比較：讓學生的概念認知趨于結構化比較：讓學生的概念認知趨于結構化
——以“分數的意義”為例

◎陳 城

(南京市百家湖小學，江蘇 南京 210000)

心理學家布魯納指出,學習的實質在于主動形成認知結構.認知結構化是指教師整體布局，學生認知經歷比較、關聯，化零碎認識為整體認知結構.從布魯納提倡的建立“學科基本結構”理念，到奧蘇泊爾提出的所學與認知結構相聯系的有意義學習理論，都與筆者研究的“結構”存在聯系.比較作為一種學習方法，常常用于對知識的整體性的認識和建構，通過比較，學生在“不同”中看到“聯系”，在“解構”中進行“建構”.概念認知是指學習主體對概念形成自己的認知與理解.讓學生對數學概念產生結構化的認知，是數學教師追求的目標，若想達成這一目標，教師有必要根據概念實質，引導學生在學習過程中進行比較.下面，筆者結合蘇教版五年級下冊的“分數的意義”，展開結構化研究：

一、比較的緣由

“分數的意義”是蘇教版五年級下冊內容，在此之前，學生已經在三年級學習了“認識一個物體的幾分之幾”與“認識一些物體的幾分之幾”，初步了解了分數的意義，并系統學習了除法、倍數等相關聯的知識.學生五年級學習這一課的時候，已經積累了足夠的前概念和生活經驗，但這些知識與經驗都零散地存放于學生的腦海里，等待在進一步的學習中，通過比較產生關聯，形成結構化.這里，需要教師注意以下這幾個地方：一是對單位“1”的概念認知，“1”是學生幼兒時就接觸的數，概念內涵豐富，這里的單位“1”與過去學過的“1”有什么區別和聯系呢？學生通過比較后，能夠感悟單位“1”是一種倍比關系中的比較標準，而不是數的組成中的計數單位.二是對分數的概念認知，分數既可以表示“量”，也可以表示“率”，但核心還是在“率”，理解分數的關鍵在于理解分數表示了兩個數量之間的倍比關系，與所學的除法、倍數存在著很大的關聯.理解到這一點，學生才能感悟到分數的實質，有利于他們接下來學習假分數、帶分數等一系列的概念，而這需要教師在課堂教學中，通過設置相應的比較環節，讓學生自主發現并理解.

二、具體策略

(一)在沖突處比較，讓“1”的概念認知趨于結構化

這里的沖突是指認知的沖突，新知識和學生原有知識發生矛盾，進而打破學生的認知平衡，對學生的認知進行調整、整合，從而建立新的認知平衡.在教學實踐中，學生經常會遇到知識的沖突，這時，教師要引導學生在沖突處比較，在比較中厘清概念的發展，讓認知趨于結構化.例如以下環節：

師:看到“1”你能想到什么？

生：一個人，一棵樹.

師：你們想到的“1”，都是指數量.如果把○看作1，那○○○○是？

生：4.

師：如果把○○看作1，那這里的○○○○是？

生：是2.因為把○○看作1組，○○○○就有2組，所以是2.

師：如果把○○○○○○○○看作1，那○○○○是多少？

生1：因為每組下面的那個“1”都是不一樣的.

生2：第一組的“1”表示1個，第二組的“1”表示1份，2個，第三組的“1”表示一份，8個.

生3：1可以看作一個整體.

師：看來，“1”不再是我們以前單純認為的數量1，可以說它表示1份、一個整體，那從剛才比較的過程來看，這里的“1”相當于？

生：比較的標準.

學生在一年級時就認識了“1”，建立了無論1棵數，還是1個人，只要在數量是1，都可以用1表示.二年級的時候，學生學習了乘法，初步感知1份、1組的概念，但對“1”的認識更多地停留在指數量1上.本環節，教師應引導學生在沖突處進行比較，學生的目光聚焦到“1”上，在比較中關注到“1”的不同，對“1”的概念的認知也從數量1，上升到更概括的認知——1份或1組，由此可見，這里的“1”實際上相當于一種比較的標準.至此，學生對“1”的概念認知愈加趨于結構化，也為后面理解分數意義、分數的基本性質、倍率與分率的關系打下基礎.

(二)在回顧處比較，讓單位“1”的概念趨于結構化

學生是帶著自己原有的理解與認識來到課堂的，因此，教師一定要充分了解學生原有的舊知與經驗，充分利用學生的舊知，以舊知為生長點，讓學生進行新舊知的比較，實現認知的同化或順應，促使新舊認知結合，讓知識趨于結構化.例如，單位“1”的概念，很多教師只是告知學生什么是單位“1”，這樣簡單的告知，剝奪了學生的認知體驗，不利于學生形成結構化的認識，筆者在教學中是這樣處理的：

師：我們知道“1”代表一種比較的標準，在以往學過的知識里，你覺得有哪些知識也表示比較的標準？

生1：長度單位，比如1 cm，1 dm，1 m.

生2：面積單位，比如1 cm2.

師：我們把1 cm請出來，這是1 cm，那這條線段的長度是？

生：將它和1 cm比較，有幾個1 cm就是幾厘米.

師：如果這個圖形的面積是1 cm2，那右邊圖形的面積怎么求？

生：將其和1 cm2比，我發現幾個1 cm2合起來就是幾平方厘米.

師：長度單位、面積單位，它們都是計量單位.看來，剛剛我們說的這個比較的標準，其實是單位，那么我們之前說的1，可以叫作單位“1”.

師：回顧剛才講的關于○的題，每組是把什么看作了單位“1”？

生：先是把一個○看作了單位“1”，然后是把一些○，相當于一個整體看作了單位“1”.

師：是的，現在我們發現，可以把什么看作單位“1”？

生：一個物體、一個整體，還有計量單位，它們都可以看作單位“1”.

師：比較一下原來學過的“單位”，和今天學的“1”和單位“1”，你們有什么想說的？

生1：把單位，還有“1”合起來，就是我們學的單位“1”.

生2：單位“1”和單位類似是一種比較的標準.

師：數學上把平均分的對象，比如一個物體、一個計量單位或由許多物體組成的一個整體，都可以用自然數1來表示，通常，我們把它叫作單位“1”.

師：(指著圖中橢圈內的一個實心圓)這個實心圓可以用自然數1表示嗎？(生：能！)那在這里它能表示單位“1”嗎？為什么？

生：不能，因為這里分的并不是它，分的是這6個圓，單位“1”是6個圓組成的整體.

生：要把平均分的對象看作單位“1”.

師：現在，你們感受到自然數1和單位“1”的區別了嗎？

單位“1”的本質還是單位，是一種比較的標準.但學生在理解與歸納的過程中，更多的時候只關注了“1”，而忽略了其中的“單位”二字.什么是單位？單位是測量比較中的標準量，沒有比較，也就沒有單位，確立的單位，必然被視為“1”.教師讓學生回顧舊知：還有哪些學過的知識，也是一種比較的標準？學生的認知一下子被打開，能夠自主激活認知結構中的舊知，原有的長度單位、面積單位、重量單位等舊知迅速被提取出來.這里，教師注重引導學生將新舊知進行對比，學生對單位“1”不再陌生，有了舊知“單位”和新知“1”的支撐，教師在揭示單位“1”的概念后，又出示一幅圖，讓學生感受一個實心圓可以用數1來表示，但是不可以用單位“1”表示，單位“1”是在比較中產生的，而這幅圖是將整體進行平均分，因而要把6個圓組成的一個整體看作單位“1”，讓學生徹底弄清數“1”和單位“1”的聯系與區別，從而形成結構化的認識.

(三)在遷移處比較，讓分數的概念認知趨于結構化

遷移是一種學習對另一種學習的影響.學習之所以能發生遷移是因為知識間存在某些共同的元素，這些共同的元素恰恰是知識的本質與關鍵所在.教師不僅要創設條件促使學生的遷移得以發生，更重要的是要引導學生在遷移的過程中進行比較，從而淡化外在形式，抓住關鍵本質.在概念教學中，學生經歷在遷移中比較后，更容易概括出概念的本質，在大腦中逐步形成一個具有內部規律的整體結構.例如以下分數概念的學習：

師：如果把6個梨看作單位“1”，這2個梨怎么表示？

師：如果把這3段線段看作單位“1”，這一段是？

生：把單位“1”平均分成n份，取m份.

師：數學上，我們可以說是平均分成若干份.

師：那你覺得，到底什么是分數？

生：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數，叫分數.

師：沒錯，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數，就叫分數，表示其中一份的數，叫作分數單位.比較單位“1”和分數單位，它們的意思一樣嗎？

生：不一樣，雖然都有單位兩個字，把誰平均分，誰就是單位“1”.分數單位只是其中的一份.

師：是的，分數單位就如同過去學的計數單位，通過累積，得到對應的幾分之幾.而單位“1”是比較的標準，通過把單位“1”平均分，得到對應的幾分之幾.

(四)在變式中比較，讓概念的關系認知趨于結構化

變式是認識概念本質的一種教學手段，教師可以在教學過程中保留概念的本質特征，改變非本質特征，讓學生對概念的本質特征形成更深刻的認識.在教學中，教師不僅要讓學生感受到變式，更應引導學生在變式中進行比較，感受變中的“不變”，從而抓住關鍵與本質.在“分數意義”這一課的教學中，很多教師沒有幫助學生厘清分數的概念實質，沒有溝通分數與倍數的關系，導致學生無法將分數與之前的知識產生關聯，無法形成結構化的認知.以下的做法值得借鑒：

(師出示下圖)

師：如果把第一排的1個圓看作單位“1”，下面兩排分別用什么數表示？

生：兩個單位“1”，用2表示，最后一排用4表示，因為是4個單位“1”，相當于第一排的4倍.

師：為什么都用了整數來表示？

生：下面兩排都相當于幾個單位“1”.

師：如果把第三排4個黑圓看作單位“1”，上面第一、第二排用什么數表示？

師：這次為什么都用分數表示？

生：因為4個黑圓是單位“1”，上面的兩排表示把單位“1”平均分.

師：如果把第二排兩個○看作單位“1”，第一、第三排分別用什么數表示？

師：為什么第一排用分數表示，第三排用整數表示呢？

生：2個○是單位“1”時，上面一排表示平均分，把單位“1”平均分成2份，取其中一份.而下面4個黑圓相當于2個單位“1”，用2表示.

(師出示下圖)

師：下面分析一下上述我們解決的問題中，有什么不同點和相同點？先獨立思考，再小組討論.

生：有的是把1個○看作單位“1”，有的是把2個○或4個○看作單位“1”.

生：同一排，比如第二排，表示的形式不一樣.

師：是的，將同一個量和不同的單位“1”進行比較，會有不同的表示形式.

師：那有什么相同點呢？

生：有的用整數表示幾倍，不是整倍數的就用分數表示.

師：是的，這里不管是用整數還是用分數，都表示了它與單位“1”的倍比關系.

教師出示三組富有變式的問題，即每次改變單位“1”的對象，但不變的是分數、整數與單位“1”之間的關系，從而突出本質.第一問把第一排看作單位“1”，求下面兩排，學生在比較中意識到幾個單位“1”用整數幾來表示；第二問把第三排4個黑圓看作單位“1”，求上面兩排，學生在比較中意識到把單位“1”平均分，表示這樣的幾份用分數.最后，把第二排的2個圓看作單位“1”，求其余兩排.通過變式的比較，學生能夠清晰地建立分數、整數倍、單位“1”三者的關系，當教師拋出問題“比較一下上述我們解決的問題，有什么不同點和相同點？”時，學生能在比較中得出，不管用整數還是用分數，都表示它與單位“1”的倍比關系，從而認識分數的本質，并與已經學過的倍數關系產生了關聯，構建了完整的倍比關系知識網絡，形成了完整的認知結構.另外，這里的以圓進行比較，不再是部分與整體的比較，而是兩個獨立量之間的比較，這樣的比較有利于學生在接下來的學習中再一次突破自己的認知結構，更好地理解并接納假分數的概念.