初中二年級 第2試

一、選擇題

1.下列五個多項式：

①a2b2-a2-b2-1；

②x3-9ax2+27a2x-27a3；

③x（b+c-d）-y（d-b-c）-2c+2d-2b；

④3m（m-n）+6n（n-m）；

⑤（x-2）2+4x.

其中在有理數范圍內可以進行因式分解的有（? ）

（A）①，②，③.（B）②，③，④.

（C）③，④，⑤.（D）①，②，④.

2.關于x，y的方程x2y=180的正整數解有（? ）

（A）1組.（B）2組.

（C）3組.（D）4組.

3.已知實數x滿足條件x＞2x+1，那么（x+2）2+3（x-3）3的值等于（? ）

（A）2x-1.（B）-2x+1.

（C）-5.（D）1.

4.已知a，b，c為正數，且a≠b，若x=1a+1b+1c，y=1ab+1bc+1ca，則x與y的大小關系是（? ）

（A）x＞y.

（B）x＜y.

（C）x=y.

（D）隨a，b，c的取值而變化.

圖1

5.如圖1，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=12DC=12DE，則∠D等于（? ）

（A）30°.? （B）45°.

（C）60°.（D）67.5°.

圖2

6.如圖2，四邊形ABCD中，AB=BD=DA=AC，則四邊形ABCD中，最大的內角的度數是（? ）

（A）90°.（B）120°.

（C）135°.（D）150°.

7.如圖3，四邊形ABCD中，AD＞BC，圖3E，F分別是AB，CD的中點，AD，BC的延長線分別與EF的延長線交于H，G，則（? ）

（A）∠AHE＞∠BGE.

（B）∠AHE=∠BGE.

（C）∠AHE＜∠BGE.

（D）∠AHE與∠BGE的大小關系不確定.

8.等腰三角形的一條腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（? ）

（A）30°.

（B）30°或150°.

（C）120°或150°.

（D）30°或120°或150°.

圖4

9.如圖4，正方形ABCD中，AB=8，Q是CD的中點，設∠DAQ=α，在CD上取一點P，使∠BAP=2α，則CP的長度等于（? ）

（A）1.（B）2.

（C）3.（D）3.

10.三個整數a，b，c的和是6的倍數，那么它們的立方和被6除，得到的余數是（? ）

（A）0.（B）2.

（C）3.（D）不確定的.

二、填空題

11.分解因式：（x2-1）（x+3）（x+5）+12=.

12.已知x-y-z=0，y-z=0，且xyz≠0，那么1998x2+1999y2-2000z21998x2-1999y2+2000z2＝.

13.如果x=12-34，那么x1-x2+1-x2x=.

14.若x2+y2+54=2x+y，那么xy+yx=.

圖5

15.如圖5，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，D是AB的中點，ED⊥AB交BC于E，連接CD，則∠CDE∶∠ECD=.

圖6

16.如圖6，C在線段AB上，在AB的同側作等邊三角形△ACM和△BCN，連接AN，BM，若∠MBN=38°，則∠ANB＝.

17.某個質數，當它分別加上6，8，12，14之后還是質數，那么這個質數是.

18.有8個整數，它們都不是5的倍數，那么它們的4次方的和被5除，得到的余數是.

19.數272-1能被500與600之間的若干整數整除，請找出三個這樣的整數，它們是.

20.有若干個相同的球，已知總數大于50，在桌子上恰能擺成一個正方形方陣，從這些球中去掉21個球后，可以擺成一個等腰梯形陣，在這個等腰梯形陣中，每一行的球數都比下一行的球數少1，而每腰上的球數比正方形每邊的球數少3，梯形較大的底上的球數是每腰上球數的2倍，那么球的總數是.

三、解答題 要求：寫出簡要步驟

21.求自然數對（a，b），同時滿足條件：

（1）0＜a-2b＜1；

（2）150＜（a+[KF（]2[KF）]b）3＜200.

圖7

22.如圖7，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，對角線AC、BD相交于O，∠ACD=60°，點S，P，Q分別是OD，OA，BC的中點，

（1）求證△PQS是等邊三角形；

（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面積；

（3）若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7∶8，求梯形上、下兩底的比CD∶AB.

答·提示

一、選擇題

題號12345678910

答案BDCACDCDBA

提示：

1.②式=（x-3a）3

③式=x（b+c-d）+y（b+c-d）

-2（b+c-d）

=（b+c-d）（x+y-2）

④式=（m-n）（3m-6n）

=3（m-n）（m-2n）

所以，②、③、④式合乎要求.

選（B）.

2.因為180=1×22×32×5，

又x2y=180.

所以x2y=1×22×32×5，

且x，y為正整數.

所以x=1y=180，x=2y=45，x=3y=20，x=6y=5，

共四組正整數解.

選（D）.

3.由 x＞2x+1，

所以（2-1）x＜-1.

所以x＜-12-1=-（2+1）＜-2，

所以x＜-2，x+2＜0，

所以原式=-（x+2）+（x-3）=-5.

選（C）.

4.由題意有2x-2y

=2a+2b+2c-

2ab-2bc-

2ac

=1a-2ab+1

b+1b-2bc+1c+

1c-2ac-

1a

=1a-1b2+1b-1c2

+1c-1a2

又因為a≠b，

所以1a-1b2＞0，

1b-1c2≥0，1c-1a2≥0，

所以x-y＞0，x＞y.

選（A）.

圖8

5.如圖8，作等邊△ABO，連接EO、OC.

所以AO=OB=AB=AE=BC.

又∠EAO=120°-60°=60°，

∠CBO=60°.

所以△EAO和△CBO均為等邊三角形.

所以E、O、C三點共線，

EC=2AB=ED=DC.

所以△ECD是等邊三角形.∠D=60°.

選（C）.

6.四邊形ABCD中，AB=AD=BD.

所以∠BAD=60°.

∠ABC+∠BCD+∠CDA

=360°-60°=300°.

在△ABC中，AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB.

在△ACD中，AC=AD，

所以∠ADC=∠ACD.

所以∠BCD=∠ACB+∠ACD.

=∠ABC+∠ADC

=300°-∠BCD，

所以2∠BCD=300°，

所以∠BCD=150°.

即最大內角是150°.圖9

選（D）.

7.如圖9，連接AC，取AC的中點P，連接PE、PF.

在△ACD中，F，P分別是CD，CA的中點.

所以PF瘙綊12AD，

同理，△ABC中，PE是中位線，

所以PE瘙綊12BC.

因為AD＞BC，

所以PF＞PE，

所以∠PEF＞∠PFE，

因為PF∥AH，

所以∠PFE=∠AHE，

因為PE∥BG，

所以∠PEF=∠BGE，

所以∠AHE＜∠BGE.

選（C）.

8.如圖10（a），等腰△ABC中，CD是腰AB上的高，若CD=12AC，則∠A=30°.

如圖10（b），等腰△ABC中，CD是腰AB上的高，若CD=12BC，則

∠B=30°，∠A=180°-2×30°=120°.

如圖10（c），等腰△ABC中，CD是腰AB上的高，若CD=12AC，則

∠DAC=30°，∠BAC=150°.

所以頂角等于30°或120°或150°.選（D）.

圖10

圖11

9.如圖11，取BC中點E，自E作EF⊥AP，F為垂足，連接AE，PE.

因為Q，E分別為DC，BC的中點，

所以△ADQ≌△ABE.

所以AE=AQ，

∠BAE=∠DAQ=α.

又∠BAP=2α，

所以∠EAP=α.

在Rt△ABE與Rt△AFE中，

AE=AE，∠BAE=∠FAE，

所以△ABE≌△AFE.

所以EF=BE=EC，

∠AEB=∠AEF.

在Rt△EFP與Rt△ECP中，

EP=EP，EF=EC，

所以△EFP≌△ECP，

所以∠FEP=∠CEP，FP=PC.

所以AE，EP分別是∠BEF和∠FEC的平分線，

所以AE⊥EP，∠AEP=90°.

所以∠CEP=∠BAE.

所以Rt△CEP∽Rt△BAE.

所以CPEC=BEAB=12.

所以CP=12EC=14BC=2.

選（B）.

10.a3+b3+c3-3abc

=（a+b）3+c3-3ab（a+b）-3abc

=（a+b+c）［（a+b）2-c（a+b）+c2］

-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）.

所以a3+b3+c3

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）

+3abc

又a，b，c為整數且a+b+c是6的倍數，所以a，b，c中至少有一個為偶數，否則a+b+c為奇數.

所以3abc能被6整除.

所以a3+b3+c3能被6整除.

選（A）.

二、填空題

題號111213

答案（x2+4x-3）（x2+4x+1）799179934

題號14151617181920

答案321∶282°53511，513，545121

提示

11. （x2-1）（x+3）（x+5）+12

=（x+1）（x+3）（x-1）（x+5）+12

=（x2+4x+3）（x2+4x-5）+12

=（x2+4x）2-2（x2+4x）-15+12

=（x2+4x-3）（x2+4x+1）

12.由x-y-z=0y-z=0得x=2zy=z，

所以原式=1998x2-z21998x2+z2=1998（2z）2-z21998（2z）2+z2

=79917993.

13.由x=12-34得

x2=2-34，

所以1-x2=1-2-34=2+34

所以 x1-x2+1-x2x

=x2+1-x2x1-x2=1x1-x2

=12-32×2+32

=4.

14.由題意知

x2-2x+y2-y+54=0，

即（x-1）2+（y-12）2=0.

所以（x-1）2=0，（y-12）2=0.

所以x=1，y=12.

所以xy+yx=1+12=32.

15.Rt△ABC中，D為AB中點，

所以DC=AD=DB.

因為∠B=36°，

所以∠BCD=36°，

所以∠BDC=180°-2×36°=108°.

又DE⊥AB，

所以∠CDE=18°.

所以∠CDE∶∠ECD=18∶36=1∶2.

16.因為△ACM與△BCN均為等邊三角形.

所以AM=CM=AC，

CN=BN=BC.

在△ACN與△MCB中，

AC=MC，CN=CB，

∠ACN=60°+∠MCN=∠MCB.

所以△ACN≌△MCB.

所以∠ANC=∠MBC.

由已知∠MBN=38°.

所以∠MBC=60°-38°=22°.

所以∠ANC=22°，

所以∠ANB=∠ANC+∠CNB=82°.

17.這個質數是5.

整數中按被5除所得余數可分為五類，即5k，5k+1，5k+2，5k+3，5k+4（k為整數），其中5k類型的數中，除質數5外，其余均為合數.

若質數M為5k+1類型，則

M+14=5k+1+14=5（k+3），為合數.

若質數M為5k+2類型，則

M+8=5k+2+8=5（k+2）.為合數.

若質數M為5k+3型數，則

M+12=5k+3+12=5（k+3），為合數.

若質數M為5k+4型數，則

M+6=5k+4+6=5（k+2），為合數.

綜上所述，只有質數5分別加上6，8，12，14之后為11，13，17，19，它們均為質數，其他

四類數不滿足條件.

18.一個整數不是5的倍數，它的個位數字可能是1，2，3，4，6，7，8，9，把它們4次方

之后，研究它們的個位數字，分別是：

14=1.

24=16，（個位數字為6）

34=81（個位數字為1）.

44=256（個位數字為6）.

64=1296（個位數字為6）.

74=2401（個位數字為1）.

84=4096（個位數字為6）.

94=6561（個位數字為1）.

即它們的個位數字不是1就是6，并且6被5除也是余1.所以一個不是5的倍數的整數，它的4

次方被5除一定余1.

8個這樣的整數，它們的4次方的和被5除所得余數為3.

19.272-1

=（236+1）（236-1）

=（236+1）（218+1）（218-1）

=（236+1）（218+1）（29+1）（29-1）.

因為29+1=512+1=513，

29-1=512-1=511

所以511，513都能整除272-1.

又218+1=218+2×29+1-2×29

=（29+1）2-（25）2

=（29+1+25）（29+1-25）

=545×481.

所以545也能整除272-1.

20.設有n2個球，則梯形腰上的球數為n-3，梯形較大底的球數為2（n-3），小底上的球數

為2（n-3）-（n+3）+1=n-2.則等腰梯形陣中球的總數是：

12［2（n-3）+（n-2）］×（n-3）=n2-21，

所以（3n-8）（n-3）=2n2-42，

3n2-17n+24=2n2-42，

n2-17n+66=0.

所以（n-11）（n-6）=0.

所以n1=11，n2=6.

當n=6時，n2=36＜50，不合題意，舍去.

所以n=11，球的總數為112=121（個）.

三、解答題

21.因為a-2b＜1，

所以a-1＜2b，

2a-1＜a+2b.

又（a+2b）3＜200，

所以（2a-1）3＜200，

而200＜216=63，

所以2a-1＜6，a＜72.

又a為自然數，

所以a的值只可能為1，2，3.

由已知a-2b＞0，a＞2b，且b是自然數，最小是1，所以a≠1.

若a=2，由2＞2b，知b只可能為1.此時，

（2+2）3＜43=64＜150與條件（2）相違.

若a=3，由a-1＜2b＜a，知2＜2b＜3.

所以b=2.

則0＜3-22＜1滿足條件（1）.

此時，（a+2b）3=（3+22）3

=33+3×32×22+3×3×（22）2+（22）3

=99+702.

設702=m，則m2=9800.

所以982＜m2＜992，（992=9801）.

所以150＜197＜（3+22）3＜198＜200滿足條件（2）.

即欲求的正整數對（a，b）為（3，2）.

圖12

22.如圖12，連接SC、PB.

（1）因為ABCD是等腰梯形.

所以AD=BC.

又 AC、BD相交于O，

所以AO=BO，OC=OD.

因為∠ACD=60°.

所以△OCD與△OAB均為等邊三角形.

因為S是OD的中點，

所以CS⊥DO.

在Rt△BSC中，Q為BC中點，SQ是斜邊BC的中線，

所以SQ=12BC.

同理BP⊥AC.

在Rt△BPC中，PQ=12BC.

又SP是△OAD的中位線，

所以SP=12AD=12BC.

所以SP=PQ=SQ.

所以△SPQ為等邊三角形.

（2）因為AB=5，DC=3.

所以SB=12DO+OB=32+5=132，

CS是等邊△DCO的高，

所以CS=332.

在Rt△BSC中，

BC=BS2+CS2=1694+274=7.

所以△SPQ的邊長SQ=12BC=72.

所以S△SPQ=34×722=49316.

（3）設上底CD=a，下底AB=b.（a＜b）

由（2）知BC2=SC2+BS2

=32a2+（b+a2）2

=a2+b2+ab，

所以S△SPQ=316（a2+ab+b2）

又△CDO與△ADO是高相等的三角形.

所以S△AODS△COD=ADOC=ba，

所以S△AOD=34a2×ba=34ab.

因為S△PQSS△AOD=78.

所以8×316（a2+ab+b2）=7×34ab，

即2a2-5ab+2b2=0，

所以（2a-b）（a-2b）=0，

又b＞a.

所以2a=b.

所以ab=12.

即CD∶AB=1∶2.