最佳訂購策略問題建模與分析

宋新樂 劉浩

摘要：最佳訂購策略通常是指最優的訂貨間隔，最優的訂貨數量，最優的庫存量。一個良好的訂購策略通常可以幫助商家更好的經營。本文從數學建模分析的角度出發，試圖根據實際情況給出一個較好的訂購策略。

關鍵詞：訂貨策略；銷售機會；數學建模；泊松分布

1 問題描述

某公司計劃在武漢沃爾瑪超市營銷旗下某種高檔電子產品，這些超市的位置如圖1所示，編號名稱及預估需求件數分別為：1武漢宗關西匯分店鋪4.1件，2南湖城市廣場店鋪3.2件，3武漢徐東大街分店鋪5.0件，4光谷坐標城店鋪4.0件，5武漢奧山店鋪3.7件，6漢陽鐘家村店鋪3.5件，7漢陽店鋪2.3件，8菱角湖萬達店鋪2.1件。

公司要求制訂各店鋪的訂購策略，給出每周期末檢查商品庫存量，當庫存降為0或是少于一定件數時上報訂購件數，公司在下一周期前調貨送到各店鋪。如果每批次進貨費用100元，每售出一件商品收益700元，一個周期內不能售出時每件貯存費用100元，不計當周期內已售出的商品的貯存費用。

問題如下：

（1）為使每一周期利潤最大，各店鋪的訂購策略應當如何制訂？

（2）在以上訂購策略下，失去銷售機會的可能性有多大？

（3）如果在以上策略下，各店鋪允許就近調貨，每次調貨費用為100元，則公司每周期的利潤會增加多少？

2 問題求解

2.1 各店鋪的訂購策略

本部分所用到的數學符號及含義如下：? Q：每次訂購的商品數；a：每周期的銷量；t：兩次訂購商品的間隔周期；k：訂購周期平均存儲件數；n：每次訂購費用；m：每件商品的利潤；x：每件商品每周期的存貯費；y：每周期末的庫存件數；z：每周期利潤。

假設各店鋪將從公司那里一次訂購Q件商品，每周期的銷售量為a。可以得到兩次訂購商品的間隔周期數為t：

假設商品在訂購周期內是均勻銷售的，在一個銷售周期內，商品儲存量在周期初為訂購量Q，周期末為0，可以近似得出一個訂購周期內商品的平均儲存水平k為：

由于當期的存貯費用不計，實際存貯周期為（t-1），假設訂購一次的費用為n，每件商品獲利為m，每件商品每周期的存貯費為x，第i周期末的庫存為yi，每周期利潤為z，即可獲得以下關系式：

為了便于敘述，以第一家店鋪為例進行分析，初步化簡z得：

將已知條件分別代入式（1）（2）（3）（4）并化簡得：

由此可求得最大利潤為：z=2872.5。

但注意到t只能取1，2，3，…，而z關于t的導數：

對于所有的店鋪，由于a≥2，t只能取1，2，3，…，故小于0，為減函數，故取t=1，進而a=Q。

此時，z=700a-100=2770，Q取4.1。

顯然，訂購量須為整數，故取Q=4和Q=5時，對每周期利潤z分別進行驗證，即可以求得當進貨量：Q=4件時，最大利潤為z=2700。

依照此方法，分別對第2、3、5、6、7、8、9家店鋪進行建模與計算，由結果可以得到最佳進貨量，將此進貨量作為每個周期初的目標庫存量，可建立最佳訂購策略，見表1。

3.2 失去銷售機會的概率

本部分所用到的數學符號及含義如下：

λ：每周期售出商品均值；P：銷售概率；K：每周期銷售量；e：自然對數；l：每周期初庫存；Pb：失去銷售機會的概率。

由于每個店鋪之間沒有相互影響，每個周期的銷售量也沒有相互聯系，可以認為銷售量符合泊松分布。其概率函數為公式：

為了敘述方便，還是以第一家店鋪為例進行分析，下文中只給出計算結果。將已知條件代入式7，將計算結果列入表2。

分析以上結果，可以得到，當需求量大于庫存量時，即失去銷售機會。對于第一家店鋪來講，此概率為：0.3907。即Pb=0.3907。

利用同樣的方法對其他店鋪進行計算，可得每個店鋪失去銷售機會的概率，將計算結果列入表3。

3.3 允許調貨下的利潤增加

本部分所用到的數學符號及含義如下：

Zi：第i家店鋪增加的利潤；n：調貨所需花費；m：每件商品利潤；P（i）：發生i情況的概率；Pij：第i家店鋪銷量為j時概率。

假設可以產生調貨，須滿足以下3個條件：

（1）店鋪只能從距離最近的那個店鋪調貨；

（2）調貨時，調出的店鋪有貨；

（3）需求件數小于等于調出店鋪的庫存。

通過求解每個店鋪每周期可以增加的利潤，即可求得公司每周期的利潤的增加值。

首先根據地圖，測量出每兩個店鋪之間的距離，測量結果分別見表4。為了簡化計算，此距離只考慮直線距離，未考慮實際道路情況，在表4中給出相對距離大小。

根據測量分析，可建立調貨關系的店鋪在表4中用紅色標出，可以得出調貨關系為：（1，8）（2，7）（3，6）（5，2）（6，3）（7，8）（8，1）（9，1），為了分析方便，括號內表示前面編號的店鋪可以從后面編號的店鋪調貨，而后面編號的店鋪不可以從前面編號的店鋪調貨。同時，為了簡化計算，只考慮一層調貨關系。例如，店鋪2從店鋪7調貨的同時，店鋪7不因自己沒貨而從店鋪8調貨；店鋪1在調貨給8的同時，不再調貨給同時缺貨的9。

根據以上假設，有3.2計算的各個店鋪顧客需求量的概率，可以建立每個店鋪從對應店鋪調貨的關系式。為了敘述方便仍是以第一家店鋪為例進行分析，其他店鋪的分析計算方式仍是與第一家店鋪分析計算方式相同，下文中只給出計算結果。對于第一家店鋪武漢宗關西匯分店鋪，將與其有關的店鋪8和兩家分別的訂貨量與銷售量等已知條件列入表5，括號中為每周期初的庫存量。

由于店鋪1在每個周期初始時有4件商品，店鋪8在每個周期初始時有3件商品，產生調貨的情況是：

（1）店鋪1需求量為5件，店鋪8的需求量小于等于2件；

（2）店鋪1需求量為6件，店鋪8的需求量小于等于1件；

（3）店鋪1需求量為7件，店鋪8的需求量等于0件。

兩家店鋪相互獨立，店鋪中各個需求量之間也相互獨立，故可用概率加法計算店鋪8的需求量，用乘法計算以上三種情況發生的概率。通過以上三種情況的計算，可以得出增加的利潤z，表達式如下：

代入表5中數據進行計算，可以得出z1=117.08。

表6表示每個店鋪在允許調貨的前提下所能增加的利潤和利潤的總和。

4 模型評價改進

本篇文章，從數學建模分析的角度出發，采用了較為簡單的數學模型，采取了必要的簡化措施，較為全面的解決了所提出的問題。

對第一問，只從局部即各家店鋪的利潤入手，利用所給的平均預估銷售量作為參考量，列出了各家店鋪的利潤函數，得到了最佳訂購量。將此訂購量作為目標庫存，建立了一個以每個周期初庫存量為參考的最佳訂購策略。第二問，同樣是從局部即每家店鋪進行分析，采用了泊松分布的模型，求出了失去銷售機會的概率。第三問，對“就近”的問題做了較大的簡化，結合第二問中給出的需求概率，得出了在簡化分析的情況下各個店鋪及其公司在每個周期利潤的增加。

針對模型的評價和提出的不足，為了更貼合實際，更好的解決實際問題，在今后針對此類問題的建模與分析中可以提出以下改進建議：

（1）對需求量的預估，可以采取更靈活的模型，考慮銷售實際中的動態變化更加準確的分析；

（2）對題目中的就近問題，可以進行更加貼近實際的考慮，例如，考慮實際路線的距離、店鋪所處位置的交通情況等。對于調貨問題，應該允許相互調貨，還應允許店鋪可以同時給多家店鋪調貨等；

（3）在模型中，應該從公司的整體出發，通盤考慮各個店鋪，如在地理位置優越的地方，如店鋪1、2，可以增加庫存，以備其他店鋪調貨。

參考文獻：

[1]陳光亭， 裘哲勇. 數學建模[M]. 高等教育出版社， 2014.

[2]同潔東. 鞋子零售商的最優訂貨策略數學建模研究[J]. 科技創業月刊， 2016， 29（6）：2.