電磁感應與正弦式交流電綜合的新題歸納與解題策略

江蘇 祁紅菊

在新高考的背景下,將電磁感應與正弦式交變電流這兩部分知識進行綜合考查的新題型越來越多,此類試題不僅可以考查對感應電動勢、感應電流、安培力和正弦式交變電流的產生以及“四值”的應用等重要知識點,還可以考查學生的空間思維能力以及應用數學知識處理物理問題的能力。由于電磁感應和交變電流都是高考必考的章節,因此有必要對這兩部分知識進行綜合考查的新題型進行深入研究。筆者現對這些試題進行歸納總結,并探索解題策略。

題型1 線圈在勻強磁場中繞垂直磁場的軸勻速轉動

該題型是涉及正弦式交變電流產生的常規題型,核心要點有:

1.若計時起點在中性面,則感應電動勢瞬時值的表達式為e＝Emsinωt,其中Em＝NBSω;若計時起點在垂直中性面的位置,則感應電動勢的瞬時值表達式為e＝Emcosωt。

2.每經過中性面一次,電流方向改變一次,則線圈轉動一圈,電流的方向改變兩次。

3.在中性面時,穿過線圈的磁通量最大,但此刻磁通量的變化率為零,感應電動勢為零;在經過與中性面垂直的位置時,穿過線圈的磁通量為零,但此刻磁通量的變化率最大,感應電動勢最大。

除了這些基本的知識點以外,還有以下幾點需要強調說明。

①線圈不管是圓形、矩形或其他形狀,以上結論均相同。

②只要轉軸與磁場垂直,即使軸的位置發生改變,以上結論均相同。

③當磁場或永磁體旋轉、線圈靜止不動時,以上結論均相同。

④當只有部分線框處于磁場中時,公式中的面積S是線框位于磁場中的有效面積。

【例1】(2022·江蘇南通考前模擬·12)如圖1所示,矩形線圈abcd匝數為N,總電阻為R,ab邊和ad邊長分別為L和3L,O、O′為線圈上兩點,OO′與cd邊平行且與cd邊的距離為L,OO′左側空間有垂直紙面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B。現使線圈繞OO′以角速度ω勻速轉動,求:

(1)從圖1 位置開始轉過60°過程中通過導線截面電荷量q;

圖1

(2)線圈在轉動一周過程中產生的焦耳熱Q。

【解析】(1)設線圈在從圖1位置轉過60°的過程中產生的電動勢的平均值為,經歷的時間為Δt,據法拉第電磁感應定律有

其中磁通量的變化量ΔΦ＝2BL2－2BL2cos60°＝BL2

(2)線圈在磁場中轉動時產生的電動勢隨時間變化的規律如圖2所示,設ab邊、cd邊在磁場中轉動產生電動勢的峰值分別為E1m、E2m,有效值分別為E1、E2,則

圖2

【點評】在學習探索情境上,該題與常規題型的明顯區別,一是轉軸不在矩形線框的中心軸線上;二是磁場為有界磁場,線框只有部分位于磁場內。在一個周期內,有一半的時間是線框的OO′ab部分位于磁場內,另一半時間是線框的OO′cd部分位于磁場內。由于對應的面積不同,故存在兩個不同的感應電動勢的峰值,但在一個周期內,電流方向仍然改變兩次,仍是交變電流。該題考查學生對交變電流產生原理的理解,對學生的審題能力、深層理解能力和分析綜合能力有很好的評價作用。

題型2 磁通量隨時間按正弦規律變化Φ＝Φmsin(ωt＋φ0)

當穿過線圈的磁通量隨時間按正弦規律變化時,一般的解題思路有以下兩種:

1.當線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場的軸勻速轉動時,穿過線圈的磁通量隨時間是按正弦規律變化的,故可將此類題型等同于題型1,感應電動勢的峰值Em＝NBSω＝NΦmω。

2.根據感應電動勢公式E＝,將磁通量Φ對時間t求導,可得線圈中感應電動勢的瞬時值e＝＝＝NΦmωcos(ωt＋φ0),故感應電動勢的峰值Em＝NΦmω。

【例2】(2022·蘇錫常鎮二模·13)如圖3所示,為實驗室使用的旋轉磁極式發電機模型,線圈abcd的匝數N ＝100,內阻r＝4Ω,輸出端與理想變壓器的原線圈相連,理想變壓器原、副線圈的匝數比為n1∶n2＝4∶1,副線圈外接電阻R＝1Ω。轉動磁極,線圈abcd內磁場的磁通量的變化規律為。閉合S,求:

圖3

(1)線圈產生感應電動勢的有效值E;

(2)電阻R中的電流強度I2。

【解析】(1)線圈中感應電動勢的瞬時值

【點評】該題最容易出現的錯誤是,認為變壓器原線圈兩端的電壓U1等于線圈兩端的電動勢E,忽略了等效電源——線圈是有內阻的,故解題時需注意原線圈兩端的電壓應該等于等效電源的路端電壓。此外,在(2)中也可以利用能量轉化和守恒定律得EI1＝I21r＋I22R,而I1＝,聯立解得I2＝4A。

題型3 磁感應強度隨時間按正弦規律變化B＝Bmsin(ωt＋φ0)

當磁場的磁感應強度隨時間按正弦規律變化時,一般有兩個解題思路:

1.采用等效法。磁通量Φ＝BS＝BmSsin(ωt＋φ0)＝Φmsin(ωt＋φ0),等效于題型2,得感應電動勢的峰值Em＝NΦmω＝NBmsω。

2.利用感生電動勢的公式E＝,將B對時間t求導,得感應電動勢的瞬時值e＝＝NSBmωcos(ωt＋φ0),感應電動勢的峰值Em＝NΦmω＝NBmSω。

【例3】(2022·南通一模·12)圖4甲為某同學設計的充電裝置示意圖,線圈ab匝數為n＝100 匝,面積為S＝10－3m2,勻強磁場方向垂直于線圈平面,磁感應強度隨時間按正弦規律變化,如圖4乙所示。理想變壓器副線圈接充電器,已知額定電壓為6V 的充電器恰能正常工作,不計副線圈電阻。求:

圖4

(1)線圈ab中的最大感應電動勢Em;

(2)變壓器原、副線圈匝數比n1∶n2。

【解析】(1)由圖乙可知磁場變化周期是T＝0.2s,則

由于線圈內阻不計,故理想變壓器原線圈兩端電壓

【點評】本題是內阻不計的理想電源與理想變壓器結合的綜合題,難度并不大,但問題設計較為新穎。本題的解題關鍵是判斷出線圈中的感應電流是正弦式交變電流,進而求出感應電動勢的峰值。一般來說,利用感生電動勢的公式,將磁感應強度對時間求導的方法相對具有普遍性,可以很好地考查學生利用數學工具處理物理問題的能力。

題型4 等效切割長度隨時間按正弦規律變化L＝Lmsin(ωt＋φ0)

根據動生電動勢的公式e＝NBLv＝NBvLmsin(ωt＋φ0),可知在閉合回路中產生的是正弦式交變電流,動生電動勢的峰值Em＝NBLmv。

【例4】如圖5所示,OACO為置于水平面內的光滑閉合金屬導軌,O、C處分別接有短電阻絲(圖中用粗線表示),R1＝4Ω、R2＝8Ω(導軌其他部分電阻不計)。導軌OAC的形狀滿足方程y＝2sin(單位:m)。磁感應強度B＝0.2T 的勻強磁場方向垂直于導軌平面。一足夠長的金屬棒在水平外力F作用下,以恒定的速率v＝5.0m/s水平向右在導軌上從O點滑動到C點,棒與導軌接觸良好且始終保持與OC導軌垂直,不計棒的電阻。求:

圖5

(1)外力F的最大值;

(2)金屬棒在導軌上運動時電阻絲R1上消耗的最大功率;

(3)在滑動過程中通過金屬棒的電流I與時間t的關系。

【解析】(1)由于金屬棒勻速運動,則F外＝F安

(2)金屬棒在導軌上運動時電阻絲R1上消耗的最大功率

(3)金屬棒與導軌接觸點間的長度隨時間變化

【點評】本題中金屬棒的長度并沒有變化,但由于金屬導軌的形狀隨x按正弦規律變化,使得金屬棒切割磁感線的有效長度也隨之按正弦規律變化,且由于金屬棒做勻速直線運動,故在閉合電路中產生了正弦式交變電流。本題只要能寫出感應電動勢的瞬時值表達式,求出電動勢的峰值,就可以將問題順利解決。

題型5 有效切割速度隨時間按正弦規律變化v＝vmsin(ωt＋φ0)

根據動生電動勢的公式e＝NBLv＝NBLvmsin(ωt＋φ0),可知在閉合回路中產生的是正弦式交變電流,動生電動勢的峰值Em＝NBLvm。

【例5】(2022·江蘇如皋二模·12)(改編)一種振動發電裝置的示意圖如圖6 甲所示,半徑r＝0.10 m、匝數N＝20 的線圈套在永久磁鐵槽中,磁場的磁感線均沿半徑方向均勻分布(其右視圖如圖6乙所示),線圈所在位置的磁感應強度大小均為B＝0.20T,線圈的電阻R1＝0.5Ω,它的引出線接有R2＝9.5Ω 的燈泡L。外力推動線圈框架的P端,使線圈的速度v隨時間t變化的規律如圖6丙所示,已知v取向右為正,不計摩擦和空氣阻力。求:

圖6

(1)線圈運動過程中產生的最大感應電動勢的大小Em;

(2)線圈運動一個周期內,線圈中產生的熱量Q;

(3)若已知線圈和手柄的總質量為0.01π2kg,在0～0.5s時間內外力所做的功W。

【解析】(1)因線圈在輻向磁場中做切割磁感線的運動,切割的有效長度L＝2πr

切割的有效速度v＝vmsinωt,其中vm＝m/s,ω＝πrad/s

故線圈中感應電動勢的瞬時值

e＝NBLv＝NB·2πr·vmsinωt

感應電動勢的峰值Em＝2NBπrvm＝8V

(2)電動勢有效值E＝

【點評】本題的主要難點有三個,一是題中的磁場不是勻強電場,而是輻向磁場,但線圈所在處磁場的磁感應強度的大小均相同;二是線圈不在勻強磁場中轉動,而是在輻向磁場中做切割磁感線的運動,切割的有效長度為圓形線圈的周長,且N根導線同時切割;三是在(3)中需要利用動能定理或功能關系列出方程解題。本題的綜合性很強,對學生的空間思維能力、分析綜合能力和對物理規律理解的深入程度都有很好的檢測作用。

題型6 磁感應強度隨空間按正弦規律變化B＝Bmsin(kx)

磁感應強度隨空間按正弦規律變化,但不隨時間變化,故此類題型中一般都有部分導體做切割磁感線的運動,此時的電動勢是動生電動勢。根據E＝NBLv,求得感應電動勢的瞬時值e＝NLvBmsinkx,然后將其中的位移x用時間t表示出來,即e＝NLvBmsinωt,故電路中的感應電流為正弦式交變電流,且感應電動勢的峰值Em＝NBmLv。

【例6】矩形裸導線框長邊的長度為2l,短邊的長度為l,在兩個短邊上均接有阻值為R的電阻,其余部分電阻均不計。導線框的位置如圖7所示,線框內的磁場方向及分布情況如圖,大小為B＝B0sin。一電阻為R的光滑導體棒AB與短邊平行且與長邊始終接觸良好。起初導體棒位于x＝0處,從t＝0時刻起,導體棒AB在沿x方向的外力的作用下做速度為v的勻速運動。在導體棒AB從x＝0運動到x＝2l的過程中,求:

圖7

(1)棒內電流i隨時間t變化的關系式;

(2)外力所做的功W;

(3)流過導體棒AB的電荷量。

【解析】(1)在t時刻AB棒所在的橫坐標x＝vt

AB棒切割磁感線產生的感應電動勢

(2)由(1)中感應電動勢的表達式可知,導體棒AB在切割磁感線的過程中產生半個周期的正弦交流電,感應電動勢的有效值

在t＝0～(x由0變化到2l)的時間內,通過導體棒AB的電荷量

【點評】雖然此類題型中的磁感應強度隨位置按正弦規律變化,但在求對應的動生電動勢瞬時值時,仍需要將其轉化為隨時間的變化關系,然后進行求解。本題(1)中,在判斷出導體棒中的感應電流是正弦式交變電流的前提下,也可以利用動生電動勢的公式直接求出電動勢的峰值Em＝Bmlv＝B0lv;在求解(3)中通過金屬棒中的電荷量時,需要利用感應電流的平均值進行計算,此處利用了等效替代法,將此種交變電流等效于線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場的軸勻速轉動的模型,相當于線圈從中性面轉過半個周期的過程,很好地考查了學生類比推理、等效替代的高階思維能力。

【例7】磁懸浮鐵路采用直流電機模式獲得驅動力的列車(圖8所示)可簡化為如下情境:固定在列車下端的矩形金屬框隨車平移;軌道區域內存在垂直于金屬框平面的磁場,磁感應強度沿Ox方向按正弦規律分布,最大值為B0,其空間變化周期為2d,整個磁場以速度v1沿Ox方向向前高速勻速平移,列車以速度v2沿Ox方向勻速行駛,且v1＞v2,從而金屬框中產生感應電流,該電流受到的安培力即為列車向前行駛的驅動力。設金屬框電阻為R,長PQ＝L,寬NP＝d,求:

圖8

(1)圖9為列車勻速行駛時的某一時刻,設為t＝0 時刻,MN、PQ均處于磁感應強度最大值處,此時金屬框內感應電流的大小和方向;

圖9

(2)從t＝0 時刻起列車勻速行駛s距離的過程中(s?d),矩形金屬線框產生的焦耳熱Q。

【解析】(1)磁場沿x軸方向運動,v1＞v2,以磁場為參考系,金屬框相對于磁場向x軸負方向運動,相對運動的速度大小為v1－v2

MN、PQ所在處磁感應強度方向相反,金屬框中產生的總電動勢為E＝2B0L(v1－v2)

根據右手定則,感應電流方向為N→M→Q→P→N

(2)由題意可知,金屬框t＝0時刻所在處的磁感應強度最大。設經過時間t,金屬框MN、PQ所在處磁感應強度大小均為B,則有B＝B0cosωt,ω＝

【點評】本題難點有以下幾點,一是雖然磁感應強度隨空間按正弦規律變化,但磁場是運動的,解題的思路為以磁場為參考系,分析線框相對磁場運動的速度大小以及方向;二是在相對運動的過程中,線框有兩條邊切割磁感線,要先判斷出這兩個電動勢的方向,進而求出電路中總的電動勢;三是能夠根據線框所處相對位置的磁感應強度大小,推導出電路中總電動勢和電流的瞬時表達式,也可在判斷出是正弦式交變電流的前提下直接寫出感應電動勢或感應電流峰值的表達式。本題情境新穎,設計精妙,能很好地考查學生在新情境中處理實際問題的能力。

結語

本文歸納總結了電磁感應與正弦式交變電流綜合的6種題型。從這6種題型可以看出,即使在常規的“題型1”中,也有變化線圈形狀、改變轉軸的位置、設計有界磁場、將線圈轉動變換為磁場(永磁體)轉動等多種考查方式。在題型2到題型6中,若要明晰正弦式交變電流的產生過程,就需在采用正確的感應電動勢表達式的基礎上,推導出電路中感應電動勢或感應電流隨時間變化的瞬時值表達式,同時在判斷出是正弦式交變電流的前提下,也可以直接寫出感應電動勢峰值的表達式進行答題。在實際教學過程中,教師要在給出指導意見后,引導學生去歸納、總結解題思路和技巧,讓學生體悟歸納和總結的優點,感受學習的樂趣,從而提高學生終身學習的能力。