基于GeoGebra的數(shù)學實驗教學實踐與反思
——以“二次函數(shù)的性質(zhì)”為例

張 彤

(蘇州大學數(shù)學科學學院 215006)

高貞壽

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學 215200)

數(shù)學實驗是通過動手動腦“做”數(shù)學的一種數(shù)學學習活動，是學生運用有關(guān)工具(實物或計算機等)，在數(shù)學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數(shù)學驗證或探究活動．[1]數(shù)學實驗教學將過程與結(jié)果、操作與思維、實驗與論證、證偽與證實有機融合，實現(xiàn)了靜態(tài)數(shù)學觀與動態(tài)數(shù)學觀的融通，使得數(shù)學教學變得完整而有活力．[2]蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》將數(shù)學實驗引進教材，專門設(shè)置了“數(shù)學實驗室”，為教師開展數(shù)學實驗教學提供了素材和基本線索．筆者參與了九年級下冊5.2節(jié)“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”中的“數(shù)學實驗室——二次函數(shù)的性質(zhì)”公開課的研討和磨課過程，并在數(shù)學實驗教學中應用動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra(下稱GGB)探究了含參二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律．

1 基本情況

·教材分析

本節(jié)課旨在對含參二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律進行探究，使學生深入理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對學習二次函數(shù)與一元一次方程、不等式和二次函數(shù)的應用都有非常重要的意義．利用動態(tài)數(shù)學軟件可以較好地演示二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律．

·學情分析

學生在八年級已經(jīng)學過一次函數(shù)和反比例函數(shù)，對函數(shù)的研究結(jié)構(gòu)和方法有了初步的體悟．在九年級下冊第5章5.1節(jié)和5.2節(jié)中，學生又系統(tǒng)地學習了二次函數(shù)的概念、圖象和基本性質(zhì)，完整地經(jīng)歷了二次函數(shù)圖象和基本性質(zhì)的研究過程，具有從特殊到一般、從具體到抽象的思維經(jīng)歷．含參二次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容一直是學生學習的難點．利用GGB強大的動態(tài)演示功能，可以幫助學生經(jīng)歷參數(shù)變化引起圖形變化規(guī)律的過程，促進學生從感性的數(shù)學認識順利地過渡到理性的數(shù)學原理的探究，從而突破難點，降低學習坡度．

·教學目標

(1)利用GGB構(gòu)建數(shù)學實驗平臺，通過實驗操作、比較研究、探索發(fā)現(xiàn)參數(shù)變化引起圖形變化的規(guī)律，促進對含參二次函數(shù)圖象的理解和認識．

(2)感受數(shù)形結(jié)合的思想方法，體會由具體到抽象、從特殊到一般的研究方法，提高觀察、分析和解決問題的能力．

·教學重點與難點

教學重點 參數(shù)的變化引起二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律．

教學難點 理解二次函數(shù)參數(shù)引起圖象變化的數(shù)學本質(zhì)．

·教學方法與手段

問題啟發(fā)式、小組合作式、實驗操作式相結(jié)合．

·教學器材

未來教室，人手一臺裝有GGB軟件的電腦．

2 教學過程

2.1 復習回顧，引入課題

師：很好！對于二次函數(shù)y=ax2(a≠0)，參數(shù)a從3變到-3，其圖象發(fā)生了怎樣的變化呢？下面，我們來研究這一問題．

設(shè)計意圖通過具體的二次函數(shù)，教師引導學生發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)的正負和絕對值大小對函數(shù)圖象的影響，為系數(shù)由具體數(shù)字變?yōu)槌橄笞帜缸骱娩亯|．

3.1 實驗探索，歸納性質(zhì)

探究1參數(shù)a對二次函數(shù)y=ax2圖象的影響．

師：請同學們打開桌面上的GGB畫圖軟件，新建滑動條a(-10≤a≤10)，然后在下方“輸入”位置新建函數(shù)y=ax2．如圖1，滑動a改變a的大小，觀察二次函數(shù)y=ax2的圖象，看看有什么變化？

圖1

生1：開口方向和大小在變化．

生2：當a=0時，圖形消失了．

師：請仔細觀察，當a=0時y=0，圖形不是消失了，而是變成了直線y=0，即x軸．

師：對應a的數(shù)值，看看具體是怎么變的？

生4：當a>0時，開口向上；反之，開口向下(圖略)．

生5：當|a|越大時，開口越小；當|a|越小時，開口越大．

設(shè)計意圖數(shù)學實驗的關(guān)鍵是讓學生參與到實驗探究過程中．教師引導學生通過操作GGB觀察系數(shù)a對二次函數(shù)y=ax2圖象變化的影響，從直觀的角度回答探究1，為其數(shù)學分析作準備．

師：同學們，請思考一下，為什么當|a|越大時開口越小，當|a|越小時開口越大？

(學生思考)

師：我們以前學習過一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，|k|的值越大，y隨x的變化速率越快，圖形呈現(xiàn)“陡”的情況．

生6：哦！我懂了．在這邊，|a|越大，y隨x的變化速率越快，圖形呈現(xiàn)“陡”的情況，拋物線的開口就越小；反之，開口就越大．

師：那么誰能來總結(jié)一下參數(shù)a對二次函數(shù)y=ax2(a≠0)圖象的影響？

生7：a的正負影響二次函數(shù)y=ax2(a≠0)圖象的開口方向．a(chǎn)為正數(shù)，圖象開口向上；a為負數(shù)，圖象開口向下．

生8：|a|影響圖象的開口大小．|a|越大，y隨x的變化速率越快，圖形也是呈現(xiàn)“陡”的情況，拋物線的開口就越小；反之，開口就越大．

設(shè)計意圖教師幫助學生回憶參數(shù)k對一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象變化的影響，并將該方法遷移到二次函數(shù)中，借助GGB直觀動態(tài)的演示，引導學生探索、發(fā)現(xiàn)相應的性質(zhì)．

探究2參數(shù)a,b,c對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)(*)圖象的影響．

師：上面我們已經(jīng)研究了參數(shù)a對二次函數(shù)y=ax2(a≠0)圖象的影響，下面仿照上述研究方法，進一步探究參數(shù)a,b,c對二次函數(shù)(*)圖象的影響．

各小組先進行學生個人探究，再合作討論，從開口方向、開口大小、對稱軸位置、與y軸交點C這四個方面探究：當參數(shù)a,b,c分別變化時哪些量在變，是如何變的；哪些量是不變的．

(教師巡視，了解學生存在的困難，適時指導解惑，引導學生自己實驗、觀察、總結(jié))

師：我們首先邀請第一小組代表演示、總結(jié)．

生9：僅參數(shù)a變化時，我們發(fā)現(xiàn)，開口方向和開口大小都在變化，如圖2．a(chǎn)的正負影響圖象的開口方向．當a為正數(shù)時，圖象開口向上；當a為負數(shù)時，圖象開口向下．|a|影響圖象的開口大小．|a|越大，拋物線的開口就越小；反之，開口就越大．這與我們前面研究的y=ax2(a≠0)的情況一致．

圖2

師：總結(jié)得不錯！他們認為參數(shù)a影響二次函數(shù)圖象的開口方向和開口大小．有補充的嗎？

生10：我來補充一下．我們小組觀察到，當a=0時，函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)y=bx+c，其圖象為一條直線．

師：很好！觀察得非常仔細，并且分析了原因.當a=0時函數(shù)變?yōu)閥=bx+c，為一次函數(shù)，所以其圖象為一條直線．

生11：老師，我們組也有補充．我們發(fā)現(xiàn)，在參數(shù)a變化時，拋物線的對稱軸也在移動位置(圖略)．

師：非常好！對稱軸的位置也與參數(shù)a有關(guān)．那么有沒有不受參數(shù)a影響，始終不動的？

生12：與y軸交點C．

師：參數(shù)b變化時，情況又如何呢？

生13：我們小組發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)b變化時，對稱軸的位置發(fā)生了變化．拋物線的開口大小也發(fā)生了變化，開口方向不變(圖略)．

生14：老師，我們認為拋物線的開口方向和開口大小都沒有變．

師：當參數(shù)b變化時，對稱軸的位置發(fā)生變化是沒有疑義的．但在拋物線的開口大小上有一定的爭議．參數(shù)b對拋物線的開口大小有影響嗎？請同學們再實驗操作一下．

在教師的指導下，學生通過實驗沒有發(fā)現(xiàn)參數(shù)b對拋物線的開口大小有影響．

師：通過實驗，我們可以得到：參數(shù)b僅對對稱軸的位置有影響，對其他沒有影響．

師：那么參數(shù)c對圖象的哪些元素有影響？

生15：僅對拋物線與y軸交點C有影響(圖略)．

師：很棒！下面我們來總結(jié)一下參數(shù)a,b,c變化對二次函數(shù)(*)圖象的影響．

生16：參數(shù)a影響拋物線的開口方向和開口大小，a的正負影響圖象的開口方向，當a為正數(shù)時，圖象開口向上；當a為負數(shù)時，圖象開口向下；|a|影響圖象的開口大小，|a|越大，拋物線的開口就越小；反之，開口就越大．同時，對稱軸的位置也受參數(shù)a的影響．

生17：參數(shù)b僅對對稱軸的位置有影響．

生18：參數(shù)c僅對拋物線與y軸交點C有影響．

設(shè)計意圖通過GGB動態(tài)演示參數(shù)a,b,c變化時對二次函數(shù)(*)圖象變化的影響，以學生先自主探究再小組合作的方式探索相應的結(jié)論．

探索3參數(shù)a,b,c對二次函數(shù)(*)圖象影響的原因分析．

師：你能分析一下原因嗎？

師：分析得非常好，我們可以簡單地記為“左同右異”．那么，對y軸交點C的坐標(0,c)的影響如何呢？

生20：當c>0，拋物線與y軸交點C(0,c)在y軸正半軸上；當c=0，拋物線與y軸交點C(0,c)在原點(0,0)處；當c<0，拋物線與y軸交點C(0,c)在y軸負半軸上．

師：總結(jié)得非常好！這里我們可以簡單地記為“上正下負”．

師：今天我們利用GGB軟件通過實驗結(jié)合數(shù)學分析，探討了參數(shù)a,b,c的變化對二次函數(shù)(*)圖象變化的影響．GGB幫助我們直觀清晰地觀察動態(tài)二次函數(shù)圖象變化及相應的復雜動態(tài)問題，希望同學們在以后的學習中熟練運用．

設(shè)計意圖利用計算機進行數(shù)學實驗，除了驗證結(jié)論外，應將重點放在促進學生對數(shù)學的理解和探究更多的數(shù)學結(jié)論上．在探索2的基礎(chǔ)上，教師緊扣開口方向、對稱軸和與y軸交點這三個主要的圖象特征，引導學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象變化的整體趨勢，并從二次函數(shù)表達式本身進行數(shù)學分析，揭示其變化規(guī)律背后的數(shù)學原理．

3 教學反思

(1)在數(shù)學實驗教學中的應用分析

數(shù)學是一門邏輯性很強、具有高度抽象性的學科，而初中生處于具體形象思維向抽象思維的過渡階段，對這一階段抽象思維能力的培養(yǎng)，不僅要基于已有的認知水平，還要依賴于具體生動的表象．因此，對于“數(shù)形結(jié)合”這一重要數(shù)學思想方法，如何使用信息技術(shù)輔助教師的教和學生的學已成為一線教學需要關(guān)注的問題．本節(jié)數(shù)學實驗教學課使用GGB軟件研究二次函數(shù)的性質(zhì)，探討含參二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律，既是教學的重點，也是教學的難點．本節(jié)課教者從始至終一直在引導學生自主操作GGB軟件，以自主探究和合作討論的方式觀察參數(shù)a,b,c數(shù)值的變化對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象變化的影響，以師生互動的形式揭示圖象變化的原因，并對原因進行抽象概括和歸納、總結(jié)．憑借GGB強大的動態(tài)演示功能，“二次函數(shù)的性質(zhì)”這一復雜、抽象的代數(shù)問題，經(jīng)歷學生自主改變參數(shù)值的大小和觀察相應圖象的變化規(guī)律，被轉(zhuǎn)換成一個形象、直觀的幾何問題，并在“形”“數(shù)”互變中建立數(shù)學關(guān)系．教師還以師生互動的方式，運用基于代數(shù)抽象推理的講授來彌補幾何直覺的不足．這節(jié)課將抽象的知識具體化、形象化、動態(tài)化，再自然地過渡到嚴密的邏輯推理上，不僅可以提高學生學習數(shù)學的信心和興趣，還可以培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維方式和學習習慣．

(2)在數(shù)學實驗教學中的優(yōu)勢分析

建立數(shù)學實驗室，讓學生獲得適應未來生存與發(fā)展所必需的數(shù)學活動經(jīng)驗，是義務教育階段數(shù)學課程的目標之一．蘇科版數(shù)學教科書要求教師在“教學實驗室”中用幾何畫板軟件研究二次函數(shù)的性質(zhì)．比較而言，GGB比幾何畫板更容易上手，操作也更為簡明流暢，“數(shù)”“形”結(jié)合得更好．在數(shù)學實驗教學中，學生可以在教師的引導下，同步操作GGB進行幾何圖形的建構(gòu)，并借助圖形的變換、測量、試驗和分析，研究幾何圖形的性質(zhì)，從而實現(xiàn)以自主體驗的方式完成“數(shù)學基本活動經(jīng)驗”中的“探究活動”和“論證活動”．