LEO 空間碎片甚短弧角度數據初軌確定方法對比*

雷祥旭 夏勝夫 楊 洋 王嘯臻 張鄭元 李振偉 桑吉章

1(山東理工大學建筑工程學院 淄博 255000)

2(中國科學院國家天文臺 北京 100101)

3(武漢大學測繪學院 武漢 430079)

4(中國人民解放軍63768 部隊 西安 710600)

5(中國科學院國家天文臺 長春人造衛星觀測站 長春 130117)

0 引 言

隨著航天技術的不斷發展，人類空間探索活動越來越頻繁，越來越多的航天器被送入太空，軌道碎片的數量隨之大幅增長，空間目標之間的碰撞風險亦隨之增大，航天器的安全運行面臨著嚴重威脅。因此，近年來空間碰撞預警、航天器規避操作、空間碎片清除等技術的研究不斷深入[1-5]。開展這些研究的前提是對空間目標進行有效的監測和編目。空間目標包括在軌工作航天器和空間碎片，空間碎片是人類遺留在空間的廢棄物，包括完成任務的火箭箭體和衛星本體、火箭的噴射物、執行航天任務過程中的拋射物以及空間目標碰撞產生的碎片等[6,7]。

軌道確定是空間目標監測數據處理的主要步驟，按照處理過程可以分為初軌確定和軌道改進[8,9]，其中軌道改進又稱為精密定軌。前者是在沒有任何初始信息的前提下，利用短弧段的觀測數據，采用比較簡單的動力學模型（通常是二體模型）快速計算空間目標的初始軌道[10,11]。初軌確定的結果可以作為軌道改進的初始值，高精度的初軌參數可以節省精密定軌的時間，提高精密定軌的精度[12]。

初軌確定的方法有多種，包括Gauss 方法、Laplace 方法、Gooding 方法等經典算法[13,14]以及遺傳算法[15]等現代算法。現有方法一般適用于幾分鐘到幾十分鐘的觀測弧段，例如文獻[12]發現弧長超過400 s 的弧段初軌確定結果較好，隨著弧長增長，觀測數據增多，定軌誤差降低，但當弧長達到一定長度后，誤差有所增大并最終趨于穩定。但實測場景為非跟蹤模式觀測時，空間目標角度觀測數據弧長往往小于60 s，甚至不足20 s，有必要利用實際觀測數據測試各算法的性能和可靠性。另外，上述算法各有特點，不同觀測數據條件下的結果也有較大差別，為了在不同場景下得到盡可能精確的解，有必要進行不同方法之間的比較，比較結果有利于在不同場景下篩選最合適的算法，進而得到盡可能最優的解。

利用天基仿真角度數據和地基實測角度數據對現有的甚短弧初軌確定算法進行了測試和對比分析，得出了各種方法的優劣特性，可為相關軌道確定問題提供參考。

1 初軌確定方法

初軌確定涉及的算法主要包括Laplace 方法、Gauss 方法、Gooding 方法和距離搜索法。Laplace方法只需要被觀測目標的三次光學測量即可進行求解，通過構造方程，利用首尾兩時刻的觀測資料，計算中間時刻的位置和速度，然后通過經典二體問題求解初軌參數。基于此，Laplace 方法只需要初始的光學觀測資料，不需要任何初始值信息。該方法基本原理如下[12，14]。

在某時刻，空間目標觀測方程如下：

式中，r為空間目標位置矢量，R為觀測平臺位置矢量，L為觀測方向單位矢量，ρ為觀測距離。對式（1）進行二次求導可得

其中，ρ,ρ˙,ρ¨ 和r為未知量，其他量均可通過觀測值推導得到。假設給定r的初始值為r0, 式(5)可通過行列式和克萊姆法則求解，進而通過迭代求解得到最終的初軌參數。

Gauss 方法假設三個位置矢量都位于同一平面上，并根據幾何關系引入f和g級數，建立關于目標位置矢量的方程式并求解[12,14]。根據三個位置矢量都位于同一平面上的假設，引入未知系數c1,c2,c3，有

r1和r3分別叉乘式（6），可得

通過引入f和g級數的方式，可以把首尾兩時刻的位置矢量r1和r3表 示為中間時刻位置矢量r2和速度矢量r˙2的函數，通過變換處理，最終可通過類似于Lambert 問題的方式求解空間目標的軌道根數解。

文獻[14]和[16]提出了一種完全不同的方法，其基本原理是通過觀測距離的迭代估計，將角度問題轉換為Lambert 問題（已知兩個時刻的位置矢量求解開普勒軌道參數），稱為測距迭代方法。在測距迭代方法的基礎上，Gooding 又提出一種新的方法[13]。同樣是基于觀測距離的迭代改進， Gooding 方法與測距迭代方法的主要不同在于，前者采用三個時刻之間的時間差（即Δt12和 Δt32） 作為目標函數，后者通過t1和t3時刻假設的測距信息計算t2時刻目標相對于測站的位置矢量，該矢量在與t2時刻望遠鏡視準線垂直的平面上的投影即為目標函數[17]。Laplace 法、Gauss 法和Gooding 法的數學模型及公式推導過程可以參考文獻[6]和[14]。

在上述方法的基礎上，文獻[18]提出了距離搜索法，其實現過程如下。假設在t1,t2,...,tn時刻分別獲得某空間目標的角度觀測值赤經αi(i=1,2,3,...,n)和 赤緯δi(i=1,2,3,...,n)。測站到空間目標方向（即望遠鏡視線方向）的單位矢量Li(i=1,2,...,n)可以表示為Lxi,Lyi,Lzi分 別為Li在天球坐標系下三個方向的分量。利用ρ1和ρn表 示t1和tn時刻的觀測距離，如果已知ρ1和ρn， 即可根據ri=Ri+ρiLi(i=1,n)得到兩個位置矢量r1和rn，這樣純角度的初軌確定問題轉換為基于兩個位置矢量的軌道確定問題，即初軌確定Lambert 問題。可以在一定區間內以一定步長分別假設ρ1和ρn的值，這樣每一個觀測值組合可以算出一組軌道參數，基于此參數可以計算其他時刻的角度觀測值，并與實際觀測值進行比較。根據殘差進行判斷，篩選出可能的定軌結果，進而根據半長軸和偏心率等約束可篩選出最優解。

2 地基監測LEO 目標

2.1 仿真地基監測LEO 目標數據

設定光學望遠鏡參數并仿真產生LEO 目標監測數據。設定光學監測站地心地固系坐標，光學望遠鏡視場為6°×6°。仿真時間為2014 年11 月15－16 日。仿真產生空間目標軌道，根據可見性條件[20,21]仿真產生角度觀測數據[22]，得到120 個目標的觀測數據，采樣頻率為1 Hz。目標的軌道分布如圖1 所示。

圖1 仿真觀測LEO 目標軌道近地點高度與偏心率分布Fig. 1 Orbit distributions of LEO objects for generating simulated observations

這些觀測數據弧長均大于10 s，但在實際計算時會根據要求截取弧段的前30 s 或者60 s。基于仿真角度數據，添加不同的觀測誤差，進行初軌確定，分析觀測值角度誤差對定軌的影響。初軌計算結果分別列于表1 和表2。

根據表1 和表2，在最理想的情況下（角度誤差為零時），Gauss 方法的初軌確定成功率非常高，同時半長軸的誤差也較小（50 km）。隨著角度誤差增大，初軌確定成功率下降并且初軌誤差顯著增大，當角度誤差為5＂時，半長軸誤差達到1500 km（見表2）。對比這三種方法可以發現，Laplace 方法的成功率最低；當角度誤差很小（≤0.5＂）時，Gauss 方法誤差最小，成功率也較高。對比表1 和表2 可知，同等誤差條件下，隨著觀測數據弧長增大，Gauss 方法和Gooding 方法初軌誤差顯著降低，而Laplace 方法初軌誤差變化不大。

表1 仿真地基監測LEO 目標10～30 s 弧長數據初軌結果Table 1 IOD results of the arcs with length ranging from 10～30 s of LEO objects with ground-based observations

表2 仿真地基監測LEO 目標30～60 s 弧長數據初軌結果Table 2 IOD results of the arcs with length ranging from 30～60 s of LEO objects with ground-based observations

2.2 地基實測LEO 目標數據

采用中國科學院國家天文臺長春人造衛星觀測站的角度觀測數據進行計算。長春人造衛星觀測站光電陣由8 臺口徑15 cm、焦距15 cm 的光學望遠鏡組成，每臺望遠鏡配置1 臺分辨率為3000 pixel×3000 pixel 的CCD。此外還配置了8 臺圖像處理計算機，1 臺GPS 時鐘，電控系統，圖像采集與處理系統等。光電陣監視天區高達1590 平方度，主要觀測0.5～1 m 的空間碎片，角度誤差為9＂，角度數據時間間隔約1.7 s[23]。該設備主要用于空間碎片的觀測和研究。

利用其2017 年8 月24－26 日的觀測數據，結合TLE 目標編目庫數據，通過關聯找出已編目TLE 目標的數據。合并重復目標后統計發現，所選三天時間內共觀測到1960 個空間目標，觀測一次和兩次目標的數量分別為529 和319，占比為27%和16%（見表3）。

表3 識別出的空間目標和觀測弧段數量Table 3 Number of the identified space objects and the arcs

利用已知目標的觀測弧段，對初軌確定方法進行測試，并對初軌結果進行分析。圖2 給出了觀測數據弧長分布，可以看出弧長小于30 s 的弧段占比約為40%，小于60 s 的弧段占比約為70%，即大多數都屬于甚短弧光學弧段。圖3 給出了地基光電陣觀測到的目標軌道分布情況。根據圖3 可知，觀測到的目標大部分是LEO 目標，軌道高度在2000 km 以下，傾角大部分位于60°～105°。

圖2 空間目標觀測弧段數目和觀測數據弧長累計分布Fig. 2 Arc number of the space objects and the accumulated ratio of the arcs with different length

圖3 地基光電陣觀測到的目標軌道參數分布（近地點高度、傾角與空間目標數量）Fig. 3 Distribution of the orbit elements of the space objects obtained by the ground-based EO array (Altitude of the perigee，inclination and the number of space objects)

利用2017 年8 月24 日長春光電陣的角度數據，通過截取不同長度的觀測數據，進行不同方法的初軌確定試驗，分析觀測弧段弧長對定軌結果的影響（見表4）。由表4 可知，四種算法的整體表現與表1 和表2相似。具體而言，對長春光電陣角度數據進行初軌確定，距離搜索法成功率較高，并且誤差較小，Laplace 方法成功率最低；無論采用哪種方法，初軌誤差均較大，這可能是由于角度誤差太大引起的。另外，當觀測數據弧長從10～30 s 變為30～60 s 時，四種方法的初軌成功率顯著提高，采用Laplace 方法和Gooding 方法時初軌誤差基本不變，但采用Gauss 方法時，初軌誤差顯著降低。總體而言，距離搜索算法表現最好，軌道計算成功率最高并且誤差最小。以上結果說明，距離搜索算法適用于實測地基甚短弧角度數據的定軌。

表4 地基光電陣監測LEO 目標觀測數據初軌結果Table 4 IOD results of space objects observed by the ground-based EO array

2.3 仿真天基監測數據

設定天基監測衛星的軌道為圓軌道，軌道高度為610 km，軌道傾角約64.5°，望遠鏡指向監測衛星軌道面的法向方向，觀測頻率10 Hz。在TLE 目標編目庫中，隨機選取部分軌道高度＜5000 km、偏心率＜0.01的空間碎片，仿真角度觀測數據。首先，產生觀測平臺和空間碎片在2015 年1 月16－19 日的“真軌道”[19]，然后反算觀測目標的角度觀測數據（赤經和赤緯）。選取720 個目標的首個弧段進行初軌確定試驗。弧段長度大部分為10～20 s，其中146 個觀測弧段弧長＜10 s，利用≥10 s 的574 個弧段進行試驗。由于Laplace 方法的成功率基本為零，因此表5 和表6 給出了利用另外兩種方法進行初軌確定的結果。

由表5 可以看出，用Gauss 方法進行初軌確定，當觀測數據弧長位于10～30 s 時，與地基觀測數據相比，天基數據的初軌成功率顯著降低，并且天基數據初軌誤差顯著大于地基數據初軌誤差，這可能是由于天基數據平均弧長小于地基觀測數據導致的。比較表5 和表6 可知，弧長增大，初軌誤差顯著降低。例如，當角度誤差為10＂，弧長位于10～30 s 時，初軌半長軸誤差達到4000 km，而當弧長位于30 ～60 s時，半長軸誤差降為800 km。根據Gooding 方法的結果，地基監測數據也整體優于天基監測數據。總體而言，隨著角度誤差增大，Gauss 方法和Laplace 方法初軌確定成功率迅速下降，并且初軌誤差急劇增大；Gooding 方法初軌結果受角度誤差的影響不是很大，并且增加弧長可顯著降低初軌誤差。

表5 仿真天基監測LEO 目標10～30 s 弧長數據初軌確定結果Table 5 IOD results of the arcs with length ranging in 10～30 s of LEO objects with space-based observations

表6 仿真天基監測LEO 目標30～60 s 弧長數據初軌確定結果Table 6 IOD results of the arcs with length ranging in 30～60 s of LEO objects with space-based observations

3 結論

初軌確定是進行空間目標編目的關鍵環節，本文利用地基光電陣實測角度數據和仿真天基、地基光學監測LEO 目標的角度觀測數據，進行了初軌確定的常用算法比較。為進行詳細的算法測試，將觀測數據按照弧長分為10～30 s 和30～60 s 兩組，角度誤差分為0＂, 0.5＂, 5＂, 10＂四組進行分析。結果表明，在初軌確定成功率和初軌參數誤差兩個方面，距離搜索算法表現最好，其次為Gooding 方法。初軌確定成功率和初軌誤差受弧長和角度誤差的共同影響，弧長越長，誤差越小，而初軌成功率越高，初軌參數誤差越小。當誤差很小 (＜1＂) 時，可以考慮采用Gauss 方法，誤差較大時可以考慮采用距離搜索算法。總體而言，甚短弧角度觀測數據條件下距離搜索算法在解算成功率和初軌誤差兩方面均表現優異，適用于LEO目標初軌確定，具有較大的應用潛力。