假于情境 基于理解 意義建構
——“充分條件與必要條件”教學設計與反思*

陳 敏 (江蘇省錫山高級中學 214174)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自江蘇省高品質高中普通班，基礎較好.在初中，學生對命題有了初步的認識，對平行四邊形以及三角形全等、三角形相似等定理有較好的理解與掌握，以這些知識為載體學習本節內容，較易上手．學生有一定的自學能力與推理能力．

1.2 教材分析

所用教材為《普通高中教科書數學·必修第一冊》(人教A版，2019年6月第1版)．“充分條件與必要條件”是第1章《集合與常用邏輯用語》的第4節第1課時，第2課時是“充要條件”．充分條件與必要條件是中學數學中重要的概念之一，它主要討論了命題的條件與結論之間的邏輯關系，目的是為今后的數學學習，特別是數學推理的學習打下基礎．與舊版相比，新人教A版刪去了四種命題的概念，只是在講充要條件的時候，簡單地插入了逆命題的概念，給充分條件與必要條件的教學帶來了一定的困難，尤其是必要條件中必要性的理解，也許是基于這個原因，教材將1.4節分成“1.4.1充分條件與必要條件”和“1.4.2充要條件”兩課時，以減少學生的學習困難．

教學目標 (1)體會“通俗語言→文字語言→符號語言→數學概念”的認知過程，能理解“充分”“必要”的語文含義與數學問題的內在本質聯系，把握充分條件與必要條件的意義，感悟數學概念的合理性；(2)會判斷充分條件與必要條件，理解充分條件、必要條件與判定定理和性質定理的相應關系；(3)掌握舉反例這一判斷一個命題是假命題的重要方法，提高辯證思維能力，崇尚科學嚴謹的理性精神．

教學重點 必要條件與充分條件的意義及其判定．

教學難點 必要條件的理解．

2 教學過程

2.1 知識回顧

師：回顧初中命題、真命題與假命題的定義．

生：可判斷真假的陳述句叫命題，判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．

師：一般地，“若p，則q”為真命題，是指由條件p通過推理可以得出結論q，這時，我們就說，由p可以推出q，記作p?q．這體現了數學的簡潔之美與符號化特征．

2.2 情境創設

播放大款p與小秘q的對話短片，引入課題．

短片大致內容如下：一位數學家從一間辦公室走過，聽到室內有兩人在大聲吵鬧．大款p對小秘q大聲吼道：“有我p在，就有你q吃香的喝辣的！”小秘q很不服氣，氣急敗壞地說：“你的底細我可清楚，我完蛋了，也沒有你的好日子過！”數學家走上前說：“你們所說的正是數學邏輯學中的充分條件與必要條件問題．”

設計意圖通過鮮活的生活實例創設情境，生動自然，極具場景畫面感，既渲染了課堂氣氛，激發了學生的學習興趣，又恰當地引入了課題，為后面概念的形成與理解做好鋪墊．這種情境創設同時又告訴學生，數學就在身邊，鼓勵學生數學地看待周圍的世界．當然，這里僅僅是從數學意義上理解這一社會現象，還要注意正確引導學生的社會價值觀．

2.3 概念建構

師：如果你是短片中的那位數學家，能否對大款p與小秘q相互之間的作用從數學意義上加以分析？

事實上，大款與小秘的關系用上面的p?q符號，就可以表示成大款?小秘，有大款在，就有小秘吃香的喝辣的，即大款對小秘來說，是足夠的、充分的，這時我們就說大款是小秘的充分條件；另一方面，如何體現小秘的作用呢？這個問題可以反過來思考，如果小秘完蛋了，大款也沒有好日子過，即小秘完蛋了，大款也完蛋了，所以從這個意義上說，小秘對大款是必要的．回到數學意義上就是，如果p?q，那么p對于q來說，是足夠的、充分的，所以p是q的充分條件；另外，p?q從反面理解就是，如果q不成立，則p一定不成立，也就是說，q對于p成立而言是必要的，所以q是p的必要條件．

數學概念：如果p?q，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件．

以上數學概念建構過程可用圖1來表示．

圖1

設計意圖符號化、形式化是數學的基本特征．學生通過“通俗語言→文字語言→符號語言→數學概念”的整個過程，經歷數學概念的發生發展，體會感悟數學概念的合理性．試圖努力揭示數學概念的本質要義，把數學的學術形態轉化為學生易于理解、樂于學習的教育形態．

2.4 概念鞏固

例1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

(1)若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；(2)若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；(3)若x2=1，則x=1；(4)若x,y為無理數，則xy為無理數．

設計意圖(1)(2)都是判定定理，p是q的充分條件，為下面得出“每一個判定定理都給出了相應數學結論成立一個的充分條件”這個結論做準備；(3)(4)意在使學生通過具體問題，體會舉反例這一判斷一個命題是假命題的重要方法.設計這四個小題，會在后面的性質定理與必要條件的關系探究以及充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件的判斷中再次利用．

解(1)這是平行四邊形的一個判定定理，p?q，所以p是q的充分條件．

(2)這是相似三角形的一個判定定理，p?q，所以p是q的充分條件．

師：如何判斷一個命題的真假？

生：判斷一個命題為真命題，要有定理作為支撐，或者經過嚴謹的數學推理給予證明；要判斷一個命題為假命題，只要舉反例即可．

總結：舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法．

師(追問)：例1中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”，這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎？

生1：若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形．

生2：若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形．

生3：若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形．

師：你能得出什么結論呢？

學生討論交流后回答：“四邊形的兩組對角分別相等”“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對角線互相平分”都可以判定平行四邊形，都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件．

總結：一般地，每一個判定定理都給出了相應數學結論成立一個的充分條件．

例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？

(1)若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；(2)若兩個三角形相似，則兩個三角形的三邊成比例；(3)若x=1，則x2=1；(4)若xy為無理數，則x,y為無理數．

設計意圖呼應例1，同樣的數學問題，從不同角度充分挖掘其教學功能價值．第一層功能價值：得出判定定理與充分條件的關系結論；第二層功能價值：得出性質定理與必要條件的關系結論；第三層功能價值：引出充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件等概念，為下一節充要條件鋪墊伏筆．

解(1)這是平行四邊形的一個性質定理，p?q，所以q是p的必要條件．

(2)這是一條相似三角形的判定定理，p?q，所以q是p的必要條件．

(3)p?q顯然成立，所以q是p的必要條件．

同例1的處理方式一樣，教師先追問“四邊形是平行四邊形”的必要條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的必要條件嗎？學生經過討論交流得出不同的必要條件，進而得出結論：一般地，每一個性質定理都給出了相應數學結論成立一個的必要條件．

2.5 深入探究

師：大家研究一下兩個例題的第(1)題，你有什么發現？

生：若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；反過來，若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等，前一個命題說明“四邊形的兩組對角分別相等”是“四邊形為平行四邊形”的充分條件，后一個命題說明“四邊形的兩組對角分別相等”是“四邊形為平行四邊形”的必要條件，也就是說，“四邊形的兩組對角分別相等”是“四邊形為平行四邊形”的充分必要條件，即充要條件．

師：大家的研究能力很強！我們來繼續研究一下兩個例題的第(3)(4)題，你又有什么發現？

師：剛才大家對例1例2具體問題進行了比較研究，你能試著總結出判斷充分條件與必要條件問題的流程嗎？在這一判斷過程中要注意什么？

學生經過合作交流，試著總結出判斷充分條件與必要條件問題的流程圖及注意事項(圖2)．

注意事項：由于p是q的充分條件，同時q是p的必要條件，所以要看清問題，所問的是誰是誰的什么條件．

圖2

2.6 課堂練習

(1)同桌同學互出一題，交換完成，相互批改，共同進步；(2)教材第20頁練習．

2.7 課堂小結，布置作業(略)

3 回顧與反思

3.1 設計思路

本節課按照“情境創設—意義建構—數學概念—數學運用”的邏輯順序結構，學生經歷數學概念的形成歷程，通過思考、討論、合作、交流等不同形式的自主學習和探究活動，體驗、感知、建構、運用數學概念．本設計試圖努力揭示數學概念的發生發展過程，幫助學生深度理解數學概念的本質要義，進而體會感悟數學概念的合理性，把數學的學術形態轉化為學生易于理解、樂于學習的教育形態，再把這種教育形態提升到符號化、形式化的學術形態．

3.2 設計特色

(1)假于情境，意義建構

建構主義學習理論認為“情境”“協作”“會話”和“意義建構”是學習環境中的四大要素或四大屬性，學習環境中的情境必須有利于學生對所學內容的意義建構，這就對教學設計提出了新的要求.在建構主義學習環境下，教學設計不僅要考慮教學目標分析，還要考慮有利于學生意義建構的情境創設問題，并把情境創設看作是教學設計的最重要內容之一．教學設計的主要功能就在于選擇或創設合理的、與現實生活緊密關聯的、真實性的問題情境，學生通過基于問題或項目的活動，開展體驗式的、合作的、探究的或建構式的學習，以促進學習真正發生．在這一過程中，個體創生知識，形成思維觀念，提升探究技能，發展核心素養．

大款p與小秘q的對話短片情境創設，極具場景畫面感，親切自然，既渲染了課堂氣氛，激發了學生的學習興趣，又恰當地引入課題，為后面概念的形成做好鋪墊，有利于學生概念建構與本質理解，同時又告訴學生，生活即數學，數學就在身邊，鼓勵學生數學地看待周圍的世界．

(2)基于理解，努力追求數學概念的合理性

結合大款p與小秘q的對話短片，剝去表面現象后，再回歸數學.如果p?q，那么p對于q來說是足夠的、充分的，所以p是q的充分條件；從反面理解就是，如果q不成立，則p一定也不成立，即說明q對于p成立而言是必要的，所以q是p的必要條件．這樣努力幫助學生理解“充分條件與必要條件”概念說法的合理性與自然性，而不是把所謂權威的數學理論硬生生地塞給學生．

(3)探求教學模式與學習方式的變革

充分調動每一個學生的學習熱情與學習興趣，把課堂真正還給學生，學生才是課堂的主人，教師只是教學活動的組織者、參與者、協調者、合作者與服務者．如由“通俗語言—文字語言—符號語言—數學概念”的形成過程，充分條件和必要條件判斷的流程圖與注意事項均由學生思考討論總結完成，再如在對數學知識本質把握和深刻理解的基礎上，學生由“做別人出的題”到“出題給別人做”，由答題者轉換到命題者，很好地體現了自我建構與深度學習．

(4)一題多用，前后呼應，充分挖掘其教學功能價值.

同樣的數學問題，從不同角度充分挖掘其教學功能價值．如兩個例題就有三層功能價值：第一層，得出判定定理與充分條件的關系結論；第二層，得出性質定理與必要條件的關系結論；第三層，引出充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分又不必要條件以及充要條件概念，為下一節充要條件鋪墊伏筆．

3.3 設計感受

教材中，若p?q，就說p是q的充分條件，q是p的必要條件，筆者認為，這樣直接給出定義，沒有說明“充分”“必要”如何理解，略顯突兀，學生理解起來比較困難，不利于建立“充分”“必要”的語義與數學問題的本質之間的內在聯系．

在前面例題和練習沒有任何涉及的情況下，教材習題1.4復習鞏固第1題，就讓學生舉例說明“p是q的充分不必要條件，p是q的必要不充分條件”，實在是有點為難學生了，這樣做不太符合學生的認知規律(作為彌補，本教學設計中教師引導學生對兩個例題的具體問題做了比較研究)．退一步講，即便這樣處理，復習鞏固第2題是判斷具體問題的p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分也不必要條件”“充要條件”)，總比學生自己舉例說明要容易一些，因為學生通過具體問題的判斷，大致了解了這類問題的基本情況以后，把這些新概念再結合自己的數學認知，才可能比較容易舉出自己的例子．畢竟舉例說明不是解決現成的問題，而是創造性地提出問題，提出問題往往比解決問題難得多，基于此，建議把第1題與第2題順序調換一下．