基于GeoGebra的數學實驗教學實踐與反思
——以“二次函數的性質”為例

張 彤

(蘇州大學數學科學學院 215006)

高貞壽

(江蘇省蘇州市吳江區松陵第一中學 215200)

數學實驗是通過動手動腦“做”數學的一種數學學習活動，是學生運用有關工具(實物或計算機等)，在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動．[1]數學實驗教學將過程與結果、操作與思維、實驗與論證、證偽與證實有機融合，實現了靜態數學觀與動態數學觀的融通，使得數學教學變得完整而有活力．[2]蘇科版《義務教育教科書·數學》將數學實驗引進教材，專門設置了“數學實驗室”，為教師開展數學實驗教學提供了素材和基本線索．筆者參與了九年級下冊5.2節“二次函數的圖象和性質”中的“數學實驗室——二次函數的性質”公開課的研討和磨課過程，并在數學實驗教學中應用動態數學軟件GeoGebra(下稱GGB)探究了含參二次函數圖象的變化規律．

1 基本情況

·教材分析

本節課旨在對含參二次函數圖象的變化規律進行探究，使學生深入理解二次函數的圖象和性質，對學習二次函數與一元一次方程、不等式和二次函數的應用都有非常重要的意義．利用動態數學軟件可以較好地演示二次函數圖象的變化規律．

·學情分析

學生在八年級已經學過一次函數和反比例函數，對函數的研究結構和方法有了初步的體悟．在九年級下冊第5章5.1節和5.2節中，學生又系統地學習了二次函數的概念、圖象和基本性質，完整地經歷了二次函數圖象和基本性質的研究過程，具有從特殊到一般、從具體到抽象的思維經歷．含參二次函數的相關內容一直是學生學習的難點．利用GGB強大的動態演示功能，可以幫助學生經歷參數變化引起圖形變化規律的過程，促進學生從感性的數學認識順利地過渡到理性的數學原理的探究，從而突破難點，降低學習坡度．

·教學目標

(1)利用GGB構建數學實驗平臺，通過實驗操作、比較研究、探索發現參數變化引起圖形變化的規律，促進對含參二次函數圖象的理解和認識．

(2)感受數形結合的思想方法，體會由具體到抽象、從特殊到一般的研究方法，提高觀察、分析和解決問題的能力．

·教學重點與難點

教學重點 參數的變化引起二次函數圖象的變化規律．

教學難點 理解二次函數參數引起圖象變化的數學本質．

·教學方法與手段

問題啟發式、小組合作式、實驗操作式相結合．

·教學器材

未來教室，人手一臺裝有GGB軟件的電腦．

2 教學過程

2.1 復習回顧，引入課題

師：很好！對于二次函數y=ax2(a≠0)，參數a從3變到-3，其圖象發生了怎樣的變化呢？下面，我們來研究這一問題．

設計意圖通過具體的二次函數，教師引導學生發現二次項系數的正負和絕對值大小對函數圖象的影響，為系數由具體數字變為抽象字母作好鋪墊．

3.1 實驗探索，歸納性質

探究1參數a對二次函數y=ax2圖象的影響．

師：請同學們打開桌面上的GGB畫圖軟件，新建滑動條a(-10≤a≤10)，然后在下方“輸入”位置新建函數y=ax2．如圖1，滑動a改變a的大小，觀察二次函數y=ax2的圖象，看看有什么變化？

生1：開口方向和大小在變化．

生2：當a=0時，圖形消失了．

師：請仔細觀察，當a=0時y=0，圖形不是消失了，而是變成了直線y=0，即x軸．

師：對應a的數值，看看具體是怎么變的？

生4：當a>0時，開口向上；反之，開口向下(圖略)．

生5：當|a|越大時，開口越小；當|a|越小時，開口越大．

設計意圖數學實驗的關鍵是讓學生參與到實驗探究過程中．教師引導學生通過操作GGB觀察系數a對二次函數y=ax2圖象變化的影響，從直觀的角度回答探究1，為其數學分析作準備．

師：同學們，請思考一下，為什么當|a|越大時開口越小，當|a|越小時開口越大？

(學生思考)

師：我們以前學習過一次函數y=kx+b(k≠0)，|k|的值越大，y隨x的變化速率越快，圖形呈現“陡”的情況．

生6：哦！我懂了．在這邊，|a|越大，y隨x的變化速率越快，圖形呈現“陡”的情況，拋物線的開口就越小；反之，開口就越大．

師：那么誰能來總結一下參數a對二次函數y=ax2(a≠0)圖象的影響？

生7：a的正負影響二次函數y=ax2(a≠0)圖象的開口方向．a為正數，圖象開口向上；a為負數，圖象開口向下．

生8：|a|影響圖象的開口大小．|a|越大，y隨x的變化速率越快，圖形也是呈現“陡”的情況，拋物線的開口就越小；反之，開口就越大．

設計意圖教師幫助學生回憶參數k對一次函數y=kx+b(k≠0)圖象變化的影響，并將該方法遷移到二次函數中，借助GGB直觀動態的演示，引導學生探索、發現相應的性質．

探究2參數a,b,c對二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)(*)圖象的影響．

師：上面我們已經研究了參數a對二次函數y=ax2(a≠0)圖象的影響，下面仿照上述研究方法，進一步探究參數a,b,c對二次函數(*)圖象的影響．

各小組先進行學生個人探究，再合作討論，從開口方向、開口大小、對稱軸位置、與y軸交點C這四個方面探究：當參數a,b,c分別變化時哪些量在變，是如何變的；哪些量是不變的．

(教師巡視，了解學生存在的困難，適時指導解惑，引導學生自己實驗、觀察、總結)

師：我們首先邀請第一小組代表演示、總結．

生9：僅參數a變化時，我們發現，開口方向和開口大小都在變化，如圖2．a的正負影響圖象的開口方向．當a為正數時，圖象開口向上；當a為負數時，圖象開口向下．|a|影響圖象的開口大小．|a|越大，拋物線的開口就越小；反之，開口就越大．這與我們前面研究的y=ax2(a≠0)的情況一致．

師：總結得不錯！他們認為參數a影響二次函數圖象的開口方向和開口大小．有補充的嗎？

生10：我來補充一下．我們小組觀察到，當a=0時，函數變為一次函數y=bx+c，其圖象為一條直線．

師：很好！觀察得非常仔細，并且分析了原因.當a=0時函數變為y=bx+c，為一次函數，所以其圖象為一條直線．

生11：老師，我們組也有補充．我們發現，在參數a變化時，拋物線的對稱軸也在移動位置(圖略)．

師：非常好！對稱軸的位置也與參數a有關．那么有沒有不受參數a影響，始終不動的？

生12：與y軸交點C．

師：參數b變化時，情況又如何呢？

生13：我們小組發現，當參數b變化時，對稱軸的位置發生了變化．拋物線的開口大小也發生了變化，開口方向不變(圖略)．

生14：老師，我們認為拋物線的開口方向和開口大小都沒有變．

師：當參數b變化時，對稱軸的位置發生變化是沒有疑義的．但在拋物線的開口大小上有一定的爭議．參數b對拋物線的開口大小有影響嗎？請同學們再實驗操作一下．

在教師的指導下，學生通過實驗沒有發現參數b對拋物線的開口大小有影響．

師：通過實驗，我們可以得到：參數b僅對對稱軸的位置有影響，對其他沒有影響．

師：那么參數c對圖象的哪些元素有影響？

生15：僅對拋物線與y軸交點C有影響(圖略)．

師：很棒！下面我們來總結一下參數a,b,c變化對二次函數(*)圖象的影響．

生16：參數a影響拋物線的開口方向和開口大小，a的正負影響圖象的開口方向，當a為正數時，圖象開口向上；當a為負數時，圖象開口向下；|a|影響圖象的開口大小，|a|越大，拋物線的開口就越小；反之，開口就越大．同時，對稱軸的位置也受參數a的影響．

生17：參數b僅對對稱軸的位置有影響．

生18：參數c僅對拋物線與y軸交點C有影響．

設計意圖通過GGB動態演示參數a,b,c變化時對二次函數(*)圖象變化的影響，以學生先自主探究再小組合作的方式探索相應的結論．

探索3參數a,b,c對二次函數(*)圖象影響的原因分析．

師：你能分析一下原因嗎？

師：分析得非常好，我們可以簡單地記為“左同右異”．那么，對y軸交點C的坐標(0,c)的影響如何呢？

生20：當c>0，拋物線與y軸交點C(0,c)在y軸正半軸上；當c=0，拋物線與y軸交點C(0,c)在原點(0,0)處；當c<0，拋物線與y軸交點C(0,c)在y軸負半軸上．

師：總結得非常好！這里我們可以簡單地記為“上正下負”．

師：今天我們利用GGB軟件通過實驗結合數學分析，探討了參數a,b,c的變化對二次函數(*)圖象變化的影響．GGB幫助我們直觀清晰地觀察動態二次函數圖象變化及相應的復雜動態問題，希望同學們在以后的學習中熟練運用．

設計意圖利用計算機進行數學實驗，除了驗證結論外，應將重點放在促進學生對數學的理解和探究更多的數學結論上．在探索2的基礎上，教師緊扣開口方向、對稱軸和與y軸交點這三個主要的圖象特征，引導學生發現函數圖象變化的整體趨勢，并從二次函數表達式本身進行數學分析，揭示其變化規律背后的數學原理．

3 教學反思

(1)在數學實驗教學中的應用分析

數學是一門邏輯性很強、具有高度抽象性的學科，而初中生處于具體形象思維向抽象思維的過渡階段，對這一階段抽象思維能力的培養，不僅要基于已有的認知水平，還要依賴于具體生動的表象．因此，對于“數形結合”這一重要數學思想方法，如何使用信息技術輔助教師的教和學生的學已成為一線教學需要關注的問題．本節數學實驗教學課使用GGB軟件研究二次函數的性質，探討含參二次函數圖象的變化規律，既是教學的重點，也是教學的難點．本節課教者從始至終一直在引導學生自主操作GGB軟件，以自主探究和合作討論的方式觀察參數a,b,c數值的變化對二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖象變化的影響，以師生互動的形式揭示圖象變化的原因，并對原因進行抽象概括和歸納、總結．憑借GGB強大的動態演示功能，“二次函數的性質”這一復雜、抽象的代數問題，經歷學生自主改變參數值的大小和觀察相應圖象的變化規律，被轉換成一個形象、直觀的幾何問題，并在“形”“數”互變中建立數學關系．教師還以師生互動的方式，運用基于代數抽象推理的講授來彌補幾何直覺的不足．這節課將抽象的知識具體化、形象化、動態化，再自然地過渡到嚴密的邏輯推理上，不僅可以提高學生學習數學的信心和興趣，還可以培養學生良好的數學思維方式和學習習慣．

(2)在數學實驗教學中的優勢分析

建立數學實驗室，讓學生獲得適應未來生存與發展所必需的數學活動經驗，是義務教育階段數學課程的目標之一．蘇科版數學教科書要求教師在“教學實驗室”中用幾何畫板軟件研究二次函數的性質．比較而言，GGB比幾何畫板更容易上手，操作也更為簡明流暢，“數”“形”結合得更好．在數學實驗教學中，學生可以在教師的引導下，同步操作GGB進行幾何圖形的建構，并借助圖形的變換、測量、試驗和分析，研究幾何圖形的性質，從而實現以自主體驗的方式完成“數學基本活動經驗”中的“探究活動”和“論證活動”．