建模找規(guī)律 智慧學(xué)數(shù)學(xué)

福建省福州市倉(cāng)山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 林 偉

探索規(guī)律是人們認(rèn)識(shí)客觀世界的主要方式之一，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)，其根本目的是培養(yǎng)、促進(jìn)教育對(duì)象——學(xué)生在知識(shí)與技能、身體與心理、情感態(tài)度與價(jià)值觀方面的全面發(fā)展。小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)修訂將“雙基”調(diào)整為“四基”，著重強(qiáng)調(diào)了基本數(shù)學(xué)思想以及基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思維之間的密切關(guān)系。甚至可以說(shuō)，“四基”的核心就是數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教育就是為了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維得到更好的發(fā)展。這個(gè)過(guò)程應(yīng)該是一個(gè)生動(dòng)、主動(dòng)、自主、向上、富有個(gè)性的發(fā)展過(guò)程，更是一個(gè)基于探索、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證、領(lǐng)悟、運(yùn)用、創(chuàng)造的模型思想建構(gòu)過(guò)程，是讓學(xué)生學(xué)會(huì)借助模型所凸顯“規(guī)律”輔助應(yīng)用的過(guò)程。

一、數(shù)學(xué)概念的感知是探索規(guī)律的過(guò)程

數(shù)學(xué)是人們?cè)趯?duì)客觀世界定性和定量刻畫(huà)的基礎(chǔ)上，逐步抽象概括形成方法和理論，并進(jìn)行應(yīng)用的過(guò)程。學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容是現(xiàn)實(shí)的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的，這樣的內(nèi)容有利于他們自主從事觀察、發(fā)現(xiàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流。概念、定義、公式、法則、定律、規(guī)則等都是概念性知識(shí)，這些知識(shí)對(duì)于學(xué)生而言有兩種獲得的方式：（1）當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念與新概念建立聯(lián)系進(jìn)行認(rèn)知；（2）從大量具體例子出發(fā)概括出新概念的本質(zhì)屬性概念，從而認(rèn)知新概念。數(shù)學(xué)教學(xué)中無(wú)論哪種建立概念的形式都需要教師恰當(dāng)?shù)乩盟嬖诂F(xiàn)實(shí)“模型”，借助學(xué)生對(duì)“模型”所存在的感知經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)注重緊密聯(lián)系學(xué)生生活環(huán)境。從學(xué)生經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)出發(fā)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的具體問(wèn)題情境，逐步完成從圖到形、從形到數(shù)的抽象。在此基礎(chǔ)上對(duì)非本質(zhì)屬性進(jìn)行引導(dǎo)，逐步剝離，讓學(xué)生關(guān)注其本質(zhì)屬性從而進(jìn)行概念認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)。

例如，在教學(xué)人教版二年級(jí)“倍的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，借助圖形數(shù)量研究，利用“擺一擺”操作活動(dòng)引出“倍”。接著教師以2 倍為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“倍的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課的第一次抽象跳躍。3 個(gè)三角形卡片與6 個(gè)三角形卡片，3 個(gè)正方形卡片與6 個(gè)正方形卡片，3 個(gè)圓形卡片與6 個(gè)圓形卡片，這些都存在關(guān)于2 倍的概念。緊接著從2 倍拓展到3 倍、4 倍……在學(xué)生心里建立起“一份”和“幾份”的認(rèn)知，明確“幾份”的產(chǎn)生是由“一份”所決定的，利用“倍”這一概念的外延挖掘“倍”的內(nèi)涵進(jìn)行這節(jié)課第二次抽象跳躍。在這種逐層跳躍的基礎(chǔ)上，借助變化形的特征，從三角形卡片到正方形卡片，再到圓形卡片，讓學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到一個(gè)本質(zhì)屬性——“只要存在一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾份的關(guān)系，就存在倍的關(guān)系”，從形的支撐到數(shù)的抽象，凸顯了數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)。

又如，在教學(xué)人教版四年級(jí)下冊(cè)教學(xué)“三角形的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，筆者讓學(xué)生事先準(zhǔn)備了小棒，5 厘米長(zhǎng)的小棒3 根，3 厘米、4 厘米、9 厘米長(zhǎng)的小棒各1 根。請(qǐng)學(xué)生先用9 厘米長(zhǎng)的小棒去圍三角形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)任何兩根小棒都不能?chē)扇切?。“為什么呢？”“這根小棒太長(zhǎng)了，另外兩根小棒太短了?！薄叭绻阉鼈儞Q掉，你們能將它們圍成三角形嗎？”學(xué)生共同討論，圍成了各種三角形。實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生知道了三角形中兩邊之和大于第三邊的特性以及共同抽象出三條線(xiàn)段圍成封閉的圖形是三角形的兩個(gè)本質(zhì)屬性，隨后通過(guò)變式練習(xí)深化學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)。通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作解決問(wèn)題，并通過(guò)大量的實(shí)踐探索從而在現(xiàn)象之下追尋本質(zhì)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律的探索感受數(shù)學(xué)魅力，體驗(yàn)成功探究的樂(lè)趣。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)就是探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程。

二、數(shù)學(xué)技能的形成是在感受規(guī)律的過(guò)程

形成運(yùn)算技能是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要部分。運(yùn)算技能的形成過(guò)程要經(jīng)歷三個(gè)階段：初步認(rèn)知階段，明了運(yùn)算法則；發(fā)現(xiàn)規(guī)律階段，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并把知識(shí)與規(guī)律進(jìn)行結(jié)合連接；運(yùn)用階段，將所發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)用階段。

例如，在教學(xué)人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)廣角“數(shù)與形”過(guò)程中，教師可以根據(jù)學(xué)生理解能力和思維特征，采用自主探究、合作交流、實(shí)踐活動(dòng)的教學(xué)模式，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、實(shí)踐、驗(yàn)證、歸納、應(yīng)用的自主探究與合作交流過(guò)程，發(fā)現(xiàn)算式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律。讓學(xué)生思考怎樣用圖形來(lái)表示數(shù)的規(guī)律，也可以讓學(xué)生尋找圖形中所包含的數(shù)的規(guī)律，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，同步培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、善于思考、善于總結(jié)、善于歸納、善于嘗試的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

又如在一年級(jí)“數(shù)數(shù)”活動(dòng)中可以引導(dǎo)學(xué)生“一個(gè)一個(gè)”地?cái)?shù)、“兩個(gè)兩個(gè)”地?cái)?shù)、“三個(gè)三個(gè)”地?cái)?shù)……“順序”數(shù)、“倒序”數(shù)，在數(shù)數(shù)的過(guò)程中體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)并感受連續(xù)等差數(shù)列的規(guī)律。相對(duì)應(yīng)，我們所學(xué)的20 以?xún)?nèi)加法計(jì)算表、九九乘法口訣表也蘊(yùn)含著規(guī)律，在“和”“差”“積”“商”這些方面不變的條件下，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)量之間存在一些函數(shù)關(guān)系。在日歷表、百數(shù)圖可以發(fā)掘除了“橫”的、“豎”的、“斜”的排列所蘊(yùn)含的規(guī)律，甚至還可以進(jìn)一步探究每一行、每一列、間隔幾行，間隔幾列、相鄰兩個(gè)數(shù)、間隔幾個(gè)數(shù)之間所存在的關(guān)系，這些關(guān)系在高年級(jí)教學(xué)中也可以用字母表示其存在的函數(shù)關(guān)系。這樣的過(guò)程學(xué)生在操作中積累感性經(jīng)驗(yàn)，形成豐富的動(dòng)作思維，完成了整個(gè)技能形成的三個(gè)階段。

三、數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決是在應(yīng)用規(guī)律的過(guò)程

解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)活動(dòng)中一種更為高級(jí)的思維活動(dòng)。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，不僅需要重組自身已有數(shù)學(xué)知識(shí)，搜索所認(rèn)知的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而找到切合實(shí)際的解決方法，嘗試應(yīng)用模型從而解決問(wèn)題，而且更為關(guān)鍵的是如果問(wèn)題一旦解決，這個(gè)過(guò)程就成為學(xué)生的一種資源、一段經(jīng)歷。他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題中所形成的策略會(huì)不斷積淀，不斷經(jīng)歷優(yōu)勝劣汰的過(guò)程進(jìn)一步儲(chǔ)存起來(lái)，逐步成為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要組成部分。波利亞提出的“怎樣解決問(wèn)題”表中表示出解決問(wèn)題的一般過(guò)程必須經(jīng)歷了解問(wèn)題、找出已知問(wèn)題與未知問(wèn)題間的聯(lián)系、制訂計(jì)劃、運(yùn)用計(jì)劃、驗(yàn)證并解答的步驟，其中關(guān)鍵步驟是找出已知問(wèn)題與未知問(wèn)題間的聯(lián)系，可以說(shuō)就是尋找在解決問(wèn)題中所存在的不同數(shù)量之間的特點(diǎn)、聯(lián)系、規(guī)律，也是一種模型思想的構(gòu)建過(guò)程。

例如，在教學(xué)例題“一桶油連桶重36.5 千克，用了一半后，連桶還有20.5 千克，油桶重多少千克？”時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)這類(lèi)題目只要構(gòu)建了相應(yīng)的模型，找到解題關(guān)鍵步驟，即可建立起已知問(wèn)題與未知問(wèn)題間的聯(lián)系，問(wèn)題自然迎刃而解。教師給予學(xué)生充分時(shí)間進(jìn)行探討，然后獲得了多種解題算式：（1）36.5－（36.5－20.5）×2；（2）20.5×2－36.5；（3）（20.5－36.5÷2）×2；（4）設(shè)油桶重為X 千克，36.5－（36.5－X）÷2 ＝20.5；（5）其他。然后讓學(xué)生借助反饋器進(jìn)行選擇和自己一樣的算式，接著隨機(jī)抽選相應(yīng)學(xué)生解說(shuō)自己是怎么理解的，讓學(xué)生在展示自己思路的過(guò)程中逐步將本題所蘊(yùn)含的關(guān)鍵聯(lián)系——“用的是油，前后兩次的重量都包含桶的重量”這一已知問(wèn)題與未知問(wèn)題間的聯(lián)系核心就浮出水面了。接著無(wú)論是用“總重量剩下的重量=半桶油的重量”“總重量油重量=桶的重量”，還是用“算出一桶油和兩只桶的重量油和桶的總重量”或者用方程等假設(shè)的方式完成，都萬(wàn)變不離其宗。這種平等開(kāi)放的交流讓更多學(xué)生進(jìn)行相互補(bǔ)充，學(xué)會(huì)了分析問(wèn)題、找到規(guī)律、構(gòu)建模型、應(yīng)用規(guī)律的解決問(wèn)題的策略和思想方法。

再如，在教學(xué)五年級(jí)“用字母表示數(shù)”時(shí)，出示例題：“爸爸的年齡比小紅大30 歲，小紅的年齡用a 表示，爸爸的年齡是多少？”這種題目對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不難理解，但是如何通過(guò)具體數(shù)讓學(xué)生進(jìn)一步感受用字母的式子可以表示一個(gè)結(jié)果，同時(shí)讓學(xué)生明白字母表示的數(shù)在特定情況下是有范圍的這個(gè)關(guān)鍵步驟，極大地考驗(yàn)學(xué)生對(duì)于規(guī)律的探究深度。在學(xué)生充分思考討論后，通過(guò)課堂中收集學(xué)生代表性做法：用文字表示“爸爸年齡=小紅年齡+30”；用單個(gè)字母表示“爸爸年齡是X”；用字母的式子表示“小紅年齡是X，爸爸年齡是X+30”；甚至用兩個(gè)字母分別表示等。這時(shí)候需要教師重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生交流用一個(gè)字母表示爸爸年齡與用字母的式子表示爸爸年齡之間的區(qū)別，從而得出字母的式子不僅能夠表示爸爸的年齡，還能夠看出爸爸年齡與小紅年齡之間的關(guān)系。接著讓學(xué)生嘗試?yán)^續(xù)應(yīng)用這個(gè)探究結(jié)果進(jìn)行討論：“X 可以表示哪些數(shù)？X 能是100、200……嗎？”通過(guò)具體的數(shù)所帶來(lái)的情境，讓學(xué)生進(jìn)一步感知找出已知問(wèn)題與未知問(wèn)題間的聯(lián)系的重要性。

同樣，解決問(wèn)題過(guò)程中所了解的基本數(shù)量關(guān)系；圖形的周長(zhǎng)、面積、體積公式；總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量；工作總量、工作效率、工作時(shí)間；路程、速度、時(shí)間甚至正比例、反比例關(guān)系都是函數(shù)關(guān)系的體現(xiàn)。學(xué)生在與這些數(shù)量關(guān)系的互動(dòng)溝通、挖掘、理解與運(yùn)用中，數(shù)學(xué)找規(guī)律的過(guò)程就變得豐富與生動(dòng)起來(lái)。

四、數(shù)學(xué)智慧的應(yīng)用是在構(gòu)筑規(guī)律的過(guò)程

隨著教育部信息技術(shù)應(yīng)用能力提升工程2.0 的開(kāi)展與落實(shí)，提出了三種環(huán)境，其中的智慧學(xué)習(xí)環(huán)境與數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用能夠給學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、探索數(shù)學(xué)規(guī)律過(guò)程帶來(lái)極大助力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

教師可以借助相關(guān)智慧課堂類(lèi)教學(xué)平臺(tái)，為學(xué)生構(gòu)筑一個(gè)基于智慧學(xué)習(xí)環(huán)境的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間，實(shí)現(xiàn)資源分享、自主探究、合作與互動(dòng)交流。如在教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”一課時(shí)，為了探究其規(guī)律，即構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)模型，這樣就可以提出三類(lèi)相關(guān)聯(lián)的規(guī)律。一類(lèi)是按一定的間隔規(guī)律植樹(shù)，問(wèn)可以植樹(shù)多少棵：“棵樹(shù)=間隔數(shù)+1”。一類(lèi)是先確定植樹(shù)棵數(shù)，然后探索植樹(shù)的間隔規(guī)律：“間隔數(shù)=棵樹(shù)－1”。最后一類(lèi)是如果兩端特別的情況：一端不種——“棵樹(shù)=間隔數(shù)”；兩端都不種——“棵樹(shù)=間隔數(shù)－1”；甚至類(lèi)似一端不種的環(huán)形首尾相連的方式——“棵樹(shù)=間隔數(shù)”。由于這個(gè)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型拓展較多，之間的變化關(guān)系學(xué)生沒(méi)有通過(guò)實(shí)際操作無(wú)法很好構(gòu)建，尤其是在驗(yàn)證方面會(huì)比較難以操作?！笆谥贼~(yú)不如授之以漁”，這時(shí)教師可以把知識(shí)點(diǎn)微課、互動(dòng)課件、類(lèi)比練習(xí)等實(shí)時(shí)分享給學(xué)生，學(xué)生根據(jù)自身掌握情況借助設(shè)備進(jìn)行探究、驗(yàn)證、總結(jié)和歸納甚至后續(xù)的拓展與鞏固。若部分學(xué)生不能掌握新課內(nèi)容，還可以重復(fù)觀看微課、自主使用互動(dòng)課件進(jìn)行“拖”“擺”“移”“組”，多次進(jìn)行找規(guī)律的過(guò)程，逐步構(gòu)建起適宜的數(shù)學(xué)模型，也可以在遇到困難時(shí)及時(shí)尋求教師或小組成員的協(xié)助。教師可以借助平臺(tái)實(shí)時(shí)了解學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)度與情況，進(jìn)行精準(zhǔn)推送，有效開(kāi)展針對(duì)性個(gè)別輔導(dǎo)，課后還能對(duì)學(xué)生借助平臺(tái)而留存的實(shí)時(shí)大數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，找準(zhǔn)學(xué)生的生長(zhǎng)點(diǎn)以及得到改進(jìn)教育教學(xué)的方法和策略。

由此可見(jiàn)，教師充分借助智慧課堂的實(shí)施，構(gòu)建小組合作學(xué)習(xí)的模式，采用精準(zhǔn)化、個(gè)性化、項(xiàng)目式等學(xué)習(xí)方式，既能夠讓教學(xué)活動(dòng)從傳統(tǒng)的“以教師為中心”轉(zhuǎn)換為更加適應(yīng)教學(xué)規(guī)律的“以學(xué)生為中心”的教學(xué)，又能讓學(xué)生由被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)為主動(dòng)思考和探究知識(shí)。因此，極大地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，更好地培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及團(tuán)結(jié)協(xié)作、學(xué)以致用的能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

從以上方面來(lái)看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程其實(shí)是構(gòu)建模型思想、借助數(shù)學(xué)模型找規(guī)律的過(guò)程。教師可以使用信息技術(shù)直觀呈現(xiàn)、易于嘗試、快速收集的特性來(lái)輔助學(xué)生形成表象，構(gòu)建模型，驗(yàn)證規(guī)律。這個(gè)過(guò)程中，教師應(yīng)該發(fā)揮引導(dǎo)者作用，充分引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)探索規(guī)律的起點(diǎn)，完善探索規(guī)律的過(guò)程，拓展探索規(guī)律的體驗(yàn)，讓學(xué)生充分進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程變得更加的有規(guī)律。