對山東省2022年普通高中學業水平等級考試物理卷第15題的解答商榷

山東 張巖松 王燦亮

氣體實驗定律中的變質量問題始終是高考中的熱點問題,譬如山東省2022年普通高中學業水平等級考試物理卷第15題考查的就是理想氣體的變質量問題。此類問題的傳統解法是將變質量問題轉化成定質量問題,但是此題無法利用該法進行求解。雖然此題也可以利用理想氣體狀態方程求解,但是在高中階段學生并沒有學習理想氣體狀態方程。如果不用理想氣體狀態方程去求解,那么我們是否還有其他方法能夠便捷地解答此題? 答案是肯定的,我們可以用比例法進行求解。

一、第15題高考原題

(2022·山東卷·15)某些魚類通過調節體內魚鰾的體積實現浮沉。如圖所示,魚鰾結構可簡化為通過閥門相連的A、B兩個密閉氣室,A室壁厚,可認為體積恒定,B室壁薄,體積可變;兩室內氣體視為理想氣體,可通過閥門進行交換。質量為M的魚靜止在水面下H處。B室內氣體體積為V,質量為m;設B室內氣體壓強與魚體外壓強相等、魚體積的變化與B室氣體體積的變化相等,魚的質量不變,魚鰾內氣體溫度不變。水的密度為ρ,重力加速度為g。大氣壓強為P0,求:

(1)魚通過增加B室體積獲得大小為a的加速度,需從A室充入B室的氣體質量Δm;

(2)魚靜止于水面下H1處時,B室內氣體質量m1。

二、第15題提供的答案

(1)由題給條件可知,開始時魚靜止在H處,設此時魚的體積為V0,有Mg＝ρgV0

此時B室內氣體體積為V,質量為m,則m＝ρ氣V

假設向B室充入氣體的體積為ΔV

通過增加B室體積,魚獲得大小為a的加速度,根據牛頓第二定律有ρg(V0＋ΔV)－Mg＝Ma

聯立解得需從A室充入B室的氣體質量

(2)由題意可知,開始時魚靜止在H處時,B室內氣體體積為V,質量為m,且此時B室內的壓強為

魚靜止于水面下H1處時,壓強的大小為

由于魚鰾內氣體溫度不變,根據玻意耳定律有

三、對于第(1)問答案的探討

1.直接利用A室向B室充氣前后密度不變進行計算,不夠嚴密。

A氣室的氣體向B氣室充氣之后,B室內氣體的密度依然保持不變的原因,應該進行證明。證明如下:因為氣體的壓強與兩個因素有關,一是溫度,二是密度。因為溫度不變,而充氣前和充氣后的一瞬間,B室內氣體的壓強也不變,所以B室內氣體的密度仍保持不變。

2.可利用理想氣體狀態方程進行求解,就避開了利用密度不變進行計算,具體解答過程如下。

假設魚的體積為V0,魚的質量為M

以魚為研究對象,根據二力平衡的條件得

設向B室充入氣體的體積為ΔV

以充完氣之后的魚為研究對象,根據牛頓第二定律得

【點評】利用理想氣體狀態方程求解,不會用到密度公式,這樣求解就非常嚴密,無懈可擊。

3.求ΔV＝,也可以利用等效法,此法更簡單。

魚為什么能夠獲得大小為a的加速度? 因為A氣室向B氣室充入了體積為ΔV的氣體,魚獲得的合外力Ma是由新充入的這部分氣體產生的浮力而產生的。

則ρΔVg＝Ma

故ΔV＝

【點評】利用等效法一步就能推導出來,非常簡潔。

四、對于第(2)問答案的探討

筆者認為網上提供的第(2)問的答案是錯誤的。魚無論靜止在水面下H處,還是靜止在H1處,都處于平衡狀態,根據二力平衡條件可知,重力不變,浮力也不變,所以B室內氣體的體積也不變。

【錯誤1】誤認為魚靜止于水面下H1處時,B氣室的氣體體積變了。實際上B氣室內氣體的體積沒有變化,因為魚靜止于水面下H1處時,魚所受的水的浮力與魚的重力仍然相等,而魚的重力始終不變,所以魚所受的水的浮力也不變,因此B氣室內的氣體體積也不變。

【錯誤2】利用玻意耳定律求解是錯誤的,因為使用玻意耳定律的前提是氣體的質量保持不變,而該題中氣體的質量發生了變化。

【解法1】利用理想氣體狀態方程pV＝RT去求解。

由于氣體的壓強發生改變,而氣體的溫度、體積不變,所以氣體的質量肯定發生改變,利用玻意耳定律求解肯定是錯誤的。正確的解法可以利用理想氣體狀態方程進行求解。

設魚靜止于水面下H1處時B室內氣體的體積為V1,此時氣體的壓強為P1

初始時,魚的壓強為p＝p0＋ρgH

根據理想氣體狀態方程pV＝

然而,高中階段學生并沒有學習理想氣體狀態方程,那么如果不用理想氣體狀態方程求解,還有什么方法能求出m1? 可以利用比例法進行求解。

【解法2】利用比例法求解。

因為氣體的壓強與兩個因素有關,一個是溫度,一個是密度。因為溫度不變,所以氣體的壓強只與密度有關。又因為氣體密度ρ＝,而氣體的體積V不變,所以p∝m

魚在H處、H1處的壓強分別為

【點評】利用比例法求解就避開了理想氣體狀態方程,克服了變質量問題無法利用所學的理想氣體實驗定律進行求解的困難。

五、結語

對于第(1)問,氣體的密度是不變的,但需要說明。對于第(2)問,因為魚無論靜止在水面下H處,還是靜止于水面下H1處,根據二力平衡,重力不變,浮力就不變,則氣體的體積就不變,所以認為氣體的體積是變化的,進而利用玻意耳定律進行求解是錯誤的。既然氣體體積不變,但由于充氣,導致氣體質量變了,則氣體密度就變了,所以認為氣體密度不變也是錯誤的。對于變質量問題,常規方法是將變質量問題轉化為定質量問題。但是對于類似第15 題這類無法轉化的試題,則可以利用理想氣體狀態方程求解。如果記不住理想氣體狀態方程,還可以利用比例法或利用所學的知識推導出p∝m進行求解。