突出思維過程的教學 促進核心素養的提升

孫 磊 (江蘇省無錫市第三高級中學 214000) 錢 銘 (江蘇省無錫市第一中學 214031)

關注學生的長效發展和可持續發展，使學生形成終身受益的數學學科核心素養，受到了人們的高度重視，成為當前數學教學改革的重要導向和熱門話題．《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：“數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的．”要求通過數學教學，引導學生會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界[1]．在這里，把數學的眼光、數學的思維、數學的語言看成是構成數學核心素養的三大支柱．數學核心素養既是高度抽象的思維產物，又是高于數學知識的思維方法．數學思維是數學核心素養最重要的部分，也是發展學生數學素養的根基所在．數學學習的本質，是數學思維活動的過程．因此，突出數學思維活動的教學，優化學生的思維品質，使學生學會理性思維，實現學生在思維層面上的“深度學習”，是培養和發展學生數學核心素養、促進學生數學核心素養養成的有效途徑和重要抓手．

1 追溯專家的思維過程，培養數學思維的意識

人們對數學知識、數學思想和數學方法的認識，一般都是先在實踐中獲得了大量的數學事實和活動經驗，然后再根據這些事實和經驗來總結、歸納和提煉出相應的數學命題和數學規律、數學思想和數學方法，再通過邏輯推理來加以證明、予以驗證．在這個程中，數學的思維起著關鍵性的作用．[2]數學教學要根據課標、教材和學情，充分利用現有的教學資源精心設計，引領學生追溯當年數學家探究數學知識、發現數學規律、提煉數學思想方法的心路歷程，體驗數學家在建構數學概念和用已有的知識去探索未知世界的思維活動，使學生從專家們探究、發現數學的知識、思想和方法的思維活動過程中感悟數學思維的魅力，增強數學思維的意識．

案例1“弧度制”一課的教學片斷．

師：前面一節課，我們將角的概念進行了推廣，建立了任意角的概念，對“角”有了新的、進一步的認識．

問題1角的大小是如何進行度量的？

師：角度制是古巴比倫人對天文學和數學所作出的一個重大貢獻！古巴比倫人受“黃道12星座”和“春秋分日，太陽劃過半個周天的軌跡恰好等于180個太陽直徑”的啟發，把圓周等分為360份，將每一份所對的圓周角叫做1度的角，由此產生度量角的一種制度——角度制．

問題2用度作為度量角的單位是唯一的嗎？你覺得度量角的大小還能有其他方法嗎？

生：應該有．例如長度的度量，既可以用“尺”，也可以用“米”，度量重量可以用千克、磅等不同單位．

師：很好！角度制是60進制，1度等于60分，1分等于60秒．但我們在進行計算時，很多時候運用的都是10進制．這就產生了進位制不統一的問題．

問題3你覺得還可以選擇怎樣的單位來度量一個角的大小呢？

問題4如圖1，射線OA繞端點O旋轉到OB形成角α．在旋轉過程中，射線OA上一點P(不同于點O)的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對應于圓心角α．記圓弧PP1的長為l、圓弧的半徑OP=r,則l,r,α之間存在著怎樣的關系？

圖1 圖2

師：這就是說，圓心角α所對的弧長與半徑的比值，隨圓心角α的確定而唯一確定．從而啟發我們，可以利用圓的弧長與半徑的比值來度量角的大小．

問題6你能類比角度制，給出弧度制的有關概念嗎？

在學習弧度制之前，學生對角度制已經有了一定的了解，如果在此基礎上直接給出弧度制的定義，建立起弧度制與角度制之間的聯系，學生也能接受，并能運用弧度制的知識來解決一些相應的問題．但是，度量角的大小既然有了角度制，為什么還要研究弧度制？怎么想到用弧度來表示角的？弧度制的優越性何在？對這些問題，學生會十分困惑，有一種強行灌輸的感覺，無法激起學習的熱情和興趣．本案例中，針對學生的問題，適時地融入數學史，介紹弧度制產生的背景，引領學生追溯數學家的思維軌跡，像數學家那樣圍繞著面對的問題與困惑，運用類比角度制的研究方法展開探究活動，經歷“1弧度角”和“弧度制”概念的發生和發展的過程，達成“將弧長與角的度量單位統一起來”的共識，不但自然而然地得出“1弧度角”和“弧度制”概念，揭示出弧度制與角度制之間的聯系，破解了學習的障礙，而且充分地體驗了數學家在進行科學探究、解決疑難問題、建立數學理論時的思維方法，使學生感受了類比推理和演繹推理的價值，學會了用數學的思維去分析和解決問題，提升了學生的數學核心素養，匡扶了學生的數學學習行為．

2 展示教師的思維過程，學會數學思維的方法

一般來講，學生的思維往往是在教師思維的引領之下，通過模仿教師的思維而逐漸形成的，所以教師在組織教學活動時必須高度地關注思維形式的“顯化”．現行的數學教材，因為篇幅的關系和章節結構的因素，許多內容都省略了知識的發展、探索和思路的發現、形成的過程，一些定理和性質是如何發現的，解決問題的方法是如何構想的和研究的，學生對它們存在著一種必然的神秘感和疑惑感．因此，在課堂教學中，對于每一個數學概念的建構，數學定理、性質和公式的發現，例題與習題的求解，都應將教師自己真實的思維活動過程完完全全地呈現在學生的面前，讓學生不僅能看到教師獲得成功的思維過程，還要能看到教師受困、碰壁、試誤、失敗和掙脫困境的思維過程．要設法使學生看到，面對一個新問題時教師自己是怎樣尋求解決思路的、其依據是什么、特別是在思路受阻后如何調整思路、為什么這樣調整等等[3]．這樣，學生看到了教師探求數學知識、解決數學問題的完整的思維過程，并從這個思維過程中感悟研究數學現象、解決數學問題的思維方法，學會數學地思考問題，從而有效地訓練數學思維的品質，提升數學學科的核心素養．

案例2“函數性質的應用”一課的教學片斷

師：前面，我們研究過函數的奇偶性和單調性，這是函數的兩個重要性質，在解決函數的有關問題時，有著廣泛的應用．今天這節課，我們通過一些具體的問題，進一步地來感受一下．請大家先看下面的問題(投影顯示)．

師：怎樣求出不等式(*)的解集呢？

生：先將不等式用x具體地表示出來．

生：？

師：要解這個不等式，脫去f的符號是關鍵，除了上面的方法外，有其他脫去f的方法嗎？

生：容易發現，f(x)是定義在R上的增函數，如果能將不等式轉化為f(a)>f(b)的形式，就可以利用f(x)的單調性脫去f的符號了．

師：非常好！這是想到了一種已有的解題經驗，前面曾經解過類似的問題．問題是，怎樣才能將不等式化為f(a)>f(b)的形式呢？

師：不錯的想法，不妨沿著這個思路試試看．

師生一起嘗試，發現此路不通，思路受阻．

師：這個思路行不通了，還有其他方法嗎？

生：？

在本案例中，教師運用師生對話的形式，引領 學生對問題進行分析和探索，尋求突破解題障礙的方法和策略，將教師解決這一問題的思維活動完完整整地展示在學生的面前，學生看到的不再單純是教師順利完成解題的神來之筆，而是教師分析和解決這一問題的整個思考過程，有對問題條件和結論的分析，有對解題思路的探索，也有在一種思路受阻時怎樣借助已有的解題經驗聯想已經解決過的類似問題的處理方法，通過對問題化歸、轉化、構造，沖出解題困境的策略，使學生不僅理解和掌握了一類問題的解題方法，而且體驗了數學思想，學會了理性思考，優化了思維品質，實現了在對比中求得簡捷，在運用中變得靈活，在活動中獲得經驗，在疏漏后學得縝密，有效地提高了分析問題和解決問題的能力．

3 暴露學生的思維過程，提升數學思維的能力

教育家斯托利亞爾指出：“數學教學是數學活動(思維活動)的教學，而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學．”這就是說，數學教學不僅要反映數學活動的結果，而且還要善于暴露得到這些結果的思維活動的過程．數學專家和數學教師解決數學問題的思維活動與學生的思維活動存在著明顯的差異，無法代替也不應該代替學生的思維過程．只有讓學生親自經歷探索的曲折情節，使思維帶有懸念色彩，才能增添學習的情趣，從而讓學習變得更“有意義”．[4]課堂教學中，教師應注意創設貼切的問題情境，巧妙地設置懸念，激發學生積極地參與到探索數學知識、發現解題方法的思維活動中來，給學生提供廣闊的思考空間和參與平臺，引導學生暢所欲言、各抒己見，評判各種思路和方法的優劣，要能耐心地傾聽學生的意見，讓學生充分暴露自己的思維過程，及時地對學生思維過程加以歸納、概括，幫助學生發現思維的“閃光點”和存在的問題，總結思維的規律、方法和技巧，有意識地指出學生思維活動的優劣，以此來激發學生的創造思維，發展學生的思維能力．

案例3“導數在研究函數中的應用”一課的教學片斷．

在研究了導數與函數的單調性、極值與最值之間的關系后，筆者給出了如下的一個問題給學生探究(投影展示)：

問題已知函數f(x)=(x2-ax+a)ex-x2，是否存在實數a，使得f(x)在x=0處取得極小值？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

師：請思考，如何來解決這一問題，說出你們的想法．

生1：為使函數f(x)在x=0處取得極小值，必須使得f′(0)=0．對f(x)求導，得f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax+a)ex-2x=[x2+(2-a)x]ex-2x．可知f′(0)=0恒成立，故存在實數a，使得f(x)在x=0處取得極小值，a的取值范圍是R．

師：生1的解法怎么樣？有沒有什么問題？

生2：上面的解法存在漏洞，函數f(x)在x=0處取得極小值，不僅需要f′(0)=0，還要滿足條件：x<0時f′(x)<0，并且x>0時f′(x)>0．

師：你上黑板來解解看．

師：生2得出了與生1截然相反的結論．根據極小值的定義，生1的解法顯然欠妥，結論是不正確的．那么生2的解法正確嗎？有沒有什么值得推敲的地方？請同學們再思考思考，不妨相互討論一下．

生3：生2的解法也是錯誤的．函數f(x)在x=0處取得極小值，除了必須具備f′(0)=0的條件外，不一定還要使得x<0時f′(x)<0，并且x>0時f′(x)>0．根據極小值的定義，函數f(x)在x=0處取得極小值，應該具備的條件是：f′(0)=0，并且在x=0的左右兩側的區間內，左側的導數f′(x)<0，右側的導數f′(x)>0，即在x=0的左側小區間內是減函數，右側小區間內是增函數．

師：很好！生3對函數極值概念的理解就到位了．在解決已知函數的極值，求參數的值或取值范圍的一類問題時，容易出現的錯誤就是生1和生2兩位同學那樣的解法，大家必須引起高度的關注．哪一位同學上黑板來完善一下這道題的解法？

生4：同上，得f′(x)=x[(x-a+2)ex-2]．假設存在實數a，使得f(x)在x=0處取得極小值，則必有f′(0)=0，并且在x=0的左側附近f′(x)<0，在x=0的右側附近f′(x)>0．顯然f′(0)=0恒成立，令g(x)=(x-a+2)ex-2，則必須且只需g(x)在x=0的左右兩側的附近，均有g(x)>0．由g′(x)=ex+(x-a+ 2)ex=0得x=a-3．而x≠0，所以a≠3．易得：當xa-3時，g′(x)>0，即g(x)在(-∞,a-3)上是減函數，在(a-3,+∞)上是增函數．從而g(x)在x=a-3處取得極小值，并且g(a-3)= -ea-3-2<0．為使g(x)在x=0的左右兩側的附近均有g(x)>0，必須且只須g(0)>0，即-a>0，亦即a<0．故存在實數a，使得f(x)在x=0處取得極小值，a的取值范圍是(-∞,0)．

師：非常好！請同學們對這個問題的探究過程作一個反思，看看有哪些收獲！

在解決有關函數極值的問題時，學生常常會出現這樣那樣的錯誤．怎樣有的放矢地幫助學生糾正錯誤、深化理解，這是我們必須下功夫去解決的問題．本案例中，教師沒有滔滔不絕地講授，將解決問題的正確方法灌輸給學生，而是留給學生充足的時間和空間，組織學生進行探索，靈活地采取多種方法，有意識地點撥、誘導和啟發，讓學生思考，讓學生交流，讓學生板書，在這個過程中將學生的思維活動過程完全地暴露了出來．然后循著學生的思維軌跡，針對學生解題中的思維缺陷，組織學生進行對話、合作和交流，及時捕捉學生思維的困惑點和障礙點，引領學生多方面、多角度、多層次地開展探索活動，幫助學生尋找錯因，糾正錯誤，形成對問題的正確認識，使思路越探越清，問題越探越明，知識越探越透，在潛移默化中優化了學生的思維品質，發展了學生的思維能力，培養了學生的數學素養，使課堂真正地成為激情蕩漾場所和智慧飛揚的天地．

4 結語

數學教學教給學生的不應只是冰冷的數學知識，更重要是要使學生學會用數學的眼光看待問題、用數學的思維去思考問題，獲得超越書本知識的數學學科核心素養．數學是思維的體操，教會學生用數學的方式去思維，遠遠比數學知識本身的教學更有意義．實施新課程教學，要求學生從“學會”到“會學”，即掌握知識，發展思維，形成能力，提升素養．要使學生“會學”最根本的一條就是要在傳授數學知識的同時，突出數學思維活動的過程，使數學教學真正成為數學思維活動的教學，在數學概念的建構、數學定理(公式和法則)的發現、解題思路探索活動中，引領學生掌握數學思維的方法，學會理性思考，優化數學思維的品質，形成分析問題和解決問題的數學技能，使教材中的知識、思想和方法，通過教師精心設計，轉化為學生的智慧，使“培養學生的數學學科核心素養”的目標在課堂上落地生根．