一道中考數(shù)學(xué)壓軸題的解法探究及教學(xué)啟示

劉艷萍 (江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校 215027)

通過(guò) 解題，學(xué)生可以加深概念的理解，深化認(rèn)識(shí)概念的聯(lián)系性，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提高分析和解決問(wèn)題的能力．筆者對(duì)2021年四川省自貢市中考數(shù)學(xué)試卷中的一道二次函數(shù)壓軸題進(jìn)行多角度的詳細(xì)解析，并借此提出對(duì)教學(xué)的一點(diǎn)想法．

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，拋物線y=(x+1)(x-a)(其中a>1)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

圖1

(1)直接寫(xiě)出∠OCA的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)(用a表示).

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+1)(x-a)上是否存在一點(diǎn)P，使得∠CAP=∠DBA?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2 試題解讀

好題應(yīng)具有以下“品質(zhì)”：與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長(zhǎng)的能力等．[1]本題是以二次函數(shù)為背景并嵌入三角形外心和等腰直角三角形等基本圖形的壓軸題．該題涉及的數(shù)學(xué)核心概念主要有：解方程、因式分解、二次函數(shù)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、軸對(duì)稱(chēng)、全等三角形、相似三角形和圓等．本題涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想和分類(lèi)思想等．三小題難度由淺入深，第(1)小題考查解方程、坐標(biāo)與圖形的轉(zhuǎn)換等;第(2)小題考查三角形外心的性質(zhì)、處理相似三角形周長(zhǎng)比的方法等;第(3)小題考查相等角問(wèn)題的處理方法等,本小題的處理方法多樣，可從構(gòu)造相似三角形方向求解，也可從構(gòu)造輔助圓方向求解，還可以從角的轉(zhuǎn)換方向求解等．綜上分析，該題在考試中具有很好的評(píng)價(jià)功能，同時(shí)也為后續(xù)教學(xué)提供了優(yōu)良的素材．

3 解法探究

3.1 第(2)小題解法

由已知條件易得A(a，0)，B(-1，0)，C(0， -a)，AB=a+1，OA=OC=a．△OAC是等腰直角三角形，其中∠OAC=∠OCA=45°．

評(píng)析 解法1與解法2的相同之處都是從三角形外心的幾何性質(zhì)分析證明得到△BDC是等腰直角三角形，結(jié)合由第(1)小題得到的△OAC也是等腰三角形，可推得相似三角形△BDC和△AOC的周長(zhǎng)比就是對(duì)應(yīng)邊的比，進(jìn)而建立關(guān)于a的方程求解．兩種解法的不同之處在于解法1直接利用邊BC和CA的比，計(jì)算量相對(duì)少一些，而解法2先從“三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)”的角度求出三角形外心點(diǎn)D的坐標(biāo)，再用邊BD和AO的比求解．

3.2 第(3)小題解法

圖2

評(píng)析 從構(gòu)造相似三角形和對(duì)稱(chēng)性?xún)蓚€(gè)方向思考問(wèn)題．首先通過(guò)分析并構(gòu)造出兩個(gè)相似的等腰直角三角形，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為相似比，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而聯(lián)立直線AE和拋物線解析式求得一解．再由點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)得到角的對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而得到相等的角，利用對(duì)稱(chēng)性可求出直線AM的解析式，并聯(lián)立拋物線解析式求得第二解．

圖3

評(píng)析 從圓中角的轉(zhuǎn)換和構(gòu)造全等三角形方向思考問(wèn)題．首先在由外心畫(huà)出外接圓，將圓心角、圓周角等轉(zhuǎn)換求得第一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)．再利用對(duì)稱(chēng)性構(gòu)造全等三角形求得直線AN的解析式，聯(lián)立拋物線解析式求得第二個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

圖4

圖5

評(píng)析 從“角的轉(zhuǎn)化”方向思考，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想．第①種情況利用“角的轉(zhuǎn)化”證得直線AE⊥BC，進(jìn)而求出直線AE的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出點(diǎn)P坐標(biāo)．第②種情況利用“角的轉(zhuǎn)化”證得∠CBO與∠PAE相等，根據(jù)其三角函數(shù)值也相等建立方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

圖6

圖7

4 教學(xué)啟示

4.1 教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)概念的理解

綜上所述，教學(xué)中要讓學(xué)生從多角度厘清數(shù)學(xué)概念的要素，明確數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和概念之間的關(guān)系，以此強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解．

4.2 教學(xué)中要重視主題教學(xué)

數(shù)學(xué)主題教學(xué)是在整體思維指導(dǎo)下，從提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，以突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線以及知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性為方向?qū)滩膬?nèi)容重組和優(yōu)化而形成的一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)．?dāng)?shù)學(xué)主題根據(jù)具體的教學(xué)需求決定，可以分為以下三類(lèi)：以重要的數(shù)學(xué)概念或核心數(shù)學(xué)知識(shí)為主題、以數(shù)學(xué)思想方法為主題和以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為主題等．[2]例如根據(jù)第(3)小題可以設(shè)計(jì)以“相等角的處理策略”為主題的復(fù)習(xí)課．第一節(jié)課帶學(xué)生梳理初中階段不同章節(jié)中出現(xiàn)的相等角并完成基礎(chǔ)練習(xí)．如在基本圖形中有對(duì)頂角相等、角平分線分得的兩個(gè)角相等；在兩條平行線中同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等；在三角形中有等邊對(duì)等角、等邊三角形三個(gè)角都相等；在四邊形中有平行四邊形對(duì)角相等、菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角、矩形和正方形四個(gè)角都相等；在圓中有等弧或同弧所對(duì)的圓周角相等；在全等三角形或相似三角形中對(duì)應(yīng)角相等；在銳角三角形函數(shù)中銳角三角函數(shù)值相同的兩個(gè)角也相等；在一次函數(shù)中若直線的斜率k相同則直線與x軸的夾角相等……第二節(jié)課講解相關(guān)的中考題目，在解題中加深鞏固“相等的角”的處理方法．第三節(jié)課根據(jù)本主題內(nèi)容安排相關(guān)測(cè)試并進(jìn)行評(píng)價(jià)．通過(guò)主題教學(xué)與評(píng)價(jià)，學(xué)生對(duì)相等角的處理策略有了更深的理解，在解題中就能游刃有余，解題能力和思維能力都得到了發(fā)展．

數(shù)學(xué)主題教學(xué)正是從整體思維出發(fā)，在更高的觀點(diǎn)下對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的各要素進(jìn)行系統(tǒng)的綜合考量，使其產(chǎn)生整體效益．教學(xué)中要重視主題教學(xué)，教師要把教學(xué)內(nèi)容放到整體、主題中去全盤(pán)思考，才能有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．