中考二次函數模型試題的源與流

石樹偉 (江蘇省揚州市廣陵區教師發展中心 225006)

無論是知識的綜合性還是思維的層次性，二次函數都當之無愧地占據著初中數與代數領域的“制高點”，是肩負區分功能的中考壓軸題的命題熱點．當前，二次函數試題多為“拋物線外衣+幾何內核”的命題方式，即以拋物線為背景，將二次函數與三角形、四邊形、圓等知識結合起來考查學生的綜合應用能力，這樣的考查方式“人為拼湊”痕跡嚴重，掐頭去尾燒中段，對二次函數的來源和應用關注不夠，偏離二次函數內容的課標要求，對數學建模核心素養的考查缺失．因此，二次函數模型試題應運而生，越來越成為考查熱點．

1 認識二次函數模型試題

1.1 從一道試題說起

例1(2013江蘇揚州)如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B,C不重合，連結PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E．

圖1

(1)在圖1中找出一對相似三角形，并說明理由；(2)若點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍．

1.2 二次函數模型試題及其考查思路

例1在題目中根本沒有出現任何“函數”或“二次函數”之類的字眼，但最終卻是用二次函數來解決問題．因為需要學生自己構造二次函數，我們把這類試題稱為二次函數模型試題．二次函數模型試題與一般的二次函數試題不同，它關注了二次函數的來源與應用，有利于考查學生的數學建模素養和應用意識．

二次函數模型試題考查的基本思路如圖2所示，一般要設計一個現實情境(生活現實或數學現實)，因為只有在現實情境中才能考查一個學生“用數學眼光觀察現實世界，用數學思維思考現實世界，用數學語言表達現實世界”[1]的能力；一般避免通過小題鋪墊來指令學生先構造函數，再利用函數解決問題，而是需要學生自主發現現實情境中存在函數依賴關系，從而自主構造函數，自覺應用函數解決問題．這里強調自主自覺，是因為當學生未來遇到真正的實際問題時，不會再有人告訴他“這個問題里面有函數關系”，或有人替他分解成幾個小問題，指令他構造函數．強調自主自覺才能真正考查學生的函數建模意識和能力[2]．

圖2

2 二次函數模型的源

二次函數模型試題需要學生自主發現函數關系、自主建構二次函數，因此，要想順利解答二次函數模型試題，首先需了解二次函數模型的一般來路．

2.1 如何想到構造二次函數？

二次函數要靠我們自己發現、自主構造，那怎么想到要去構造函數呢？二次函數模型試題，雖然題目中不會直接指令或提示構造函數，但也不是完全無跡可尋，一般從以下兩個層面啟示我們要構造函數．

2.1.1顯性層面

顯性層面，如果試題已知情境問題的最值或研究其最值，可以啟示我們想到函數，從而主動構造函數去解決問題．如下面的例2求最大面積，啟示學生構造二次函數解決問題．

圖3

例2如圖3，要用總長為16 m的籬笆，一面靠墻(墻的可利用長度為6 m),圍成一個長方形的生物園飼養小兔，求小兔活動范圍的最大面積．

分析 本題求最大面積，容易聯想到構造二次函數解決問題．設生物園面積為S，寬AB=x，則長BC=16-2x，利用長方形面積公式可得S=x(16-2x)=-2(x-4)2+32．又因為0

顯性層面，如果試題已知情境問題的增減性或研究其增減性，也可以啟示我們想到函數，從而主動構造函數去解決問題．如下面的例3，“30天內利潤隨天數t的增大而增大”，這是已知“利潤-天數”函數的增減性情況，啟示學生構造函數解決問題．

例3(2016江蘇揚州)某電商銷售一款夏季時裝，進價40元/件，售價110元/件，每天銷售20件，每銷售一件需繳納電商平臺推廣費用a元(a>0)．未來30天，這款時裝將開展“每天降價1元”的夏令促銷活動，即從第1天起每天的單價均比前一天降1元．通過市場調研發現，該時裝單價每降1元，每天銷量增加4件．在這30天內，要使每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數t(t為正整數)的增大而增大，a的取值范圍應為．

2.1.2隱性層面

有的試題雖然沒有出現任何提及“函數”的字眼，也沒有最值、增減性等方面的顯性提示，但通過對問題情境的分析，發現其中蘊含著函數的三個要素：一是在一個運動變化過程中，二是有兩個變量，三是一個變量隨著另一個變量的變化而變化.由此可以啟示我們想到函數，從而主動構造函數去解決問題．如例1是一個點P從點B運動至點C的變化過程，其中BP,CE是變量，且CE隨著BP的變化而變化，這就說明CE與BP之間存在著函數關系．這樣的函數考查有利于學生充分感悟函數概念的本質，可以讓學生體會到函數來源于運動變化過程中變量之間的依賴關系，感悟到函數是研究運動變化過程的有效模型．再如下面的例4．

圖4

(1)當n=1時，①求線段AB所在直線的函數表達式；②你完全同意小明的說法嗎？若完全同意，請說明理由；若不完全同意，也請說明理由，并求出正確的k的最小值和最大值．

(2)若小明的說法完全正確，求n的取值范圍．

2.2 如何構造二次函數？

想到函數了，如何構造函數呢？二次函數的構造，關鍵在于“二次”如何得到，一般有以下三個途徑．

2.2.1乘法模型——一次乘一次得二次

乘法模型“一次乘一次得二次”常見的問題情境有：①面積問題，矩形面積=長×寬，三角形面積=底×高÷2，如果長、寬或底、高都能用含有自變量的一次式表示，則容易得到關于自變量的二次式，如 例2；②銷售問題，總價=單價×銷量，總利潤= 單件利潤×銷量，若單價、銷量或單件利潤、銷量都能用含有自變量的一次式表示，則容易得到關于自變量的二次式，如例3；③相似問題，相似三角形對應邊成比例，若比例外項或比例內項都能用含自變量的一次式表示，則容易得到關于自變量的二次式，如例1；④其他蘊含乘法數量關系的問題，如例4中反比例函數的系數k=動點橫坐標×縱坐標．

2.2.2幾何模型——運用勾股定理得二次

幾何模型“運用勾股定理得二次”常見的問題情境有以下兩種：

①一個直角三角形，先用含有自變量的一次式表示各邊，然后運用勾股定理得到一個等式，最后展開變形得二次函數，如下面的例5．

圖5

(1)若四邊形PMCN的面積為3.5，求四邊形PMCN的周長；

(2)求四邊形PMCN面積的最小值，并說明此時點P的位置．

②兩個共邊直角三角形，先用含有自變量的一次式表示其余各邊，然后在兩個直角三角形內分別運用勾股定理表示出共邊的平方(算兩次)，得到一個等式，最后展開變形得二次函數，如下面的例6．

圖6

例6(2020江蘇揚州)如圖6，已知點O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分∠BOD，與BD交于點G，AC分別與BD,OD交于點E,F．

分析 第(1)題易由基本圖形“等腰三角形(△OAD)+頂角外角平分線(OC平分∠BOD)”得到OC∥AD，也易由三角形中位線定理(OG是△BAD的中位線)得到OC∥AD．

圖7

2.2.3組合模型——多個已知函數組合得二次函數

(1)當科研所到宿舍樓的距離x=9 km時，防輻射費y=萬元；a=，b=； (2)若每公里修路的費用為90萬元，求當科研所到宿舍樓的距離為多少千米時，配套工程費最少？(3)略．

3 二次函數模型的流

構造出二次函數關系式不是最終目的，最終目的是為了應用二次函數去解決問題．因此，要想完整解答二次函數模型試題，還需要把握二次函數模型的一般去路．

3.1 構造的二次函數一般用來干什么？

二次函數模型試題構造出二次函數后，一般應用所構造的二次函數研究以下三類問題．需要注意的是，研究每一類問題都需結合大致圖象，即數形結合．

3.1.1研究最值問題

最值問題有三種情況：

①頂點最值，即圖象頂點在自變量取值范圍內，頂點縱坐標即為函數最值，如例4第(1)題、例5、例6、例7；

②區間最值，即圖象頂點不在自變量取值范圍內，需結合圖象確定最值，如例2；

③離散最值，即函數圖象不是連續拋物線，而是一系列的散點，需結合圖象根據散點到對稱軸的距離遠近確定最值．

3.1.2研究增減性問題

增減性問題有兩種情況：

①連續拋物線，所有點要保持統一的變化趨勢，一般無需考慮跨對稱軸的情況，如例4第(2)題；

②離散拋物線，所有點要保持統一的變化趨勢，最后一點或第一點可以跨對稱軸，與其余各點分置于對稱軸的兩側，但跨對稱軸的那一點必須最接近對稱軸，如例3．

3.1.3研究參數范圍問題

這一類問題與前面兩類問題有交叉．含參數的二次函數解析式，既含自變量又含參數，因此不能利用它去列不等式求參數范圍．一般需表示出它的最值或對稱軸，這樣就剝離了自變量，僅保留參數，然后再根據已知條件，利用最值或對稱軸的范圍列不等式求出參數范圍，如例1、例4第(2)題．

3.2 構造的二次函數一般有哪些變形？

3.2.1整體的眼光

3.2.2轉化的思想