概念教學中基于“問題提出”的情境設計
——以“加權平均數(shù)”新授課為例

200235 上海市徐匯區(qū)教育學院 徐曉燕

200030 上海市徐匯中學 朱元苑

一、 研究背景

(一)“問題提出”及其教學價值

愛因斯坦曾說：提出一個問題比解決一個問題更重要.“問題提出”是一個發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生數(shù)學問題的過程，師生基于問題情境衍生出新問題，表達新問題的活動和任務.在教學活動中，通過對問題情境中數(shù)學對象的基本構成要素的分析與思考，挖掘關系和矛盾，進行質(zhì)疑與猜想，提出新問題.因而，圍繞情境的“問題提出”便是把一個問題情境變成一個新的問題情境從而形成問題鏈的過程.學習過程就是圍繞情境提出的問題鏈進行新知建構、內(nèi)容的鞏固理解和新情境中的遷移應用的活動歷程，而好的情境則能激發(fā)學生自主提出問題，促使學生成為更好的問題解決者.

近年，“問題提出”開始作為一種教學方法被關注.學者張丹的“問題提出”教學模式包括情境體驗、問題產(chǎn)生、問題解決和反思總結階段，形成了一個循環(huán)的閉環(huán)(如圖1所示)[1].如果教師營造的氛圍好，不僅在問題情境中會產(chǎn)生問題，而且在問題解決、反思總結的過程中都可能產(chǎn)生新的問題，整個教學過程就是學生在情境中不斷思考形成問題鏈，圍繞問題鏈進行活動實踐與合作交流的學習過程.

圖1

(二)“問題提出”與“情境創(chuàng)設”

問題情境決定了“問題提出”發(fā)生的基本場域，是“問題提出”得以發(fā)生的活動背景和資源條件.正如學者鄭培珺所說，要關注問題情境的創(chuàng)設，好的問題情境能夠揭示數(shù)學知識內(nèi)部的矛盾和聯(lián)系，激發(fā)學生的內(nèi)在動力[1].

情境化教學理論提出，在數(shù)學新知學習中要調(diào)動學生現(xiàn)實生活情境中的經(jīng)歷，增加學生理解和建構數(shù)學的能力；在知識運用中通過創(chuàng)設復雜真實的情境，讓學生克服情境干擾、剝離情境，增強把數(shù)學應用到新情境中的能力，從而形成“情境化—去情境化—再情境化”的教學路徑[2](如圖2所示).章建躍教授則在中國教育學會第十二屆初中青年教師課例展示活動中指出：“在數(shù)學對象引入階段，創(chuàng)設蘊含數(shù)學對象的現(xiàn)實原型的生活情境，激發(fā)興趣便于問題展開，而在新知發(fā)生發(fā)展過程中要創(chuàng)設數(shù)學問題情境，從數(shù)學內(nèi)部特殊化、一般化或者類比進行問題提出與思考.”上海市教育發(fā)展研究院研究員楊玉東則形象地把新知建構中的情境創(chuàng)設比喻為“搭設新知建構的腳手架”，新知應用中的情境則是促進知識遷移的“絆腳石”[3].

圖2

二、 課例呈現(xiàn)

加權平均數(shù)是對平均數(shù)算法的推廣，它的本質(zhì)是從數(shù)據(jù)的“大小”與數(shù)據(jù)的“多少”兩個維度揭示它對一組數(shù)據(jù)的平均值的影響力.平均數(shù)與加權平均數(shù)的計算公式都是總量除以數(shù)據(jù)的個數(shù)，但為什么要變形處理？這背后到底有什么意義？權是什么？為什么要加權？如何用好權并合理賦權？本節(jié)課的基本任務就是通過這些問題揭示“加權平均數(shù)”概念引入的必要性、概念定義的合理性及其在生活中的應用.因此，情境創(chuàng)設的基本思路是運用學生熟悉的情境和問題創(chuàng)設矛盾沖突，引發(fā)學生對熟悉的平均數(shù)計算公式的再認識與再思考.

(一)概念導入——熟悉情境，以舊引新孕育“權”

問題情境關注青少年的身高問題.已知某班級男生平均身高為170厘米，女生平均身高為160厘米，能否算出全班同學的平均身高？

設計意圖：在學生熟悉的身高情境中創(chuàng)設條件不完備的問題情境，引起錯誤的前概念.有學生求出結果為165厘米，誘發(fā)其他學生質(zhì)疑“缺人數(shù)的條件，因為全班同學的平均身高等于班級所有同學身高總和除以人數(shù)”，自然過渡到“添加人數(shù)”進行平均值計算的活動，孕育權的雛形．

(二)概念形成——情境變式，估值驗證感知“權”

情境變式1情境設定為班級總人數(shù)50不變，控制男生和女生人數(shù)變量.(如表1所示)

表1

思考1已知男生人數(shù)、女生人數(shù)，先不計算，請你估計結果更偏向于170還是160.

思考2計算結果，判斷是否符合你的估計.它的大小和人數(shù)有關系嗎？

設計意圖：采取控制變量的方法，班級總人數(shù)50不變，男生、女生的平均身高不變，通過控制男女生人數(shù)的變化達到變化權的目，讓學生初步感知權的存在.通過估值再計算驗證的方式，讓學生經(jīng)歷定性感知到定量計算的過程.在課堂中，學生得到的事實也是估計誰的人數(shù)多，結果就偏向于誰.而當人數(shù)相同時，均值則恰好是160與170的平均數(shù)，也就是說學生通過熟悉的生活情境已經(jīng)初步進行概念的建構.

情境變式2情境變換為年級人數(shù)和學校人數(shù)，引發(fā)估值驗證活動.(如表2所示)

思考3到底是什么量影響了平均數(shù)？是人數(shù)嗎？

學生對計算結果進行觀察與比對分析，發(fā)現(xiàn)平均值沒有發(fā)生改變，產(chǎn)生了認知沖突，進而發(fā)現(xiàn)盡管總人數(shù)發(fā)生了改變，但是男生人數(shù)和女生人數(shù)之比沒有發(fā)生改變，初步感知影響平均值的并不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，而是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)與總數(shù)據(jù)的個數(shù)之比.

設計意圖：通過表2中人數(shù)的同比例放大，創(chuàng)設觀察與對比的情境，引發(fā)學生提出“到底是什么影響了平均數(shù)的值？”的問題.學生提出“占比”才是影響平均值的關鍵，用這個占比來體現(xiàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)對平均數(shù)的影響，自然過渡到對平均數(shù)公式進行代數(shù)式變形.

表2

思考4如何對平均值的列式計算進行變形，從數(shù)學的角度體現(xiàn)出這個影響因素？

思考5如何從理性視角說明男生人數(shù)為30人，女生人數(shù)為20人時，平均數(shù)偏向男生的平均身高？(如表3所示)

表3

設計意圖：在探究平均身高的活動中，人數(shù)從無到有，從有到變，在對平均數(shù)公式變形進行數(shù)學化表達的階段中，學生感受權.思考5引發(fā)學生觀察170和160兩個數(shù)據(jù)在前面的占比，深刻體會“數(shù)據(jù)的多與少”對身高平均值的影響力.

(三)概念對象——數(shù)學抽象，多元表征明晰“權”

創(chuàng)設數(shù)學問題情境，從數(shù)學內(nèi)部提出問題與思考，從特殊到一般，從兩個數(shù)據(jù)到多個數(shù)據(jù)，剝離平均身高的情境進行數(shù)學抽象概括與提煉.

1.從特殊到一般，初步歸納與概括.

若男生和女生人數(shù)分別為a人和b人，請用含a，b的式子表示結果.

2.介紹孟子在《孟子·梁惠王上》中對權的解釋，了解權在古代的釋義，增加對概念定義的認同感.

孟子提出：“權，然后知輕重；度，然后知長短.物皆然，心為甚.”意思是物用秤稱一稱，才知道輕重，用尺量一量，才知道長短.什么東西都是這樣，人的心更需要這樣.

3.數(shù)據(jù)個數(shù)從兩個變?yōu)槎鄠€，提出對權進行數(shù)學化定義與數(shù)學表達.

設計意圖：從具體實際問題到抽象化的符號表達，從特殊到一般，從簡單到復雜，通過名人名言創(chuàng)設古今對話的情境，在感知概念屬性的基礎上順其自然地給出定義.讓學生感受定義的必要性與合理性，體會概念在有限的文字背后所隱含的豐富內(nèi)涵、價值觀和文化.

(四)概念辨析——情境變換，交流表達理解“權”

問題1保護視力、愛護眼睛的重要性使得 “控制青少年上網(wǎng)時長”成為近期熱點話題.已知A網(wǎng)站和B網(wǎng)站的用戶日人均上網(wǎng)時間分別為2小時和3小時，A網(wǎng)站用戶數(shù)為7萬人，B網(wǎng)站用戶數(shù)為3萬人，求這兩家網(wǎng)站所有用戶的日人均上網(wǎng)時間.

(1)在不計算的前提下，你能大致估計這兩家網(wǎng)站所有用戶的日人均上網(wǎng)時間嗎？說說你的理由.

(2)請嘗試列式解決問題.

問題2如圖3，對于“須控制青少年上網(wǎng)時長”這一熱點話題，通過抽樣調(diào)查，已知A網(wǎng)站和B網(wǎng)站認為“這個話題重要”的用戶所占百分比分別為74%和62%，A網(wǎng)站和B網(wǎng)站參與評價的用戶數(shù)分別為a人和b人.求這兩家網(wǎng)站所有客戶中認為“這個話題重要”的客戶所占比例.

圖3

思考6回顧平均身高問題，回答以下問題.

(1)計算所有同學的平均身高一定需要添加具體的人數(shù)嗎？

(2)男生、女生人數(shù)均為25人時，數(shù)據(jù)170和160的權分別是多少？你有什么發(fā)現(xiàn)？

(五)概念應用——綜合情境，關聯(lián)應用深化“權”

概念的真正理解，不僅在于學生在簡單情境中的模仿，更重要的是在真實復雜情境中進行知識的關聯(lián)理解、遷移和應用，理性思考權的作用，并能根據(jù)需要合理賦權．

熱點話題許海峰在1984年奧運會上為我國獲得首金.2021年奧運會，我國楊倩同樣在射擊項目上獲得本屆奧運會首金，掀起射擊訓練熱潮.

問題3小明學習射擊3個月，教練通過30次射擊訓練來了解他目前的水平.

(1)如圖4，你能根據(jù)圖中提供的信息估計小明本次訓練的平均成績嗎？

圖4

(2)請計算小明本次訓練的平均成績，并與你的估計比較.

設計意圖：首先通過“奧運首金”這一熱點話題創(chuàng)設情境，增強學生民族自豪感，培養(yǎng)愛國主義情懷.其次通過預估結果(在8-9之間)和計算出的平均值7.84存在較大差異創(chuàng)設矛盾沖突，讓學生從多個數(shù)據(jù)的維度理解每個數(shù)據(jù)以及它的權對平均數(shù)計算結果有共同影響，蘊含“截尾平均數(shù)”的雛形，并使學生意識到對事物的判斷需要將定性感知和精確的定量計算相結合，建立理性的數(shù)據(jù)觀.

問題4某網(wǎng)站想招聘一名網(wǎng)絡維護員，人事部門從創(chuàng)新能力、計算機能力和溝通能力三方面考察候選人的綜合能力.A、B、C三名候選人的測試成績(百分制)如表4所示.

表4

(1)如果你是人事主管，你會選誰？為什么？ (討論與交流)

(2)以下方案均讓計算機能力權重最大，會得到什么樣的結果？(比對分析)

引發(fā)問題根據(jù)不同的方案設計求出綜合評分.(如表5所示)

表5

方案1三項能力成績分別按照 3∶4∶3 計入綜合評分.

方案2三項能力成績分別按照 3∶5∶2 計入綜合評分.

方案3三項能力成績分別占綜合評分的 20%，60%和20%.

方案4三項能力成績分別占綜合評分的 10%，70%和20%.

設計意圖：問題4的小問(1)創(chuàng)設了結論開放的“選拔人才”的問題情境，激發(fā)學生討論交流，引發(fā)學生提出問題“到底如何賦權才能體現(xiàn)出公平性和合理性？”自然過渡到問題4小問(2)中的四個方案設計，通過對數(shù)據(jù)賦權的過程感悟權的價值，學生體會到數(shù)據(jù)的權重帶有設計者的個人觀點，不同的權背后折射出設計者不同的核心理念與價值觀．引導學生用理性的觀點對待數(shù)據(jù)，以免被表象誤導.

課堂教學中，對于小問(1)，部分學生認為應該選擇B, 因為他的計算機能力最強.也有學生持不同觀點，認為B的溝通能力不行，應該選擇C，因為他的計算機能力較強且其他方面也不錯.少部分學生認為應該選擇A，因為他溝通和創(chuàng)新能力較強.學生各說各的理，最后達成共識，不管選誰，都應該對計算機能力賦予最大的權.

對于小問(2)，學生感受到盡管四種方案都是賦予計算機能力最大的權，但是最終的結果還是不盡相同.通過比對，學生分析體會賦權背后的價值取向，并理解在實際問題中賦權需要進行多方面考量，并事先賦權，這樣才能體現(xiàn)合理性和公正性.

(六)概念小結——本原性問題情境，追根溯源，建立概念圖式

什么是權？為什么要學加權平均數(shù)？通過創(chuàng)設“為什么？是什么？怎么學？學了有什么用？”這樣的本原性問題情境，引發(fā)學生的深度思考，回顧和反思本節(jié)課的學習過程和問題解決過程，形成如圖5所示的概念圖，并發(fā)揮學生的主觀能動性，提升歸納和總結能力，讓學生感受概念在有限的文字背后所蘊含的豐富的內(nèi)涵、思想方法、數(shù)學文化.

圖5

三、 情境設計策略

(一)核心素養(yǎng)視角下概念教學的基本任務與過程

數(shù)學概念教學的任務不是“講概念”，而是讓學生在問題情境中“悟概念”.每個數(shù)學概念都包含著一些人甚至是人類在一段時空里的探索、質(zhì)疑、研究和發(fā)現(xiàn)，包含著思辨或實證，內(nèi)蘊著價值與信念，而這些努力和過程最終凝練、沉淀為概念.教師要讓學生在問題情境中感受概念引入的必要性，體驗概念抽象的過程性，體會數(shù)學概念定義的合理性.讓學生在觀察與實驗、分析與綜合、歸納與概括中經(jīng)歷概念的抽象過程，通過素材加工與情境的設計，帶領學生走入概念呈現(xiàn)的有限文字背后所蘊含的數(shù)學文化[4].

數(shù)學核心素養(yǎng)視角下的概念學習要經(jīng)歷形象感知、建立表象、數(shù)學抽象等概念建構的基本過程，用數(shù)學的眼光看世界，夯實基本的思維素養(yǎng)，用推理或計算分析解決問題.而當概念成為數(shù)學對象后，要在數(shù)學或現(xiàn)實世界進行應用，回歸“抽象、表象、形象”，用推理或計算分析解決問題，從中感悟方法，體會數(shù)學在現(xiàn)實世界的工具作用，形成觀念、提升意志力和品格[5].(如圖6所示)

圖6 概念學習的基本認知過程

(二)策略

當下教師都關注創(chuàng)設情境讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，但是常常出現(xiàn)情境與數(shù)學對象之間沒有關系，情境不利于教學問題的展開等情況.筆者認為，教師可運用以下策略來創(chuàng)設問題情境.

1.基于概念本質(zhì)，創(chuàng)設“概念原型”的情境以提出問題

數(shù)學概念的產(chǎn)生主要是源于現(xiàn)實世界的抽象或數(shù)學內(nèi)部的邏輯構造.教師要先厘清概念本質(zhì)和基本要素，才能創(chuàng)設好的問題情境.設計問題情境時可以從以下方面思考：如何引發(fā)興趣和沖突、找到現(xiàn)實世界中的概念原型、基于概念本質(zhì)找到新舊概念間的邏輯與關聯(lián)，基于概念框架和聯(lián)系視角整體考慮情境的可變性和問題的發(fā)展性.

例如，平均數(shù)是加權平均數(shù)的“源頭”，而加權平均數(shù)的兩個構成要素是數(shù)據(jù)(數(shù)的大小)和數(shù)據(jù)的權(數(shù)的多少).所以導入概念時，通過問題1的身高情境提出條件不完備的問題，喚醒和引發(fā)原有的前概念和錯誤概念，隱含新概念的原型，為引入的必要性創(chuàng)設合情合理的情境，并有序進行后續(xù)發(fā)展.

再如，平面直角坐標系概念的本質(zhì)是設置一個參照點，從方向和大小兩個維度確定和表達平面內(nèi)的另一個位置，它在現(xiàn)實世界中有著豐富的概念原型，所以這類概念的問題情境的創(chuàng)設應該是運用豐富的現(xiàn)實素材(如電影院找位置、問路、象棋或五子棋)，引發(fā)基本問題“如何確定平面中點的位置？如何用數(shù)學的語言表達平面中點的位置？”以基本問題為中心，調(diào)動數(shù)軸的學習經(jīng)驗，從一維的直線到二維的平面進行邏輯構造，讓學生將生活經(jīng)驗和知識基礎融合，通過問題驅動，在真實的情境中建立概念和概念聯(lián)系.

2.基于概念形成，情境變式問題鏈引發(fā)概念進階建構

教師要對概念構成要素進行概念學習進階的結構分解和重組，根據(jù)學情進行結構化、系列化的情境問題鏈設計，不斷誘導學生在解決問題中合理衍生新問題，從而實現(xiàn)概念的進階建構的思維路徑.值得一提的是，創(chuàng)設的問題與情境要處于學生的最近發(fā)展區(qū)，分解為合適的概念進階，這樣學生才能在概念起點的基礎上實現(xiàn)概念的獲得.

在加權平均數(shù)的課例中，圍繞平均身高問題的情境，運用控制變量的方法，在男生、女生平均身高保持不變的前提下，讓“人數(shù)”這一數(shù)據(jù)“從無到有”“從有到變”，不斷自然地衍生出新問題.人數(shù)是如何影響平均數(shù)的？到底是什么影響了平均數(shù)的值？如何將平均數(shù)計算公式進行變形才能體現(xiàn)出權？計算平均身高一定需要添加具體的人數(shù)嗎？通過基于情境提出的問題鏈，學生形成孕育“權”、感知“權”、明晰“權”、理解“權”的概念學習進階.問題環(huán)環(huán)相扣，理解層層遞進，從定性感知數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)對平均數(shù)結果的影響力大小，形成加權平均數(shù)的數(shù)學化定義，進行定量的符號表達.

3.基于概念理解，“誘錯性”情境引發(fā)質(zhì)疑思辨

概念的建構與理解是一個教師為主導、學生為主體的雙向互動的過程，通過教師有目的的情境創(chuàng)設與引導，學生不斷反省和抽象，祛除遮蔽、消除誤解、達成共識、揭示本質(zhì)，大量隱性知識在課堂充分的交流、活動和互動中逐漸顯性化、清晰化，學生建立情境中的現(xiàn)象與數(shù)學對象的基本要素的聯(lián)系，逐步建構概念對象.

加權平均數(shù)教學中，問題2的情境將權以“百分數(shù)”的方式呈現(xiàn)，進行誘錯.而問題3為幫助學生脫離“數(shù)據(jù)控制不變，感受權”的情境，設計兩個到多個數(shù)據(jù)，運用條形統(tǒng)計圖的表征方式進行情境的創(chuàng)設，設計先估值再計算驗證的活動，通過數(shù)值差異造成強烈的認知沖突，讓學生在試錯中不斷進行概念辨析，理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵與外延.

4.基于概念應用，創(chuàng)設交流互動的開放問題情境

概念成為一個數(shù)學對象后，要通過遷移應用來進行數(shù)學概念和模型的強化和泛化.此時問題情境應當是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)的，教師運用情境的目的更多是擴展概念的應用性理解.這類情境最好有一定程度的“情境干擾”，讓學生在現(xiàn)實世界的問題解決中反思和評估方法的復雜優(yōu)劣性、實際可行性和可操作性，多角度提出問題.許多現(xiàn)實問題可能不一定有標準答案，“求同存異，和而不同”，學生在交流互動中獲得用數(shù)學解決現(xiàn)實問題的通透感和愉悅感.

面對問題4，學生在“選拔人才”的情境中思辨性地進行賦權活動和任務，充分表達與交流，互相質(zhì)疑與評價，不斷將“問題提出”中內(nèi)隱的交流過程外顯化，通過定性感知與定量計算相結合，越辯越清晰，思考賦權背后的價值取向，體會如何讓數(shù)據(jù)說話，讓數(shù)據(jù)說真話，初步建立理性的數(shù)據(jù)觀.

5.基于概念圖式，創(chuàng)設綜合情境，拓展時空延展問題

概念具有過程與結果的兩重性，概念的理解是逐步螺旋式上升的.一方面，筆者通過小結圖式化建立概念的聯(lián)系，揭示本質(zhì).另一方面，課堂的時間是有限的，可以運用信息技術手段，通過視頻方式進行數(shù)學史的分享，追溯歷史，聯(lián)系古今，也可以介紹現(xiàn)實世界中概念的應用與發(fā)展，布置查閱資料等課后長作業(yè)，引導學生探索未來，從概念體系和概念圖式的視角理解和探索概念，體會概念背后的思想方法和文化.

四、 結語

有效的情境不僅要有豐富的內(nèi)涵，更重要的是要具有“問題”的誘導性、發(fā)展性和探索性．在教學中，厘清概念的構成要素，尋找現(xiàn)實的概念原型，將兩者有效結合，精心創(chuàng)設問題情境，基于學習進階設計問題鏈，引導學生建立情境和數(shù)學對象之間的關聯(lián)，提出有意義的數(shù)學問題并予以解決，以情境建立數(shù)學對象與學習者的關聯(lián)，以問題驅動思考，以任務與活動促成能力，以知識結構關聯(lián)與遷移運用促成素養(yǎng)形成.“教是為了不教”，基于情境提出的問題要自然、本原、可模仿，這樣才能早日實現(xiàn)從教師的“問題引導學習，激發(fā)學生思維”過渡到“學生自主提問，展開創(chuàng)新學習”.