創設合理情景，實現深度學習
——“等比數列前n項和公式”的教學設計與反思

薛建豐

(常熟市王淦昌高級中學，江蘇常熟，215500)

郭華教授在文獻[1]中對深度學習的概念這樣界定：“所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程.在這個過程中，學生掌握學科的核心知識，理解學習的過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、高級的社會情感、積極的態度、正確的價值觀，成為既具獨立性、批判性、創造性，又有合作精神、基礎扎實的優秀的學習者，成為未來社會歷史實踐的主人”.

本文以人教A版教材中的“等比數列前n項和公式”一課為例，嘗試通過創設合理情景，幫助學生實現深度學習.下面予以仔細闡述，以期為研究者和一線教師提供借鑒.

1 教學設計

1.1 創設情景，提出問題

教師：同學們，前面我們已經學習了等比數列的定義，請同學敘述下.

學生1：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比.

教師：現在有這樣一個實際問題，請同學們判斷下：

為培養你的生活自理能力，在假期中，你父母對你進行了15天的特別培訓，每天要求你完成煮飯，掃地等家務活.為了激勵你的積極性，你父母制訂了這樣的獎勵機制：

方案1：每天完成工作獎勵你10元；

方案2：每天完成工作后，第1天獎勵0.01元，第2天獎勵0.02元，第3天獎勵0.04元，……，以此類推，每天獎勵的錢都是前一天獎勵的錢的2倍；

請問：若你每天得到的錢的數值構成一個數列，按照兩個方案，則分別是什么數列？

學生2：方案1中構成等差數列，方案2中構成等比數列.

學生3：方案1中構成常數數列，既是等差數列，又是等比數列.

教師：思考一定要嚴謹，注意細節.延續剛才這個問題，如果要你選擇一個方案，你會選擇哪個方案？你的選擇標準是什么？

設計意圖：通過創設和學生切身相關的生活情景，讓教學進入情感領域，激發起學生的學習興趣，并憑借情景，幫助學生體會知識的應用性，培養其知識應用意識.

學生4：這15天的錢數總和哪個多就選這個方案.

教師：請寫出錢數總和的式子？

學生4：方案1中S15=10+10+10+…+10=150，方案2中T15=0.01(1+2+22+…+214).

教師：方案2中括號內表示的是什么？

學生4：一個以1為首項，2為公比的等比數列的前15項的和.

教師：我們用一般符號來表示，得Tn=a1(1+q+q2+q3+…+qn-1)，如何求這個和呢？

1.2 特殊探路，分析問題

教師：數列的求解中，當一般化的問題不會求解時，我們經常會利用特殊到一般的思想方法，先從特殊的幾項來觀察出規律，再利用這一規律來解決一般化問題.1=?,1+2=?,1+2+22=?,1+2+22+23=?,1+2+22+23+24=?，觀察式子的規律并猜測1+2+22+…+2n-1=?.

設計意圖：特殊到一般是指通過對某些個體的認識和研究，逐漸積累對這類事物的了解，再逐漸形成對這類事物的總體認識，發現特點，掌握規律，形成公式，由淺入深，由現象到本質，由局部到整體，從實踐到理論，是數學學習和探究中轉化思想的一部分.在整個數列一章，乃至高中數學的學習中，這是學生必須掌握的一個思想方法.通過這一過程，能夠促進學生深層次地理解“錯位相減法”.

學生5：

猜測：1+2+22+…+2n-1=2n-1.

教師：利用特殊值來觀察規律，我們一般要多用幾個值才可以得到正確結論.1=?,1+3=?,1+3+32=?,1+3+32+33=?,1+3+32+33+34=?，運算下，是不是還具備剛才的規律.猜測1+3+32+…+3n-1=?

學生6：

1.3 新知構建，解決問題

教師：那這個等式怎樣來求解得到呢？(提醒學生，可以應用逆向思維.)

就是要得q(1+q+q2+q3+…+qn-1)-(1+q+q2+q3+…+qn-1)=qn-1，

所以求和過程為Tn=a1(1+q+q2+q3+…+qn-1)，

兩邊同乘q可得：qTn=a1(q+q2+q3+…+qn-1+qn)，

學生9：上述公式成立的條件是q≠1，當q=1時，Tn=na1.

教師：這個補充非常精彩，任何問題解決過程中我們要注意完整性和嚴謹性.

現在我們已經得到等比數列的求和方法，這個方法我們稱為“錯位相減法”.

學生10：結合已知條件和剛才“錯位相減法”的求解過程，求和運算還可以這樣得到.

設計意圖：一個公式得到后，為豐富學生的認知結構，還要尋求公式和其他知識、方法的聯系，從不同的角度推導公式、理解公式、認識公式，并在這一過程中培養學生去感受變量之間的內在聯系，深入了解變量間的轉化，提高學生的探索運算路徑的能力.

1.4 知識應用，嘗試遷移

教師：現在，我們來解決剛才的那個實際問題.

教師：下面讓我們嘗試運用剛剛所學知識去解決以下兩個問題.

例1已知數列{an}是等比數列.

解答略.

例2中國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的行程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了

( )

A.192里 B.96里 C.48里 D.24里

設計意圖：在知識應用中適當安排與生活有關的實際問題，讓學生養成知識來自于生活，也能應用知識解決生活中的問題的意識，體會數學知識是源于應用并在應用中不斷發展起來的；這里選擇了一個中國古代文化著作中的實際問題，能讓學生體會到祖國文化的源遠流長.

教師：大家利用課余時間去尋找下身邊生活中能用等比數列求和來解決的問題，下一堂課進行交流.

2 教學反思

2.1 教學目標遵循課程標準

本節課的課題是“等比數列的前n項和公式”.教材內容簡潔明了，包括等比數列前n項和公式及其初步應用.如果照本宣科，本堂課可以在很“默契”的師生配合下，平淡且快速地完成，但學生只是得到了一個知識點及依葫蘆畫瓢的解題過程，其數學素養并沒有絲毫提升.而《普通高中數學課程標準》指出：“以人的發展為目標”，“關注學生的可持續發展”，“強調從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，通過課堂教學為學生提供學習和實驗的場所，激發他們自主探索的興趣，在這一過程中真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學的思想和方法，獲得廣泛的數學體驗，并學會將數學應用于生活.”因而，本節課制定了以下教學目標：(1)掌握等比數列前n項和公式，并能進行簡單應用；(2)根據從特殊到一般地探索規律，培養學生探究、解決問題的能力；(3)培養學生掌握探索生活中的數學知識的能力和方法，感受學習數學的樂趣，激發學習數學的興趣.

2.2 教學設計遵循認知規律

《普通高中數學課程標準》指出：“在教學活動中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情景和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的語言描述問題，用數學的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數學內容的本質，促進學生數學學科核心素養的形成和發展.”因此，深層次的教學設計是學生核心素養提高的必要條件.本節課的主要任務是等比數列前n項和公式及其推導，教材雖然給出了情景進行引入，但筆者認為和學生實際生活的聯系并不密切，所以設計了這一獎勵問題，通過學生身邊的真實問題激發學生探索實際問題的積極性，學生在解決這一實際問題中發現了本節課的主題“等比數列前n項和求解”這一數學問題，但找不到求解的方法，教師在探索求和公式過程中，遵循發現規律的實際過程，引導學生從“特殊到一般”進行求解，讓學生自己去探求和分析歸納，尋找到正確的解決方法，并在這一過程中領悟“錯位相減法”的真正含義.同時，數學的學習中運算是不可避免的，在知道公式的情況下讓學生去尋找各變量間的關系，從多角度的視野下去尋求聯系，培養學生對運算的敏銳嗅覺.以此來培養學生從數學的角度發現問題、提出問題、分析和解決問題的能力，完成教學的目標任務.

2.3 教學方法遵循深度學習

新課標下，我們需要培養學生“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析”六大核心素養.關于如何培養是個值得深思的問題.這絕不是把儲存在書本上的知識轉移到學生的頭腦里再儲存起來就能達到的，而是需要教師把外在于學生的、和學生沒有關系的知識，在教學中轉化為學生主動活動的對象，與學生建立起意義關聯，并通過學生個體的主動學習轉變成學生成長的養分.本堂課的教學，如果直接給出“錯位相減法”來推導出公式，那么學生只是停留在模仿的層次，未能對知識有本質的理解，屬于淺層教學.因而筆者在教學中便通過設計情景，問題導向，還原探索知識產生發展的實際歷程，讓學生經歷探索知識的思維過程，內化了學生的探索習慣，促進了學生自主探究，從而達成了學生數學學科核心素養的全面提高.而最后通過所學知識解決我國古代著名文獻中的實際問題，是對學生愛國主義精神的培養，提升了學生的民族自豪感，培養了學生正確的人生觀和價值觀.正如郭華教授認為的，教學的根本是既實現了人類歷史文化的代際傳承，也實現了培養人、發展人的根本目的.這樣的教學才是深度學習.