例談平行線分線段成比例定理的應(yīng)用

蘇國東

【摘要】 學(xué)生在運(yùn)用平行線分線段成比例定理時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)列錯(cuò)比例式的情形，原因在于對定理和推論的本質(zhì)理解不清.要做到正確運(yùn)用，關(guān)鍵在于借助圖形和符號(hào)語言理解本質(zhì)，正確識(shí)別圖形中的對應(yīng)線段，并借助口訣準(zhǔn)確列出比例式.

【關(guān)鍵詞】 平行線分線段成比例；相似三角形；對應(yīng)線段；比例式

平行線分線段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理論，要正確理解和運(yùn)用平行線分線段成比例定理及推論，關(guān)鍵是借助圖形和符號(hào)語言理解定理和推論的本質(zhì)，正確識(shí)別圖形中的對應(yīng)線段，并借助口訣準(zhǔn)確列出比例式.

1 定理及其應(yīng)用

平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.

符號(hào)語言：如圖1，若a∥b∥c，則有A1A2A2A3=B1B2B2B3，A1A2A1A3=B1B2B1B3，

A2A3A1A3=B2B3B1B3，……

記憶口訣：上下=上下，上全=上全，下全=下全，……

例1 如圖2，已知l1∥l2∥l3，判斷下列比例式是否正確：

①ACCE=BDDF；

②CEAE=DFBF；

③AEBF=ACBD；

④ABCD=CDEF.

分析 ①屬于上下=上下，②屬于下全=下全，④通過比例式性質(zhì)可變?yōu)锳EAC=BFBD，屬于全上=全上，而④中的線段不屬于對應(yīng)那段，故正確的是①②③.

如圖3，把圖1中的直線B1B3左右平移任意距離后，這些對應(yīng)線段依然成比例.

例2 如圖4，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE的值.

分析 正確識(shí)別圖中的對應(yīng)線段，因?yàn)?/p>

AB∥CD∥EF，

所以BCCE=ADDF=2+15=35.

2 推論及其應(yīng)用

保留圖3中的“A字形”和“X字形”，移除其余線條，定理仍然成立，即得到了以下推論.

平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.

符號(hào)語言：如圖5，圖6，若DE∥BC，則有

ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，DBAB=ECAC，……

例3 ?如圖7，在△ABC中，EF∥BC.

（1）若AE=BE=7，F(xiàn)C=4，求AF；

（2）若AB=10，AE=6，AF=5，求FC.

分析 根據(jù)題目所求選用合適的比例式.

（1）因?yàn)镋F∥BC，所以AFFC=AEEB，代入數(shù)據(jù)求得AF=4.由此得到一個(gè)熟悉的結(jié)論：已知點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，EF∥BC，則有點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)；

（2）BE=10-6=4，因?yàn)镋F∥BC，所以FCAF=BEAE，代入數(shù)據(jù)求得FC=103.

例4 如，DE∥FG∥BC.

（1）AEAC=25，則ADAB=；

（2）AGCG=2，則AFAB=；

（3）若AD=3，AF=4，BF=2，AG=6，求EC.圖8

分析 正確識(shí)別圖中的“A字形”和“X字形”，找出對應(yīng)線段.

（1）因?yàn)镈E∥BC，

所以ADAB=AEAC=25；

（2）因?yàn)镕G∥BC，

所以AFAB=AGAC=22+1=23；

（3）BD=3+4+2=9，

因?yàn)镈E∥FG∥BC，

根據(jù)已知數(shù)據(jù)選用合適的比例式ECAG=DBAF，代入數(shù)據(jù)求得EC=272.

3 綜合提升

通過兩組線段比例之間的轉(zhuǎn)換，可以解決更多綜合性問題.

例5 如圖9，DE∥BC，EF∥CD，求證：ADAB=AFAD.

分析 因?yàn)镈E∥BC，

所以ADAB=AEAC，

因?yàn)镋F∥CD，

所以AFAD=AEAC，

因此有ADAB=AFAD.

例6 如圖10，四邊形ABCD是菱形，AE=5，AF=4，求菱形的邊長.

分析 在菱形ABCD中，BC∥AF，CD∥AE，

則有EBEA=ECEF，ADAF=ECEF，

所以EBEA=ADAF.

設(shè)菱形的邊長為x，則有

5-x5=x4，解得x=209.