新加坡數學教育學教材分析與啟示
——聚焦《中學數學教學資源手冊》*

陸 珺

(蘇州大學數學科學學院 215006)

新加坡學生在TIMSS和PISA測試中始終名列前茅[1-5]，這不僅是出色的數學教學工作的成果，更是優質的數學教師教育的成就．分析新加坡數學教師教育之教材，尤其是關乎教學素養養成的數學教育學教材，有助于學習與借鑒新加坡在教材建設、教師教育乃至數學教學方面的諸多良策．

1 概況

《中學數學教學資源手冊》(Teaching Secondary School Mathematics:A Resource Book[6]，下文簡稱《資源手冊》)是新加坡南洋理工大學國立教育學院數學與數學教育學術組(Mathematics and Mathematics Academic Group，簡稱MME)在為職前數學教師開設的數學教育學課程教學中使用的主要教材．與學生在其余數學課程學習中沒有指定教材亦無需個人購置教材不同，該書是修課的必備書籍，足見其在數學教師教育中的分量之重．其初稿誕生于1997年，之后數年間在被印刷用作內部教學講義(圖1)的同時經歷持續修改，并于2003和2004年兩度在講義基礎上被裝訂成冊，直到2005年正式出版，再于2007年由來自MME(在職18人，退休2人)和新加坡教育部(1人)的21位作者參與修訂后再版(圖2)．因此，新加坡一流數學教研團隊的十年心血與傾力合作，使這部教材十幾年來經久不衰，并陸續為他國教師教育所采用．

圖1 圖2

該教材(2007版)共438頁，由主題教學(288頁，約占2/3課時)和閱讀材料(124頁，約占1/3課時)兩大版塊構成內容主體(圖3)．不同于國內同類教材多以數學教學理論為線索呈現內容，“主題教學”版塊作為該教材的核心內容，其15個單元分別以新加坡中學數學課程所涉及的具體知識塊的教學為載體而展開．作為理論補給的“閱讀材料”版塊，其7個單元均無長篇累牘的理論闡述，而是以大量表格、圖示、實例及圖片為理論作概括、提煉、梳理與解釋．

圖3

2 “主題教學”版塊

該教材第1版主編和第2版第一主編李秉彝(Lee Peng Yee)教授，曾專門撰文[7]探討數學教師教育中的學科知識(subject knowledge，簡稱SK)到底應取教學所需還是教師所需．若取前者，那么僅需框定中/小學數學課程的幾個主題；而取后者，則應超越中/小學數學課程內容，要求數學教師不僅要掌握授課內容，還要學習更多的數學知識以使自己在教學中更加自信．多年來，關于SK課程該教什么，怎樣去教以及由誰來教的討論使其成為一門有些爭議的科目．盡管國立教育學院的SK課程已定位于教師需要的數學，但是，仍有不少數學家和數學教育專家指出，SK課程的數學內容不應只關注是否超越了中/小學數學課程內容，更要關注其是否與中/小學數學課程內容相聯系[7]．李秉彝認為，取教師所需的SK課程教學的關鍵在于確保其數學既“嚴謹”又“振奮人心”，對此可行的方法便是在數學和教學之間建立緊密聯系[7]．由此不難理解該教材對于“主題教學”版塊的設置與構思，為何對中學數學課程內容既重視基礎又有所超越，又為何能夠在數學主題與教學論述間切換自如．該教材能夠在同類教材中獨樹一幟，基本可歸因于其“主題教學”版塊特色鮮明，具體包含以下幾點．

2.1 追溯知識歷史

不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構．[8]這一理解必然要與學科知識的來龍去脈相聯系．15個主題教學單元的寫作無一例外地對主題知識進行了追根溯源，部分還介紹了該主題下的學科分支的發展概況．譬如“代數的教學”，盡管作為中學數學的大比重內容，一頁多篇幅的開篇闡述與其他單元的開篇相比已屬重量級，但讀來毫無雜亂之感．作者寫道，“代數學的產生源于對求解方程的一般方法的研究．作為一種符號體系的代數學的歷史發展可為教師提供有益的教學借鑒．關于代數學的歷史有大量的閱讀材料，如……(網址)”．隨后，作者就“什么是代數”的問題，先逐年遞進地列舉幾位數學家的觀點，后以Usiskin提出的代數學的4個定義作總結，并為每個定義給出簡單的解釋和舉例．再如“統計的教學”，作者用第一段講述“統計是收集、組織、展示和解釋被稱為‘數據’的‘數值的事實’的科學．‘統計’這一術語源于拉丁文中指代國家的status一詞，由18世紀中葉德國學者Gottfried Achenwall將其改造為statistics，意為國家對數據的收集、處理和使用．”而后作者用三個段落描繪了一段統計學發展簡史，從統計分析的先驅及其貢獻到另兩位早期研究者的主要工作，再到進入統計被用于在不確定下作決斷的19世紀時，某位統計學家的開拓性工作，最后闡述20世紀四位杰出的統計學家的工作．

2.2 梳理數學概念

對相應主題涉及的數學概念進行梳理，其處理方式中絕大多數是介紹核心概念，有個別是介紹課程中的概念變化，篇幅因主題內容多寡而或長或短．如在“算術的教學”中，作者先列出新加坡義務教育階段數學教學大綱規定的7個算術教學主題：實數，近似和估計，科學記數法，比、比率和比例，百分數，速度，日常數學，再列出小學數學新教學大綱在算術教學中不再涵蓋的主題或概念，包括大于107的整數，不等號<,>,≤,≥的使用，最小公倍數和最大公約數等13個條目，由此幫助職前數學教師把握教學任務的即時變化和中學新生的認知基礎．另外，對于幾個內容較多難度較大的主題，如函數圖象、幾何、三角學等，在梳理概念時不乏表格、流程圖、思維導圖等輔助表征形式．

2.3 分析學習困難

分析學習困難屬于確定教學方法和設計師生活動的奠基性工作，是各位作者在闡述主題教學時比較濃墨重彩的部分．如“代數的教學”，作者用一頁半篇幅分析學生學習代數的三個困難：不熟悉代數的句法結構，混淆字母的不同使用以及對代數感覺抽象，而后配以多個實例來說明其具體表現形式和針對性教學方法．其中對于第一個困難，給出了兩個教學方法建議：第一，多給學生提供代數表達式或方程與口語間的互化練習；第二，教學中敘述代數表達式或方程時，應使用口語，例如應把方程2x-1=11念作“一個數的兩倍減去1，得到的結果是11”．作者還進一步指出，對于學生來說，尤為困難的是轉化前后不連貫的口語表達．為此其引用了Koay在1994年的一項研究中的例子加以解釋，即當學生回答不連貫的“Jack的年齡是Mark的5倍．若Jack今年x歲，那么Mark幾歲？”時，要比回答連貫的“Jack的年齡是Mark的5倍．若Mark今年x歲，那么Jack幾歲？”困難得多．

2.4 闡釋教學方法

教學方法是主題教學各單元的核心內容．此處方法所指非講授法、討論法、發現引導法等高度概括的教學論名詞，而是不乏操作指導的教學策略層面的具體闡述．如在“代數的教學”中，作者在分析代數的學習困難后提出6項教學策略，包括利用算術搭建通往代數的橋梁，強調一般化策略，強調關系性理解，使用具象的材料，強調與模型方法的聯系和在訓練、實踐中提供變式，每一項策略后附有解釋性說明的數行文字，顯得言簡意賅．又如在“幾何的教學”中，繼四頁半的范希爾理論介紹之后，作者就多邊形內角和公式(n-2)×180°的教學，按思維方式的差異劃分為直觀教學、演繹推理、合情(歸納)推理與猜想、基于問題的教學、以現實世界為背景的方法、利用動態幾何軟件等6種教學方法，并為每種方法設計3～5步不等的教學程序，輔之以必要的圖形或表格說明．作者認為，各種方法可能給人以迥異的印象，但是實際的課堂教學，往往需要不止一種方法．

2.5 設計活動樣例

無論從教材的定位而論，還是從實際的篇幅來看，活動樣例的設計都是各單元的重頭戲．這里包括職前數學教師在專業訓練中需要經歷的兩類活動，一類屬于學習活動，促進其對數學知識和教學方法的理解；另一類屬于教學活動，給予其教學實踐和日后教學工作的建議，著眼于促進中學生對數學知識的理解．

學習活動的樣例是極其豐富的．如“三角學的教學”就由易到難地提供了9個樣例．第1個要求職前數學教師學習該單元在核心概念部分描繪的“中學三角學主題知識圖”并討論其呈現的教學順序，而后選擇其中一個主題寫出具體的教學目標；第9個要求職前數學教師設計一些有助于了解中學生如何進行三角學問題解決的訪談問題，如“你是如何知道的”“你從這個圖形中看出了什么”，并嘗試去訪談一些中學生，最后在班里匯報訪談結果．

教學活動樣例的豐富程度亦不相上下，且 融合了其他主題知識，形式新穎有趣．如“測量的教學”中有一個探究七巧板的教學活動方案：若七巧板中的小正方形面積為1，取出所有或部分進行重新拼接，使之滿足以下要求：(1)面積分別為2,4,8的三角形；(2)面積分別為2,4,8的正方形；(3)面積分別為2,3,6的長方形(非正方形)；(4)面積分別為2,4,6,8的平行四邊形(非長方形或正方形)．

2.6 推薦學習資源

作為一本資源手冊，指向明確的教學方法和活動樣例當屬課程學習的主體性資源，但并非全部，課外學習資源的推薦亦是不容忽視．對此最為顯眼的便是單元末尾的拓展閱讀欄目，其中列出了若干與其主題知識和教學相關的專業書籍或期刊文章的詳細信息，供職前數學教師進行拓展學習．如內容較多的“幾何的教學”，按活動、教學、范希爾理論、幾何畫板資源、其他等5個類別對20余個條目作了區分，以方便讀者查找．此外，還有散布在字里行間的眾多網站地址(如學習歐幾里得幾何的網站)和以附錄形式呈現的各種補充材料(如包含31種數位的美、歐名稱的大數列表，四種繪圖軟件的下載網址、開發團隊、使用特點與教學建議)，也是不可多得的資源儲備．

3 “閱讀材料”版塊

1997年，新加坡教育部長在題為“思考的學校，學習的國家”的關于未來教育制度展望的演講中，提出了三項新的舉措：國民教育，信息技術和思考技能．其中的“思考”，意味著多學少教．對應到數學課程，即希望學生在學習過程中能有更多的主動性，能更關注學習的過程，而且盡可能地在情境中學習數學[9]．這些想法似乎被一脈相承地遷移至數學教育學課程，因為在“閱讀材料”版塊中，“主動性”“關注過程”“情境”等要素得以落實，這于教學理論的寫作而言頗為難得．再從內容選取來看，誠然7個主題只是數學教學理論的冰山一角，但卻是國家特色、研究優勢或時代需要的典型代表．譬如，自1990年新加坡教育部發布數學課程框架以來，數學問題解決一直處于新加坡數學課程的核心地位；模型法自20世紀80年代在CDIS教科書中出現后，即在第四屆東南亞數學教育會議上被推廣，成為新加坡學校數學的一個顯著性的標志[10-11]；信息技術既是國家層面的改革舉措之一[9]，亦是教育現代化發展的必然趨勢；改變教學方法的時候，需要同時改變評價方式[9]，等等．總之，《資源手冊》在該版塊中呈現的新意可歸納為以下三個方面．

3.1 列舉實例

該版塊的理論闡述因有大量實例輔助而免于空洞與枯燥．其舉例并非呈現寥寥數言的事例，而是描述生動具體的且動輒占據了一兩個頁面的教學情境，或是呈現加工成板書形式的文本框，又或是附上學生作業的掃描圖像等．如在闡述數學教育的6個學習理論時，作者將其中5個都置于一個特定的、具體的教學情境中，對此解釋為“以便對理論的應用更具說服力和現實意義”．又如在探討關于問題解決教學的3種認識時，作者分別用“探索多邊形的內角和”“使用模型法解代數題”以及向量中的“蒼蠅和蜘蛛問題”(蒼蠅和蜘蛛分別在不同起點以不同方向和速度爬行，要求計算蜘蛛抓到蒼蠅時的位移)的教學來描述什么是通過問題解決來教學，什么是關于問題解決的教學和什么是為問題解決而教學．

3.2 構思問題

盡管沒有像主題教學中的活動樣例一樣占據突出位置，但閱讀材料若干單元內的討論題，實為留待職前數學教師主動探究的良好素材．如作者在“數學教育的學習理論”單元構思了8個討論題，其中第2題要求設想在教學一個特定的數學主題時，如何安排舉例、問題解決、反例、規則(定理)、概念、技能、定義、應用等項目的教學順序，若有需要，還可加入自己定義的項目，然后與同伴分享各自設計的教學順序；第3題為：“上述所有的理論都由西方人發明，但是一些西方國家的學生的數學成績并不出眾．我們需要東方的數學學習理論嗎？如果答案是肯定的，那么東方的學習理論該是什么樣子的？”不得不說，這些立意高遠、思想深刻的問題值得認真思考，甚至頗費一番心力去探索．

3.3 提供資源

該版塊延續作為資源手冊的教材特征，除推薦閱讀材料和學習網站外，更直接呈現大量潛在的教育資源．如“中學課堂中的數學問題解決”單元，設有拓展閱讀欄目，列出了包括Schoenfeld代表作在內的10余部相關著作．而后的附錄中，更是收集了45道適用于問題解決教學的數學題．再如作者用多達12頁的篇幅在“工作規劃與課程計劃”單元呈現詳細的樣例，這對于職前數學教師無疑具有明確的實操指導意義．另外在為闡釋理論而列舉的大量實例中，不乏可轉化為教學資源的內容．如闡述測試項目的設計策略時所列舉的諸多創意數學題，不僅有助于當下的理論消化，還給職前數學教師以啟發，供其直接或間接地用于日后教學．

4 啟示

4.1 教材建設層面

從《資源手冊》十年磨一劍的出版歷程可知，品質上乘的教材必然離不開時間的打磨與沉淀，且往往是集體智慧的結晶，即便是在知識日新月異的信息時代，照樣經得起歲月的淬煉．因此，與其在教材建設中不斷推陳出新，不如寧靜致遠，力爭精品佳作的問世．另外，該教材落腳于“資源手冊”，處處是對癥下藥地指點迷津，而未見繁雜冗長的理論堆砌，這在同類教材中似一股清流．事實上，一部教材的知識承載量有限，一門課程的課時數亦有限，摒棄洋洋灑灑面面俱到的套路，轉向為師生打通獲取信息資源的渠道，讓教材成為教師教學與學生學習的向導，方顯難能可貴．

4.2 教師教育層面

脫離具體學科知識的學科教育學課程，易導致內容空洞、收效甚微，使得學生的職初實踐可能成為其曾經教師的影射，或陷于教條主義，過分依賴教參．曾有國內學者指出，“傳統職前《數學教學論》課堂教學多是‘教學論+數學例子’，沒能實現教學實踐性知識與教學理論性知識的結合，也沒有實現數學知識與教學法知識的真正融合，也就談不上數學教學知識的發展了．”[12]而《資源手冊》中15個主題教學單元，先就特定數學內容的學習困難予以條分縷析，再提出具體入微的教學指導和匠心獨具的教學活動，這既像升級版的教學參考書，又像簡縮版的實操指導手冊．因而，其指導下的數學教育學課程教學，像是在數學教師的職前階段便施以我們國內職初階段才有的訓練，這為我們改進職前教師教育提供了新的視角．同時，其對知識歷史的考究與對數學概念的重視，還有在學習活動樣例中強調對數學知識的深刻理解等，正是對“高觀點”思想的生動實踐．

4.3 數學教學層面

新加坡的數學教育早已引起世界關注．美國中西部的許多中小學紛紛引進新加坡的數學教材，以期利用其教學模式來提高美國學生的數學成績[13]．盡管《資源手冊》無法直接為中學生所用，但其豐富資源可啟發教師創設一些與時俱進的教學舉措．如講授如何在Excel中制作表格與編輯公式，從而生成斐波那契數列；布置網絡學習任務，要求上網自學尋找素數的方法，而后作答相應的問題；發放用以引導學生通過操作幾何畫板而求解問題的學習任務單，等等．相當部分的教學活動樣例需要信息技術的支持，其開展是在進行數學教學任務的同時滲透信息意識和計算思維等信息技術的核心素養，這為不同學科間核心素養的協同培育作出示范．又如，在閱讀材料論及替代性評估的部分，多達10種替代性評估方法的列表分析，有助于我們跳出傳統紙筆測試的束縛，用更開放的視界與更理性的心態來改進數學教學評估．

致謝：新加坡南洋理工大學國立教育學院李秉彝(第1版主編，第2版第一主編)和Toh Tin Lam(第1版、第2版作者之一)兩位教授在本文寫作中提供資料并接受作者訪談，在此表示誠摯謝意．