基于問題驅(qū)動的函數(shù)的微分教學(xué)探討

吳小臘 李澤華

一、引言

函數(shù)的微分是高等數(shù)學(xué)中的一個教學(xué)難點，也是微積分教學(xué)的重點之一。傳統(tǒng)的教學(xué)方法通常是基于正方形金屬薄片的面積受溫度變化影響的實例，分析面積的變化量與正方形邊長變化量之間的關(guān)系，給出函數(shù)微分的定義，然后通過純邏輯推理證明定義的合理性，舉例給出基本初等函數(shù)微分的計算，并討論微分在近似計算中的應(yīng)用。結(jié)果是，同學(xué)們能依樣畫瓢地完成簡單函數(shù)微分的計算，但根本不理解微分的數(shù)學(xué)思想，也不明白微分究竟有什么用。同學(xué)們對微分概念的理解遠(yuǎn)未達(dá)到預(yù)期教學(xué)目的。這與獨立學(xué)院培養(yǎng)應(yīng)用型人才的育人目標(biāo)相距甚遠(yuǎn)。

獨立學(xué)院的學(xué)生，因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱和學(xué)習(xí)習(xí)慣相對較差，大部分學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣較低。傳統(tǒng)的教學(xué)方法，主要采用演繹思維，純粹的符號邏輯，帶給同學(xué)們的是枯燥的演算，扼殺的是本身就不太濃厚的學(xué)習(xí)興趣。興趣是最好的老師。改革獨立學(xué)院高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要從培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣開始。認(rèn)知心理學(xué)告訴人們，興趣來源于需求，根源于問題的解決。因此，問題驅(qū)動教學(xué)法成為探索課堂教學(xué)改革的重要方法之一[1～3]。

問題驅(qū)動教學(xué)，是一種教學(xué)方法，也是一種教學(xué)模式，更是一種教學(xué)思想。與傳統(tǒng)的先學(xué)習(xí)理論知識再解決實際問題的授課方法不同，該方法強調(diào)以學(xué)生為主體，以問題為核心，指導(dǎo)和幫助學(xué)生在分析問題和解決問題的過程中達(dá)到對知識學(xué)習(xí)和能力培養(yǎng)目的的一種教學(xué)方法[4]。“問題驅(qū)動”教學(xué)法是以建構(gòu)主義教學(xué)理論為基礎(chǔ)，從具體的教學(xué)問題出發(fā)，通過設(shè)計層層深入有效的問題，向?qū)W生展示知識點的形成過程[5]。該方法的關(guān)鍵是構(gòu)建合理的“問題鏈”，其前提是明確教學(xué)目標(biāo)、充分了解學(xué)生并創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，其邏輯基礎(chǔ)是思維的訓(xùn)練，其價值導(dǎo)向是思想的構(gòu)建。

本文基于問題驅(qū)動教學(xué)法教學(xué)改革實踐，以函數(shù)的微分為例，總結(jié)并展示基于問題驅(qū)動教學(xué)法的教學(xué)設(shè)計過程和實施策略，為高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革實踐提供參考。

二、問題分析

(一)學(xué)情分析。從教材內(nèi)容上看，函數(shù)的微分是在學(xué)完函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)概念后引入的。即，先建立極限思想，由極限思想建構(gòu)連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)概念，然后給出函數(shù)微分的定義，進(jìn)而討論微分的計算和微分在近似計算中的應(yīng)用。該邏輯是通順的，但也是機械的。該邏輯有利于從形式上展示函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和微分的知識架構(gòu)，但很難幫助一個初學(xué)者建構(gòu)相關(guān)的數(shù)學(xué)思維。函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和微分，本質(zhì)上都是函數(shù)的增量問題，其共同的基礎(chǔ)概念是增量，共同的數(shù)學(xué)思想是極限。函數(shù)的連續(xù)性討論的是當(dāng)自變量的增量趨于0時，函數(shù)值的增量是否也趨于0；導(dǎo)數(shù)討論的是函數(shù)值的增量與自變量的增量的比的極限，即變化率問題；微分則主要討論函數(shù)值的增量與自變量的增量的近似關(guān)系，即局部線性化問題。因此，在學(xué)習(xí)微分的概念時，需要緊扣增量概念和極限思維，重點剖析函數(shù)的局部線性化近似思想。這是微分概念教學(xué)中問題鏈構(gòu)建的基本出發(fā)點。

從教學(xué)內(nèi)容上看，函數(shù)的微分主要包括四個內(nèi)容：微分的定義、微分的幾何意義、微分的計算和微分的應(yīng)用。這四個內(nèi)容對應(yīng)著數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的三大基本類型，即概念教學(xué)(定義和幾何意義)、計算教學(xué)和應(yīng)用教學(xué)。不同的類型，所采用的教學(xué)方法是不同的，“問題鏈”的構(gòu)建也是不同的。

微分的定義包括顯式定義和隱式定義。顯式定義是指dy=f′(x)dx或dy/dx=f′(x)。一般地，教材僅把它作為一個結(jié)論給出，學(xué)生都能從形式上記住該式子，但大部分學(xué)生并不理解該式所表達(dá)的實際含義。隱式定義是指教材上的定義，即

設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+Δx在這個區(qū)間內(nèi)，如果增量

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

可表示為

Δy=AΔx+o(Δx)

其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，那么稱y=f(x)在點x0是可微的，而AΔx叫做函數(shù)y=f(x)在點x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy=AΔx。

微分的隱式定義是微分概念教學(xué)中的難點。其困難主要表現(xiàn)為：一是微分的名稱與其字面涵義不符，屬于數(shù)學(xué)中典型的起名不當(dāng)?shù)母拍钪弧６嵌x中的A屬于形式邏輯的符號表示。當(dāng)學(xué)生的抽象思維達(dá)不到形象思維與符號抽象的一致時，學(xué)生們就很難在思維上產(chǎn)生共振。從而表現(xiàn)為“聽不懂”或“沒感覺”，進(jìn)而演變成聽課“分心”或“走神”。三是從隱式定義dy=AΔx過渡到顯式定義dy=f′(x)dx，中間還需要證明A=f′(x)，這對大部分同學(xué)來說都是不簡單的，也是微分概念教學(xué)中需要重點突破的難關(guān)之一。

從學(xué)生的基本情況來看，獨立學(xué)院在本科招生時屬于“三本”，需要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的專業(yè)主要是工科類專業(yè)和經(jīng)濟管理類專業(yè)。在中國高等教育大眾化的發(fā)展背景下，“三本”的學(xué)生，其基礎(chǔ)相對較差，其特征表現(xiàn)為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識不夠扎實、學(xué)習(xí)習(xí)慣較差、對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣偏低、獨立思考和抽象思維的能力偏弱。因此，面向獨立學(xué)院的高等數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的基本情況，適度調(diào)整教學(xué)難度，降低思維起點。

(二)教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)策略。根據(jù)學(xué)情分析和教學(xué)大綱，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：一是理解微分的顯示定義和隱式定義，二是掌握基本初等函數(shù)的微分的計算，三是了解微分在近似計算中的應(yīng)用。

由于微分的核心思想是非線性函數(shù)的局部線性化，主要解決函數(shù)值增量的近似計算問題。因此，本節(jié)課主要圍繞線性化方法展開相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。

在微分的定義中，隱式定義dy=AΔx與實際應(yīng)用聯(lián)系最緊密，顯式定義與微分的計算和理論應(yīng)用關(guān)系最親。因此，教學(xué)設(shè)計思路中，分別依據(jù)微分的隱式定義和顯式定義，構(gòu)建相關(guān)的問題鏈。主要教學(xué)思路如圖1所示。

圖1 教學(xué)過程設(shè)計思路

三、教學(xué)過程設(shè)計

答：3點多，或3到4之間。

學(xué)生們開啟思考，但茫然無措，陷入沉思。

此時，大部分同學(xué)都能想到，函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在該點處的切線的斜率。于是，同學(xué)們都能在圖像上畫出過點(9,3)處的切線。設(shè)該切線方程為y=L(x)，如圖2所示。

圖2 函數(shù)的圖像

問5：能否寫出切線方程的表達(dá)式？

問7：由于線性函數(shù)具有簡單易算特點，因此，我們能否推導(dǎo)出非線性函數(shù)局部近似計算的一般方法呢？

設(shè)非線性函數(shù)的一般表達(dá)式為y=f(x)，在定義域內(nèi)滿足連續(xù)可導(dǎo)，則在曲線y=f(x)上點(x0,f(x0))處的切線方程為

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)

設(shè)該切線方程為y=L(x)，則

L(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)

這個線性函數(shù)L(x)稱為函數(shù)f(x)在點x=x0處的線性化。如果用該線性函數(shù)L(x)近似替代x=x0處附近的非線性函數(shù)f(x)，則有

f(x)≈L(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)

這就是非線性函數(shù)在局部范圍內(nèi)線性化的一般方法。

通過該部分的討論，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和歸納思維，即由具體的實例歸納和抽象出一般性方法。

(三)微分的隱式定義。由非線性函數(shù)的局部線性近似方法，討論函數(shù)值的增量問題。此處，結(jié)合微分的幾何意義圖像，通過問題鏈構(gòu)建微分的隱式定義。如圖3所示。

圖3 微分的幾何意義

問8：如圖3所示，直線y=L(x)是曲線y=f(x)在點x=x0處的切線。假設(shè)在x=x0處的附近，非線性函數(shù)y=f(x)的值用線性函數(shù)y=L(x)近似替代。當(dāng)自變量x從x0變化到x0+Δx時，函數(shù)y=f(x)的增量是多少？用線性函數(shù)y=L(x)近似替代計算時，實際所得的增量是多少？這兩個增量之間的誤差是多少？兩個增量和誤差之間的關(guān)系如何？

答：函數(shù)y=f(x)的增量是EF，實際計算所得的增量是EP，誤差是PF，它們之間的關(guān)系是

EF=EP+PF

即

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f′(x0)Δx+PF

或者

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx

令dy=f′(x0)Δx，則稱dy為函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的微分。它是x從x0變化到x0+Δx時函數(shù)y=f(x)的增量的近似。

(四)微分在近似計算中的應(yīng)用。例1 設(shè)有一批半徑為1cm的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，厚度為0.01cm。請估算每個球需要用銅多少g(銅的密度是8.9g/cm3)？

問9：球的體積公式是什么？

問10：在銅的密度已知時，估算銅的用量，關(guān)鍵是估算什么？

答：估算體積。

問11：根據(jù)微分的含義，估計銅的體積的計算公式是什么？

問12：當(dāng)R=R0=1,ΔR=0.01時，ΔV=?

所需銅的用量是多少？

答：ΔV≈4×3.14×12×0.01=0.13(cm3).

每個球需要用銅約為

0.13×8.9=1.16(g).

(五)微分的顯式定義。問13：微分主要研究函數(shù)的增量問題。函數(shù)的微分表示函數(shù)增量的主要部分。其中涉及四個概念：自變量的增量、自變量的微分、函數(shù)值的增量和函數(shù)的微分。這四個概念之間有什么關(guān)系呢？如何用符號來表示它們？

答：自變量的增量記為Δx，自變量的微分記為dx，這兩者表示同一個概念，即Δx=dx。函數(shù)值的增量記為Δy,Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，函數(shù)的微分記為dy,dy=f′(x)dx，當(dāng)|Δx|很小時，Δy≈dy。一般地，

Δy=dy+誤差=f′(x)Δx+o(Δx)。

因為微分dy是函數(shù)值的增量Δy的一種線性近似值，因此常常被稱為線性主部。當(dāng)Δx→0時，誤差項是自變量增量的高階無窮小量，記為o(Δx)。

有了這些記號，函數(shù)的微分通常寫為

該式稱為函數(shù)微分的顯式定義。導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”。

(六)微分的計算。有了微分的定義，理論上可以計算任何函數(shù)在可微點處的微分。一般地，計算復(fù)雜函數(shù)的微分通常是基于基本初等函數(shù)的微分公式和微分的運算法則而得到的。有了前面的求導(dǎo)公式，基本初等函數(shù)的微分公式很容易根據(jù)微分的顯式定義得到，此處不必重復(fù)。

此外，微分的定義還可以幫助記憶前面已經(jīng)證明的反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和參數(shù)方程的求導(dǎo)公式。

問14：如何借助微分的定義記憶反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和參數(shù)方程的求導(dǎo)公式？

四、結(jié)語

對高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的微分的部分知識采用了問題驅(qū)動教學(xué)，并給出了教學(xué)設(shè)計過程。教學(xué)實踐表明，采用問題驅(qū)動教學(xué)，將復(fù)雜的微分概念通過問題鏈拆解為一系列前后銜接的簡單問題，降低了認(rèn)知難度和思維難度，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有效提高學(xué)生課堂注意力，課堂氛圍活躍，課后作業(yè)質(zhì)量明顯改善。期末考試中，有關(guān)微分考題的得分較往年明顯提高。

問題驅(qū)動教學(xué)法實施的關(guān)鍵是問題鏈的設(shè)計，其價值導(dǎo)向是雙向“驅(qū)動”。一方面驅(qū)動學(xué)生積極思考，在解決問題的過程中獲得持續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力；另一方面驅(qū)動教師深入研究教學(xué)內(nèi)容和研究學(xué)生，從認(rèn)知角度化解思維上和認(rèn)知上的障礙。當(dāng)然，問題驅(qū)動教學(xué)法只是眾多教學(xué)方法中的一種，它與其他教學(xué)方法和教學(xué)模式并不是獨立的，它也不一定能適應(yīng)高等數(shù)學(xué)中所有知識點的教學(xué)。因此，積極探索問題驅(qū)動教學(xué)法與其它教學(xué)方法的融合，將是推進(jìn)高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革持續(xù)向好的重要方向之一。