一道“希望杯”賽題的解法探究與推廣

李加祿

【摘要】 文章通過(guò)對(duì)一道競(jìng)賽試題深入探究，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)關(guān)聯(lián)和知識(shí)檢索，尋求一題多解，并深入挖掘試題的潛在價(jià)值，得到了一般化的結(jié)論.同時(shí)幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，提高解題能力，開(kāi)闊解題視野，有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性和創(chuàng)新意識(shí).

【關(guān)鍵詞】 反比例函數(shù)；面積問(wèn)題；一題多解；拓展變式

1 試題呈現(xiàn)

圖1

例 如圖1，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象經(jīng)過(guò)Rt△OAB直角邊AB的中點(diǎn)，且與斜邊OB交于點(diǎn)D.若△OCD 的面積為2，則k=.

分析 本題以平面直角坐標(biāo)系為背景，以反比例函數(shù)圖象為載體，重點(diǎn)考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，是一道立意深遠(yuǎn)，應(yīng)用價(jià)值和創(chuàng)新意識(shí)較好的試題.既注重?cái)?shù)學(xué)思想方法應(yīng)用，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、設(shè)而不求等常用數(shù)學(xué)思想方法，又緊扣核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，突出考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和直觀想象的核心素養(yǎng).而怎樣轉(zhuǎn)化條件“△OCD的面積為2”是解決本題的關(guān)鍵，其中條件“點(diǎn)C是線段AB中點(diǎn)”是解決本題的題眼，起著搭建橋梁的作用.因此只有聚焦△OCD的面積與中點(diǎn)條件展開(kāi)知識(shí)關(guān)聯(lián)，聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)，才能找到破解問(wèn)題的方法.

2 解法探究

2.1 巧設(shè)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求解

解法1 如圖2，設(shè)Cm，km，則Bm，2km，易求直線OB解析式為y=2km2x，進(jìn)而聯(lián)立直線OB和雙曲線解析式得方程組

y=2km2x，y=kx，

解得x=2m2，y=2km，

所以D2m2，2km，

由S△OCD=S△COB-S△BCD=2，得

12·BC·xB-12·BC·（xB-xD）=3，

化簡(jiǎn)得12·BC·xD=3，

則12·km·2m2=2，

解得k=4.

2.2 作垂線，三角形轉(zhuǎn)化為梯形面積求解

解法2 圖2

如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)Cm，km，則Bm，2km，易求直線OB解析式為y=2km2x，進(jìn)而聯(lián)立直線OB和雙曲線解析式得方程組

y=2km2x，y=kx，

解得x=2m2，y=2km，

所以D2m2，2km，

因?yàn)镾四邊形OACD=S△OCD+S△OAC

=S△ODE+S梯形DEAC，

且根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得

S△OAC=S△ODE=k2，

所以S△OCD=S梯形DEAC，

即12（yC+yD）（xC-xD）=2，

將C，D坐標(biāo)代入得

12km+2kmm-2m2=2，

化簡(jiǎn)解得k=4.

2.3 構(gòu)造相似，利用相似三角形性質(zhì)求解

解法3 如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，因點(diǎn)C為AB中點(diǎn)，

所以S△OAC=S△OBC=k2，

進(jìn)而S△OAB=k，

易證△ODE∽△OBA，

則S△ODES△OBA=ODOB2，

即k2k=ODOB2=12，

化簡(jiǎn)得ODOB=12，

又ODOB=S△ODCS△OBC，

于是S△ODCS△OBC=12，

則S△OBC=2S△ODC=2，

而S△OBC=k2=2，

解得k=4.

2.4 數(shù)形結(jié)合，利用解析法求解

解法4

如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)F，設(shè)直線OB，OC的解析式分別為y=mx和y=nx，聯(lián)立方程組圖3

y=mxy=kx，解得x=km，y=mk，

即Dkm，mk，

同理聯(lián)立方程組

y=nx，y=kx， 解得x=kn，y=nk，

即Ckn，nk，

因?yàn)辄c(diǎn)C為AB中點(diǎn)，

所以Bkn，2nk，

進(jìn)而Fkm，nkm，

DF=yD-yF=mk-nkm，

由S△OCD=12·OA·DF=2，

即12·kn·mk-nkm=2，

化簡(jiǎn)得k2mn-nm=2，①

又因點(diǎn)B在直線OD上，

于是將點(diǎn)Bkn，2nk代入y=mx，得m=2n，

即mn=2，

將其代入①式，得 k22-12=2，

解得k=4.

評(píng)注 上述四種解法都是從“斜△OCD”入手，展開(kāi)聯(lián)想，變通，構(gòu)造，轉(zhuǎn)化來(lái)尋求解題突破口.如解法1通過(guò)巧設(shè)中點(diǎn)C坐標(biāo)，聯(lián)立方程組求得點(diǎn)D坐標(biāo)，再利用△OCD和△OCB的面積關(guān)系構(gòu)造方程求解；解法2通過(guò)作垂線將“斜三角形面積”轉(zhuǎn)化為直角梯形面積求解；解法3通過(guò)構(gòu)造相似，利用相似三角形的面積比為相似比的平方進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到OD和OB的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求得△BCD的面積，再利用圖形面積關(guān)系構(gòu)造方程求解；解法4通過(guò)聯(lián)立直線與雙曲線解析式構(gòu)建方程組求得C，D坐標(biāo)，將△OCD“轉(zhuǎn)斜為直”，利用“鉛垂法”求解.當(dāng)然，這些解法都是借助圖形的面積關(guān)系構(gòu)造“k”的方程，而點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)的相互轉(zhuǎn)化和構(gòu)造基本圖形是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵，巧妙引入輔助未知數(shù)、整體代換、數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求思想是解決此類問(wèn)題的常用方法.

3 變式拓展

“知其然，不如知其所以然，知其所以然，不如知其何以然”.我們只有弄清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，才能讓問(wèn)題的“源”，解法的“流”，更加自然流淌，讓數(shù)學(xué)更有樂(lè)趣和味道.基于以上思考，對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行以下變式拓展.

3.1 改變條件

變式1 圖4

如圖4，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象與Rt△OAB直角邊AB相交于點(diǎn)C，與斜邊OB交于點(diǎn)D，且AC=23BC.若△OCD 的面積為2，則k的值為.

（答案為453）

變式2 如圖4，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象與Rt△OAB直角邊AB相交于點(diǎn)C，與斜邊OB交于點(diǎn)D，且OD=2BD.若△OCD 的面積為2，則k的值為.

（答案為1225）

3 2 結(jié)論與條件互換

變式3 如圖5，反比例函數(shù)y=6x（x>0）的圖象與Rt△OAB直角邊AB相交于點(diǎn)C，與斜邊OB交于點(diǎn)D，連接CD.若AC=23BC，則△OCD的面積為

（答案為91010）

3.3 推廣

如圖5，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象與Rt△OAB直角邊AB相交于點(diǎn)C，與斜邊OB交于點(diǎn)D，且ACBC=mn，△OCD的面積為S，則：

（1）ODOB2=ACAB=mm+n；

（2）S=kn2m2+mn.

圖5

解 如圖5，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，易證

△ODE∽△OBA，

則S△ODES△OBA=ODOB2，

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得

S△ODE=S△OAC=k2，

所以O(shè)DOB2=S△ODES△OBA=S△OACS△OBA=ACAB，

于是ODOB2=ACAB=mm+n，

進(jìn)而S△ODES△OBA=mm+n，

所以O(shè)DOB=mm+n，

由S△ODCS△OBC=ODOB=mm+n，得

S△OBC=Sm+nm，

由S△ODES△OBA=mm+n，得

k2k2+Sm+nm=mm+n，

化簡(jiǎn)，整理得S=kn2m2+mn.

特別地，當(dāng)點(diǎn)C為AB中點(diǎn)時(shí)，有m=n，則S=kn2m2+mn=k22，而本題中S=2代入，得k=4.通過(guò)對(duì)問(wèn)題變式和一般化處理，很好地詮釋了從特殊到一般，一般到特殊的數(shù)學(xué)方法，更好地揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律.

4 解題感悟

張景中院士認(rèn)為：小巧一題一法，不應(yīng)提倡，大巧法無(wú)定法，也確實(shí)太難，應(yīng)提倡中巧，就是能夠解決一類問(wèn)題的算法或模式.所謂的中巧，就是數(shù)學(xué)解題中有章可循的通性通法.基于以上一題四法及對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行變式拓展，可以幫助我們?cè)诮鉀Q此類問(wèn)題時(shí)有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，可以靈活應(yīng)用，同時(shí)也為我們指明了解題思路和方向.通過(guò)探究結(jié)論一般化，探尋問(wèn)題的通性通法，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的深入理解，更好地幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想和方法，提高解題能力，開(kāi)闊解題視野，從而有效培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性和創(chuàng)新意識(shí).