗證了該算法的可行性。

2 星凸形隨機超曲面模型

首先介紹隨機超曲面模型的定義［10～11］，假定為從尺度因子Ki的隨機抽取值，其中Ki為一維隨機變量，當量測源Si落在目標輪廓Pi向目標質(zhì)心收縮Pj的曲面上，那么量測源可表達式可記為

其中，Xi表示質(zhì)心位置，Mθ(k)表示目標形狀參數(shù)。

一般而言構(gòu)建了隨機超曲面模型和傳感器量測模型后，可以建立起形狀參數(shù)與量測之間的關(guān)系，這為本文研究的星凸形擴展目標的輪廓估計提供了依據(jù)。

由星凸形隨機超曲面的定義可知，假設(shè)S為擴展目標內(nèi)所有點構(gòu)成的集合，記集合中任意一點與質(zhì)心的連線為線段g。若線段g上全部點依然在集合S中，即稱該跟蹤目標是星凸形［12～14］。星凸形隨機超曲面模型示意圖如圖1所示。

圖1 星凸形隨機超曲面模型示意圖

假設(shè)星凸形擴展目標的邊界用表示，則星凸形擴展目標的輪廓A(Mθ(k))可用徑向函數(shù)來表示。徑向函數(shù)記為K(Mθ(k))，定義為在已知角度時質(zhì)心與邊界點之間的距離。

當擴展目標形狀不規(guī)則程度較高時［15～16］，為了得到較為簡潔的徑向函數(shù)的表達式，利用傅里葉級數(shù)將徑向函數(shù)展開有

若角度?固定，則式（2）可改寫為

傅里葉級數(shù)展開的階級越高，目標形狀的輪廓細節(jié)則越具體。傳感器量測模型表達式為

由上式可得量測方程為

從式（8）可以看出，h*(·)建立了擴展目標狀態(tài)、量測噪聲和尺度因子與量測之間的關(guān)系，因此，將h*(·)稱為偽量測函數(shù)。

3 星凸隨機超曲面模型概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波器

3.1 概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法

狀態(tài)在時間上的條件均值可以寫成：

要計算γi(mk)，分為i=0和i=1，…，mk兩種情況，即

其中μf為雜波數(shù)目的概率密度函數(shù)，即

可計算關(guān)聯(lián)概率為

對目標狀態(tài)進行估計：

Kk為Kalman增益矩陣，其中：

相應(yīng)地的目標狀態(tài)估計協(xié)方差為

3.2ET-SRHM-PDAF跟蹤算法

假定在第k個時刻，用星凸隨機超曲面模型對目標進行建模，目標狀態(tài)向量表示為

其中xk表示目標質(zhì)心運動狀態(tài)（包括目標質(zhì)心位置、速度、加速度等）。

1）預測步

k+1時刻預測狀態(tài)，預測協(xié)方差為

其中，μk和Ck分別表示目標質(zhì)心運動的均值及協(xié)方差。

2）計算擴展目標關(guān)聯(lián)概率

k+1時刻的關(guān)聯(lián)事件的關(guān)聯(lián)概率在星凸形隨機超曲面模型中表達式為

式（9）將狀態(tài)向量xe，k，尺度因子，量測噪聲和量測映射到偽量測函數(shù)0，其中為新息，。

即擴展目標關(guān)聯(lián)概率可以表示為

3）更新步

融合后的擴展目標狀態(tài)估計和協(xié)方差估計表達式為

狀態(tài)估計的協(xié)方差如下：

4 仿真分析

仿真設(shè)計構(gòu)造兩種不同形狀（十字架形和五角星形）且做CV運動（勻速直線運動）的星凸形擴展目標，用本文提出的ET-SRHM-PDA算法和EKF-ET-PDA算法對目標進行跟蹤仿真實驗，然后對比兩種算法分別對不同形狀擴展目標的跟蹤效果。

仿真場景設(shè)置在帶有雜波環(huán)境的觀測區(qū)域[0，1700]m×[-200，1100]m內(nèi)存在單個做勻速直線運動的不規(guī)則擴展目標，總檢測時間為20s，采樣間隔為T=1S，探測概率PD=1.00，門概率PG=0.99。二維觀測場景下初始運動狀態(tài)為x0=[80m 80m/s 80m 40m/s]。

擴展目標每個時刻產(chǎn)生的量測數(shù)目服從參數(shù)為λm=20的泊松分布，系統(tǒng)雜波在觀測區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，且個數(shù)根據(jù)均值為5的泊松分布隨機生成。

ET-SRHM-PDA算法對十字架形狀目標跟蹤效果圖如下圖所示。

由仿真結(jié)果分析，圖2是兩種算法對十字架形狀擴展目標的跟蹤軌跡圖，從中可以看出，在雜波環(huán)境下，兩種算法對目標位置的濾波結(jié)果與真實軌跡的大致趨勢是一致的。圖3是在第11個時刻目標十字架形狀估計結(jié)果的放大圖，可以看出本文算法估計的輪廓更為貼近目標。

圖2 十字架形跟蹤軌跡圖

圖3 K=11時刻十字架形跟蹤局部放大圖

圖4和圖5給出了兩種算法質(zhì)心位置估計的RMSE和形狀估計的擬Jaccard距離，可以看出之心誤差大致在0.1m左右，擬Jaccard距離本文算法更小。

圖4 十字架形質(zhì)心估計RMSE誤差圖

圖5 十字架形擬Jaccard距離圖

ET-SRHM-PDA算法對五角星形狀目標跟蹤效果圖如圖6～7所示。

圖6 五角星形跟蹤軌跡圖

圖7 K=11時刻五角星形跟蹤局部放大圖

圖6和圖7分別是兩種算法對五角星形狀擴展目標的跟蹤軌跡圖和局部放大圖，從中可以看出，在雜波環(huán)境下，兩種算法對目標位置的濾波結(jié)果與真實軌跡的大致趨勢是一致的，本文算法紅色輪廓更為貼近目標。

從圖8和圖9看出，質(zhì)心估計兩種算法誤差接近，擬Jaccard距離本文ET-SRHM-PDA算法更小，說明本文算法對目標形狀估計比已有算法更為精確。

圖8 五角星形質(zhì)心估計RMSE誤差圖

圖9 五角星形擬Jaccard距離圖

5 結(jié)語

本文針對雜波環(huán)境下不規(guī)則形狀單擴展目標的跟蹤問題，對RHM模型以及星凸形RHM模型進行了詳細的介紹，其次對點目標概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法進行了詳細的推導，然后基于星凸形RHM，將點目標PDA算法推廣到擴展目標的概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)跟蹤算法。最后，構(gòu)造了兩種形狀的星凸形擴展目標跟蹤仿真，通過與已有算法比較，本文算法不論是在目標的運動狀態(tài)還是形狀估計結(jié)果上都更為精確。