典型電路中的[U-I]圖像問(wèn)題分析

羅春亮

［摘 要］在歐姆定律的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有一些相對(duì)復(fù)雜的計(jì)算，其中涉及[U-I]圖像的運(yùn)用。實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生深刻理解[U-I]圖像的物理意義，這樣一方面能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，另一方面能夠提高學(xué)生的抽象思維能力。文章針對(duì)典型電路中的[U-I]圖像問(wèn)題進(jìn)行分析探討。

［關(guān)鍵詞］[U-I]圖像；歐姆定律；電路

［中圖分類(lèi)號(hào)］ ? ?G633.7 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號(hào)］ ? ?1674-6058（2022）20-0042-03

在學(xué)習(xí)部分電路歐姆定律時(shí)，應(yīng)用[U-I]圖像解答相關(guān)問(wèn)題是常考知識(shí)點(diǎn)。中考中，有時(shí)也會(huì)通過(guò)已知的[U-I]圖像所提供的信息，考查學(xué)生運(yùn)用串聯(lián)或并聯(lián)電路的特點(diǎn)及歐姆定律解決相關(guān)問(wèn)題的能力，而從[U-I]圖像中提取有用的信息是解題的關(guān)鍵。

一、讀懂[U-I]圖像

[U-I]圖像反映的是通過(guò)電阻的電流隨它兩端的電壓變化的關(guān)系。當(dāng)研究的電阻阻值恒定時(shí)，它的[U-I]圖像是一條通過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線(xiàn)（如圖1）；當(dāng)研究的電阻阻值隨著某些物理量的變化而變化時(shí)，它的[U-I]圖像便會(huì)是一條過(guò)原點(diǎn)的曲線(xiàn)（如圖2）。但是，不論是直線(xiàn)還是曲線(xiàn)，除通過(guò)圖線(xiàn)可直接讀出的電壓與電流的信息外，圖像的幾個(gè)重要信息也有重要且特殊的物理意義。

1.原點(diǎn)。過(guò)原點(diǎn)表示當(dāng)電阻兩端所加電壓為0時(shí)，通過(guò)電阻的電流也為0。

2.斜率。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，斜率的公式為[k=ΔU/ΔI]，這一公式很容易讓人聯(lián)想起[R=U/I]，認(rèn)為斜率大小就是阻值大小。這是對(duì)阻值定義以及幾何知識(shí)理解不透徹的緣故。結(jié)合圖1和圖2，并以?xún)蓤D中的[A]點(diǎn)為研究對(duì)象，當(dāng)圖線(xiàn)是直線(xiàn)時(shí)，有[k=ΔU/ΔI=tanθ]，[R=U0/I0=tanθ]，可見(jiàn)這種情況下圖像的斜率與阻值的大小相等；當(dāng)圖線(xiàn)為曲線(xiàn)時(shí)，有[k=ΔU/ΔI=tan β]，[R=U0/I0=tanα]，可見(jiàn)這種情況下圖像的斜率與阻值的大小不相等。因此，當(dāng)運(yùn)用斜率信息時(shí)，一定要注意圖線(xiàn)的曲直。

3.面積。圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍的面積也是一個(gè)重要的物理量，如圖1所示，以[A]點(diǎn)為研究對(duì)象，利用[U-I]圖像中圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍的面積可以計(jì)算電阻消耗的功率。

只要準(zhǔn)確把握[U-I]圖像中幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的物理意義，就能獲取[U-I]圖像中的相關(guān)信息并運(yùn)用這些信息解決問(wèn)題。下面我們結(jié)合一些典型例題進(jìn)行分析探討。

二、典例分析

（一）直接讀圖解決問(wèn)題

此類(lèi)題是最簡(jiǎn)單的一種考查題，通常可以直接通過(guò)題給[U-I]圖像得出解題需要的信息。但是需要注意的是，為了提高題目的難度，更是為了考查學(xué)生的讀圖能力，命題者通常會(huì)在截距、坐標(biāo)原點(diǎn)、單位等細(xì)微處設(shè)置陷阱，如果讀圖時(shí)不細(xì)心，就會(huì)容易出錯(cuò)。

【例1】在某次實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，小蘭所在小組畫(huà)出如圖3所示的[U-I]圖像，對(duì)此圖的解讀，下列選項(xiàng)中正確的是（ ）。

A.小蘭他們所用電源的電動(dòng)勢(shì)為2.0 V

B.小蘭他們所用電源的內(nèi)阻為4 Ω

C.小蘭他們所用電源的短路電流為0.5 A

D.當(dāng)電流為0.5 A時(shí)，電路中所接電阻阻值為0

解析：本題的命題陷阱顯而易見(jiàn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的改動(dòng)，縱軸表示電壓的原點(diǎn)并非從0開(kāi)始，如果求電源內(nèi)阻直接列式[r=2.0 V÷0.5 A=4 Ω]，顯然就錯(cuò)了。根據(jù)[U-I]圖像中圖線(xiàn)與縱軸的截距即電源的電動(dòng)勢(shì)可知，小蘭他們所用電源的電動(dòng)勢(shì)為[2.0 V]，選項(xiàng)A正確。圖線(xiàn)的斜率[k=ΔU/ΔI]，由于圖3中縱軸并非從0點(diǎn)開(kāi)始，故計(jì)算時(shí)一定要注意[ΔU]的正確取值應(yīng)為[2.0 V-1.8 V=0.2 V]，故小蘭他們所用電源的內(nèi)阻[r=0.2 V÷0.5 A=0.4 Ω]，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。當(dāng)電流為0.5 A時(shí)，通過(guò)讀圖可知路端電壓為1.8 V，電源的電動(dòng)勢(shì)為2.0 V，顯然小蘭他們所用電源的短路電流必大于0.5 A，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。讀圖可知，當(dāng)電流為0.5 A時(shí)，路端電壓為1.8 V，經(jīng)計(jì)算可知電源內(nèi)阻為0.4 Ω，由歐姆定律可得此時(shí)電路中所接電阻的阻值[R=E/I-r=2.0÷0.5-0.4=3.6（Ω）]，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

（二）復(fù)雜電路結(jié)合[U-I]圖像考查電功率的計(jì)算

將串、并聯(lián)電路與[U-I]圖像相結(jié)合，把某些重要信息隱藏其中，考查電功率的計(jì)算，這類(lèi)題通常涉及極值問(wèn)題，比如電阻的最大值、最小值。另外，還要考慮某些電學(xué)元件的性質(zhì)，比如燈泡、光敏電阻等的阻值會(huì)變化，只有考慮全面，才能正確解題。解答此類(lèi)題，準(zhǔn)確讀圖是關(guān)鍵。

［例2］某實(shí)驗(yàn)小組探究小燈泡的電壓與電流關(guān)系。實(shí)驗(yàn)電路如圖4所示，圖中電源選用[5 V]的恒定電源，電壓表量程為0～3 V，電流表量程為0～0.6 A，[R2]的阻值為2 Ω，待測(cè)燈泡L的額定電壓為4 V。圖5是通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制的[U-I]圖像。求：

（1）待測(cè)燈泡L正常發(fā)光時(shí)的電阻；

（2）斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S2和S3、閉合開(kāi)關(guān)S1時(shí)，滑動(dòng)變阻器[R1]可接入電路中的阻值大小范圍。

解析：（1）本題[U-I]圖像中的圖線(xiàn)并不是一條直線(xiàn)，對(duì)解題有一定的迷惑性。由于要求“待測(cè)燈泡L正常發(fā)光時(shí)的電阻”，“正常發(fā)光”時(shí)待測(cè)電阻兩端電壓應(yīng)該為額定電壓，即[UL=U額=4 V]，則由[U-I]圖像可知，此時(shí)[IL=0.4 A]，則有：

[RL=ULIL=4 V0.4 A=10 Ω]

（2）斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S2和S3、閉合開(kāi)關(guān)S1時(shí)，滑動(dòng)變阻器[R1]與待測(cè)燈泡串聯(lián)。由串聯(lián)電路性質(zhì)可知，當(dāng)待測(cè)燈泡正常發(fā)光時(shí)，滑動(dòng)變阻器接入電路中的電壓最小，則有：

[U小=U-UL=5 V-4 V=1 V]

此時(shí)滑動(dòng)變阻器接入的電阻最小值為：

[R小=U小IL=1 V0.4 A=2.5 Ω]

根據(jù)電壓表的量程可知，滑動(dòng)變阻器兩端電壓的最大值應(yīng)為[U1大=3 V]。根據(jù)串聯(lián)電路中電壓的性質(zhì)可知，待測(cè)燈泡兩端的最小電壓[UL′=U-U1大=5 V-3 V=2 V]。

通過(guò)所給[U-I]圖像可知，當(dāng)待測(cè)燈泡兩端電壓為2 V時(shí)，電流[I3=0.3 A]。

根據(jù)串聯(lián)電路電流性質(zhì)可知，通過(guò)滑動(dòng)變阻器的電流也為[I3=0.3 A]，所以此時(shí)滑動(dòng)變阻器接入電路的電阻最大值為：

[R大=U大I3=3 V0.3 A=10 Ω]

由此可知，當(dāng)斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S2和S3、閉合開(kāi)關(guān)S1時(shí)，滑動(dòng)變阻器[R1]可接入電路中的阻值大小范圍為2.5～10 Ω。

（三）畫(huà)[U-I]圖線(xiàn)，解決電路問(wèn)題

當(dāng)想判斷電路中電阻的變化與電流、電壓的關(guān)系時(shí)，通常的做法是通過(guò)歐姆定律進(jìn)行計(jì)算，但是這種方法往往比較復(fù)雜，而運(yùn)用作圖法可以將一些復(fù)雜的計(jì)算簡(jiǎn)化。有些問(wèn)題通過(guò)畫(huà)[U-I]圖像，根據(jù)圖線(xiàn)的斜率變化情況可以判斷電阻的變化與電流、電壓的關(guān)系。

［例3］如圖6所示，當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合、滑動(dòng)變阻器[R2]的滑片[P]向下滑時(shí)，電路中連接的電流表和電壓表的示數(shù)都會(huì)變化，已知[R1]是定值電阻，如果用[I]、[U1]、[U2]、[U3]分別表示電表的示數(shù)，用[ΔI]、[ΔU1]、[ΔU2]、[ΔU3]分別表示電表示數(shù)的變化量，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）。

A. [U1/I]的值不變，[ΔU1/ΔI]的值不變

B. [U2/I]的值變大，[ΔU2/ΔI]的值變大

C. [U2/I]的值變大，[ΔU2/ΔI]的值不變

D. [U3/I]的值變大，[ΔU3/ΔI]的值不變

解析：分析電路圖，發(fā)現(xiàn)電阻[R1]和[R2]是串聯(lián)關(guān)系，其中電壓表[V1]測(cè)[R1]兩端電壓，電壓表[V2]測(cè)[R2]兩端電壓，電壓表[V3]測(cè)外接電路電壓，電流表A測(cè)外接電路電流。因?yàn)殡娮鑋R1]是定值電阻，故[U1/I=ΔU1/ΔI=R1]，不論如何移動(dòng)滑動(dòng)變阻器的滑片，其值保持不變，故選項(xiàng)A正確。由[R1+R2=U3/I]，如圖7所示，先畫(huà)出電源的[U-I]圖像，再在這個(gè)圖中繼續(xù)畫(huà)出[R1+R2]的[U-I]圖線(xiàn)（圖7中虛線(xiàn)OM），當(dāng)滑動(dòng)變阻器[R2]的滑片[P]向下滑時(shí)，滑動(dòng)變阻器接入電路中的阻值[R2]變大，因此[R1+R2]的值變大，可畫(huà)出變化后的[R1+R2]的[U-I]圖線(xiàn)（圖7中實(shí)線(xiàn)[ON]），比較[U-I]圖像中[OM]和[ON]的斜率（即[U3/I]的值），可看出[U3/I]的值變大；因?yàn)閇ΔU3/ΔI]的值為電源的[U-I]圖線(xiàn)的斜率（物理意義為電源內(nèi)阻），從圖中看出[ΔU3/ΔI]的值不變，因此選項(xiàng)D正確。同樣，還可以將電源內(nèi)阻等同于[R1+r]，畫(huà)出如圖8所示的新電源的[U-I]圖像，再在其上畫(huà)出滑動(dòng)變阻器[R2]的[U-I]圖線(xiàn)，根據(jù)[R2]的大小畫(huà)出兩條圖線(xiàn)[OP]和[OQ]并比較，可直觀(guān)看出[U2/I]的值變大，[ΔU2/ΔI]的值不變，選項(xiàng)C正確。利用排除法可知本題應(yīng)選B。有興趣的讀者可以用畫(huà)圖法判斷[U2/I]和[ΔU2/ΔI]的變化情況。

（四）利用[U-I]圖像計(jì)算電功率

在直流電路中，我們常用伏安特性曲線(xiàn)來(lái)描繪某元件的電壓和電流關(guān)系，它們除能讓我們直觀(guān)地感受元件的電壓和電流的關(guān)系外，還能幫助我們計(jì)算電阻類(lèi)元件的實(shí)際功率。這類(lèi)問(wèn)題有個(gè)共同點(diǎn)，即電源和電阻類(lèi)元件的[U-I]圖像中有一條是曲線(xiàn)。在同一個(gè)[U-I]圖像上作出兩個(gè)研究元件的[U-I]圖線(xiàn)時(shí)，兩條圖線(xiàn)的交點(diǎn)反映了元件的電壓和電流，橫、縱坐標(biāo)的乘積即對(duì)應(yīng)時(shí)刻元件消耗的實(shí)際功率。

［例4］如圖9所示，是小明所在實(shí)驗(yàn)小組繪制的一段導(dǎo)體的伏安特性曲線(xiàn)，當(dāng)小明將一個(gè)阻值為18 Ω的定值電阻同該段導(dǎo)體一起串聯(lián)到一個(gè)電動(dòng)勢(shì)為9 V的電源上時(shí)，若電源的內(nèi)阻不計(jì)，求該段導(dǎo)體的實(shí)際功率。

解析：題中所給伏安特性曲線(xiàn)是一條曲線(xiàn)，顯然想要利用列式法求解比較困難。而且，研究對(duì)象還與一個(gè)定值電阻串聯(lián)在一起，給解題也帶來(lái)了一定的麻煩。這時(shí)，我們可以將定值電阻和電源視為一個(gè)整體來(lái)分析，將定值電阻視為電源的內(nèi)阻，如此，就能在題給[U-I]圖像中作出等效電源的伏安特性曲線(xiàn)，如圖10所示。兩條圖線(xiàn)的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)即為該段導(dǎo)體兩端的電壓和通過(guò)等效電源的電流，用作圖法可快速讀出交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0.33），即該段導(dǎo)體兩端電壓和通過(guò)它的電流分別為3 V和0.33 A，則它消耗的實(shí)際功率為[P=UI=3 V×0.33 A=0.99 W]。

以上，只是對(duì)[U-I]圖像問(wèn)題的解決和應(yīng)用做了簡(jiǎn)單的歸納。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生多總結(jié)、多思考，這樣學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題的理解更深入，也會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的[U-I]圖像的妙用。物理離不開(kāi)數(shù)學(xué)，跨學(xué)科的綜合應(yīng)用不僅能提高學(xué)生的物理學(xué)習(xí)能力，還能促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?彭坤.一道中考電學(xué)題的多種數(shù)學(xué)處理［J］.中學(xué)教與學(xué)，2000（11）：21-21.

［2］ ?李東升.配方法求最值［J］.數(shù)理天地（初中版），2008（1）：42-43.

（責(zé)任編輯 易志毅）