略論小學(xué)數(shù)學(xué)課堂模型思想的滲透
——基于對(duì)課例的“層次析出模型”分析

鐘勇為 嵇晨昕 李珠

（1.江蘇大學(xué)教師教育學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.松江區(qū)洞涇學(xué)校，上海 松江 201619）

這個(gè)世界到處充斥著各種模型，人們利用它認(rèn)識(shí)社會(huì)、改造世界，為人類造福。就學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)而言，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型進(jìn)而培植模型思想，是其重要的使命與任務(wù)。何謂數(shù)學(xué)模型？張奠宙教授認(rèn)為泛指“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的概念和數(shù)學(xué)規(guī)律”，微觀而言乃“具體問(wèn)題中的關(guān)系及其特性的反映”［1］。模型思想作為一種旨在通過(guò)建立并分析數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想，早已被世人關(guān)注和重視。早在1989 年，美國(guó)科學(xué)院便向國(guó)家遞交報(bào)告，明確提出將數(shù)學(xué)建模引入到數(shù)學(xué)教育改革是一項(xiàng)最為急迫的任務(wù)。我國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》亦明確把構(gòu)建模型思想視為學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)和外部世界聯(lián)系的基本途徑。2022 年，數(shù)學(xué)建模首次列入全國(guó)高中教學(xué)計(jì)劃。然而，省察當(dāng)下我國(guó)數(shù)學(xué)課堂，因教師缺乏模型思想滲透意識(shí)與能力而導(dǎo)致學(xué)生建模素養(yǎng)不高的問(wèn)題，依然較為突出。在此情勢(shì)下，尋求實(shí)踐哲學(xué)的指引，從現(xiàn)實(shí)課例中汲取經(jīng)驗(yàn)、培育智慧以滿足基礎(chǔ)教育之所需，便成了業(yè)界的不二選擇。

一、研究背景

我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)模型思想滲透的研究發(fā)軔于21世紀(jì)初，興于2012 年前后。史寧中、馬云鵬等人基于數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)的關(guān)系所總結(jié)的數(shù)學(xué)模型思想涵義［2］，在業(yè)界反響較大。對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)課堂模型思想滲透存在的問(wèn)題，如教師對(duì)模型思想理解偏狹、學(xué)生對(duì)非常規(guī)問(wèn)題不接納以及應(yīng)用模型思想方法分析和解決問(wèn)題的意識(shí)缺乏［3］，研究界主要?dú)w結(jié)為教師的認(rèn)識(shí)誤區(qū)和教學(xué)素質(zhì)低下。對(duì)此，徐斌艷教授從學(xué)生心理的發(fā)展特征、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)以及教學(xué)原則等方面，提出了模型思想滲透的可行性原則、主動(dòng)學(xué)習(xí)與指導(dǎo)學(xué)習(xí)相結(jié)合原則等四大原則［4］。

近十年，國(guó)內(nèi)外研究者開(kāi)始由構(gòu)建宏觀理論轉(zhuǎn)向探究微觀策略，對(duì)模型思想滲透的教學(xué)過(guò)程提出了不少獨(dú)到的見(jiàn)解。譬如，許衛(wèi)兵的“三字真言”即“磨·模·魔”［5］，袁紅的“四階段說(shuō)”即現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化、模型求解、數(shù)學(xué)建模思想解答和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題解答驗(yàn)證四個(gè)階段［6］，溫迪（Wendy）的“兩流程說(shuō)”即數(shù)學(xué)角度的建模流程和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法的建模流程［7］，以及馬塞拉（Marcela）的“問(wèn)題分類說(shuō)”即先將數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類并依此達(dá)成數(shù)學(xué)建模［8］，等等。雖然研究者的闡釋不盡相同，但提出的基本流程大都內(nèi)蘊(yùn)有問(wèn)題假設(shè)（認(rèn)識(shí)模型）、建立模型、解決問(wèn)題以及檢驗(yàn)等旨趣特征。此外，還有一些研究者就模型思想滲透的策略發(fā)表有不少高見(jiàn)。梳理整合之，大致可歸結(jié)為注重聯(lián)系生活、強(qiáng)化學(xué)生的過(guò)程化參與以及提升問(wèn)題解決的靈活性。

透過(guò)眾多理論成果不難發(fā)現(xiàn)，此類研究的基本旨趣是——倡導(dǎo)在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中滲透模型思想，強(qiáng)調(diào)在講練中增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。比照基礎(chǔ)教育實(shí)踐需求，現(xiàn)有研究有待進(jìn)一步深化滲透策略研究。優(yōu)秀的課堂教學(xué)實(shí)例，具有良好的示范與引領(lǐng)作用。而且，思維乃行為之導(dǎo)向，教學(xué)行為映射出教師的教學(xué)策略。因而，本文試圖在揭示優(yōu)秀課例中的師生教學(xué)行為基礎(chǔ)上，透析此類行為背后的價(jià)值與運(yùn)思，借此總結(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂滲透模型思想的基本方略。

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究的對(duì)象與問(wèn)題

本研究的對(duì)象是《平行與垂直》課例中的模型滲透，該課例在全國(guó)第十三屆深化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革觀摩交流會(huì)中榮獲一等獎(jiǎng)。之所以選擇其作為研究對(duì)象：一是它具有優(yōu)質(zhì)課的品質(zhì)特征，所運(yùn)用的教學(xué)策略具有可借鑒性；二是課例是模型思想在圖形與幾何中的呈現(xiàn)，模型思想滲透意識(shí)濃郁。本研究的問(wèn)題是該獲獎(jiǎng)?wù)n例在數(shù)學(xué)模型思想滲透方面有何過(guò)人之處以及我們可以從中獲得何種滲透方略啟示。

（二）分析框架：“層次析出模型”

華東師范大學(xué)顧小清教授在弗蘭德斯（Flanders）20 世紀(jì)創(chuàng)建的課堂互動(dòng)分析系統(tǒng)（FIAS）基礎(chǔ)上進(jìn)行升級(jí)改造，研制了基于信息技術(shù)的互動(dòng)分析編碼系統(tǒng)（ITIAS）。它包括教師行為、學(xué)生行為、沉寂和技術(shù)四大類，內(nèi)含18 個(gè)具體觀察維度。ITIAS 經(jīng)過(guò)多次驗(yàn)證與改進(jìn)后，目前已成為國(guó)內(nèi)較為成熟的課堂教學(xué)量化分析工具。本研究運(yùn)用ITIAS 分析課例視頻中的教學(xué)行為，旨在為揭示課例如何開(kāi)展模型思想滲透提供必要支撐。如人所言，“當(dāng)前對(duì)教與學(xué)行為的分析多集中在對(duì)參與者之間互動(dòng)的顯性分析，對(duì)深度互動(dòng)的挖掘不夠”［9］。僅有教學(xué)行為的數(shù)據(jù)分析，難以全面達(dá)成對(duì)模型思想滲透“秘訣”的揭示。為避免步入“片面化、數(shù)據(jù)中心主義和技術(shù)至上主義”的誤區(qū)，本研究尋求開(kāi)展“以‘協(xié)同’辯證方法論為基本立場(chǎng)的教育研究”［10］。

從實(shí)踐論角度看，對(duì)課堂教學(xué)行為及其技藝（經(jīng)驗(yàn)）的綜合研判與科學(xué)總結(jié)，離不開(kāi)對(duì)教學(xué)三大要素狀態(tài)和教學(xué)任務(wù)與手段運(yùn)用情況的把握。因而，除對(duì)教學(xué)行為特點(diǎn)進(jìn)行分析外，還要基于教師素養(yǎng)與模型思想滲透進(jìn)程的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，做進(jìn)一步的跨維度融合分析，以還原和揭示教學(xué)行為實(shí)施者的初衷之同時(shí)，從中汲取“意義”進(jìn)而揭示模型思想滲透的可行路徑。由此，我們構(gòu)建了模型思想滲透研究的“層次析出模型”（見(jiàn)圖1）：外環(huán)即行為揭示層，旨在客觀揭示四個(gè)教學(xué)行為的特征；中環(huán)即融合分析層，旨在闡明課例在課堂把控、教材處置和師生互動(dòng)的應(yīng)然與實(shí)然；內(nèi)環(huán)即方略提煉層，旨在從中環(huán)的融合分析中提煉和總結(jié)滲透方略。上述三個(gè)層次相互關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)——融合分析層既從行為揭示層獲取事實(shí)與依據(jù)，又同時(shí)為方略提煉層提供價(jià)值與內(nèi)容。其邏輯進(jìn)路體現(xiàn)為一個(gè)由外到內(nèi)、層層析出的過(guò)程，故得此模型之名。

圖1 層次析出模型示意圖

（三）研究方法

基于上述分析框架，本研究采用內(nèi)容分析法和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法。前者通過(guò)運(yùn)用NVivo 軟件對(duì)課例視頻進(jìn)行客觀、系統(tǒng)和定量的描述，以揭示課例教師行為的特點(diǎn)及其“智慧”之處。具體而言：首先，建立項(xiàng)目，導(dǎo)入、轉(zhuǎn)錄課例視頻，采用三秒一段的拆分方式，將內(nèi)容進(jìn)行細(xì)化處理。本視頻時(shí)長(zhǎng)為41 分24 秒，最終被拆分成828 個(gè)教學(xué)片段；其次，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編碼，即對(duì)視頻進(jìn)行解釋說(shuō)明；再次，對(duì)編碼進(jìn)行整合，導(dǎo)出數(shù)據(jù)，并基于ITIAS 繪制表格，進(jìn)行共時(shí)態(tài)分析；最后，從動(dòng)態(tài)維度對(duì)課例的進(jìn)程進(jìn)行歷時(shí)態(tài)分析，揭示模型思想滲透的設(shè)計(jì)與流程。后者體現(xiàn)在——對(duì)視頻觀察、日常積累的關(guān)于模型思想滲透的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，做出理性的概括與提煉并進(jìn)行必要的論證，以形成具有普遍指導(dǎo)意義的模型思想滲透方略。

三、結(jié)果分析：課例教學(xué)行為的實(shí)然狀況

（一）靜態(tài)斷面掃描：教學(xué)行為的共時(shí)態(tài)分析

ITIAS 顯示，教師行為占比約54%，學(xué)生行為占比為25%，而沉寂和技術(shù)分別占15%和6%左右，從時(shí)長(zhǎng)上可判斷教師注重指導(dǎo)。教師行為主要集中在講授和總結(jié)部分。教師接受情感行為主要是師生間的問(wèn)好，起到融洽氣氛、拉近師生距離的作用。教師認(rèn)可或復(fù)述學(xué)生的觀點(diǎn)等采納意見(jiàn)行為共出現(xiàn)49 次，約占教師行為總數(shù)的11%。提問(wèn)行為共發(fā)生143 次，提問(wèn)開(kāi)放性問(wèn)題與提問(wèn)封閉性問(wèn)題在其中的占比大致相當(dāng)。講授行為共發(fā)生101 次，占教師行為總數(shù)的23%，整個(gè)教學(xué)過(guò)程的12%左右。指示行為的占比與講授行為基本持平。由此可推斷，課例教師較為注重精講和促進(jìn)學(xué)生思考。

學(xué)生行為出現(xiàn)了207 次，尚不及教師行為的一半，且發(fā)生頻率起伏較大。從應(yīng)答行為看，被動(dòng)回答共出現(xiàn)140 次。而主動(dòng)回答只有46 次，主動(dòng)提問(wèn)欠缺，說(shuō)明學(xué)生主要是跟隨教師的引導(dǎo)進(jìn)行思考。學(xué)生回答問(wèn)題的行為發(fā)生頻率高于教師提問(wèn)行為的頻率，表明學(xué)生能較快地掌握所學(xué)新知，從側(cè)面反映出學(xué)生上課的集中程度、聽(tīng)課效率以及思維參與度較好。

沉寂（行為）共發(fā)生123 次，約占整個(gè)行為的15%，且變化波動(dòng)明顯。其中，無(wú)助教學(xué)的混亂共出現(xiàn)27 次，除學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)話筒傳遞導(dǎo)致的停頓外，還發(fā)生在教師提問(wèn)后學(xué)生出現(xiàn)的短暫“靜默”狀態(tài)，說(shuō)明無(wú)助教學(xué)的混亂在此不是真正的混亂。思考行為共發(fā)生37 次，主要表現(xiàn)為教師提問(wèn)之后的靜思以及同伴答問(wèn)的判斷。練習(xí)行為共發(fā)生59 次，約占沉寂行為總數(shù)的一半。練習(xí)在此主要是檢測(cè)學(xué)生對(duì)模型的認(rèn)識(shí)情況和促進(jìn)學(xué)生對(duì)模型的理解與掌握。

技術(shù)行為主要反映技術(shù)與教學(xué)之間的聯(lián)結(jié)，共發(fā)生52 次，在四大類行為中占比最低（約6%）。但教師操作技術(shù)在其中占多數(shù)（41 次），表明該教師具有將技術(shù)融入學(xué)科教學(xué)的意識(shí)，并具有一定的實(shí)操行為，在一定程度上起到提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)學(xué)生掌握知識(shí)以及幫助學(xué)生化抽象為具體（刻畫(huà)模型結(jié)構(gòu)）的作用。

將上述四種行為在單位時(shí)間的變化情況，經(jīng)過(guò)處理放置在同一折線圖中（見(jiàn)圖2），可發(fā)現(xiàn)其在單位時(shí)間內(nèi)的動(dòng)態(tài)變化特征：其一，教師行為與學(xué)生行為之間的變化基本趨同，表明師生的互動(dòng)較為頻繁，并形成了師生雙向互動(dòng)的態(tài)勢(shì)；其二，教師行為與沉寂的動(dòng)態(tài)特征呈現(xiàn)出此消彼長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，表明教師的教與學(xué)生的學(xué)具有一定交換性和動(dòng)變性，不僅僅局限于教師的教；其三，學(xué)生行為和沉寂的變化具有一致性，折射出教師在教學(xué)中注重學(xué)生的主體性地位；其四，技術(shù)行為與言語(yǔ)行為（包括教師行為和學(xué)生行為）的變化亦呈此消彼長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，側(cè)面反映出技術(shù)行為在一定程度上起到了輔助教學(xué)的作用。

圖2 四種行為單位時(shí)間變化對(duì)比圖

（二）動(dòng)態(tài)流程透視：教學(xué)行為的歷時(shí)態(tài)省察

如果說(shuō)對(duì)教學(xué)行為的共時(shí)態(tài)分析，可以揭示教師在師生角色地位、互動(dòng)方式以及技術(shù)運(yùn)用等問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與處置。那么，對(duì)教學(xué)行為的歷時(shí)態(tài)直描，則可以更全面地了解教師在模型思想滲透的舉措及其所折射出的運(yùn)思與“智慧”。課例的教學(xué)過(guò)程大致分為四個(gè)階段。

1.情境導(dǎo)入：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入模型

課例伊始，教師問(wèn)學(xué)生：“同學(xué)們?cè)谏钪幸?jiàn)過(guò)平行和垂直嗎？”這個(gè)提問(wèn)的作用有二：一是促進(jìn)學(xué)生將生活與數(shù)學(xué)進(jìn)行聯(lián)系，形成“數(shù)學(xué)與生活是密不可分或數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”的意識(shí)；二是激發(fā)學(xué)生的自主思考，積極地從已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中搜尋信息。在學(xué)生短暫思考后，教師繼而提問(wèn)：“你是怎樣理解平行和垂直的？”引導(dǎo)學(xué)生將自己所理解的平行和垂直畫(huà)出來(lái)，并將部分同學(xué)的作品進(jìn)行展示。經(jīng)過(guò)學(xué)生獨(dú)立的思考與操作，在教師尚未講解的情況之下，學(xué)生初步感知平行與垂直的模型概念與結(jié)構(gòu)，為后期深層次學(xué)習(xí)模型打開(kāi)通道。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所理解的平行與垂直進(jìn)行歸納、總結(jié)，以培養(yǎng)其用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)模型的意識(shí)和習(xí)慣。

2.合作探究：點(diǎn)撥導(dǎo)學(xué)，構(gòu)建模型

讓學(xué)生初步感知模型后，教師引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)書(shū)本知識(shí)，發(fā)現(xiàn)與之前理解的不同之處，并做出相應(yīng)的糾錯(cuò)。此舉有利于培育學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、自主學(xué)習(xí)的能力，還有助于幫助其了解模型的具體概念及核心特征。在學(xué)生初步建立模型結(jié)構(gòu)后，接著教師與學(xué)生一同概括：“平行”指的是兩條不相交的直線，用“∥”表示，讀作a 平行于b，可以用a 平行于b、b 平行于a 以及a 與b 互相平行三種方式表示。在強(qiáng)化這些基本知識(shí)后，教師繼而出示一幅圖，讓學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)。通過(guò)教師的點(diǎn)撥與講解，學(xué)生再次理解平行的含義，并掌握“直線是可以無(wú)限延伸的”這一知識(shí)點(diǎn)，在辨析中逐漸加深對(duì)模型結(jié)構(gòu)特征的掌握。對(duì)于垂直部分的教學(xué)，亦基本與平行相似，通過(guò)一問(wèn)一答的方式引導(dǎo)學(xué)生對(duì)垂直進(jìn)行學(xué)習(xí)，包括垂直的定義、表示、讀法和寫(xiě)法。

3.練習(xí)鞏固：?jiǎn)栴}探究，應(yīng)用模型

當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)從問(wèn)題條件中歸納數(shù)學(xué)信息并構(gòu)建模型之后，為鞏固所學(xué)的模型，教師開(kāi)始指引學(xué)生練習(xí)并利用模型進(jìn)行并探究、解決實(shí)際問(wèn)題。首先，讓學(xué)生觀察課件中所展示的立體圖形，要求指出其中的平行線和垂直線；隨后，引導(dǎo)學(xué)生將注意力集中在教室這個(gè)空間，將立體圖形和教室空間進(jìn)行結(jié)合，再次引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出教室里隱藏的平行線和垂直線；接著，教師利用習(xí)題的講練，解釋平行的前提條件：在同一平面內(nèi)。不難發(fā)現(xiàn)，教師在滲透數(shù)學(xué)模型時(shí)，注重與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合（如立體幾何）。事實(shí)也應(yīng)如此，數(shù)學(xué)模型意識(shí)的培養(yǎng)或滲透，離不開(kāi)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)、空間觀念等素養(yǎng)的支撐與輔助。進(jìn)言之，學(xué)生從認(rèn)識(shí)模型到應(yīng)用模型的過(guò)程，亦是其感受數(shù)學(xué)模型應(yīng)用價(jià)值和數(shù)學(xué)文化的過(guò)程。

4.小結(jié)拓展：歸納總結(jié)，驗(yàn)證模型

在應(yīng)用模型的基礎(chǔ)上，教師首先通過(guò)系列提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平行和垂直進(jìn)行分類和歸納，總結(jié)出這兩個(gè)模型應(yīng)用的范圍與類型；其次，通過(guò)多媒體課件展示生活中的平行與垂直，并通過(guò)一句“希望同學(xué)們課后帶著數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界”，來(lái)幫助學(xué)生建立模型應(yīng)用的意識(shí)，將模型帶入生活之中；最后，通過(guò)詢問(wèn)學(xué)生教學(xué)體會(huì)，借此呼吁學(xué)生“帶著自己的收獲回到自己的課堂”，由此表達(dá)用生活驗(yàn)證、解釋模型之愿望。

四、討論：模型思想滲透要面對(duì)的幾對(duì)關(guān)系

模型思想滲透彰顯教師對(duì)教學(xué)進(jìn)程、教材內(nèi)容等要素的處置。事實(shí)上，任何教學(xué)要素其范疇內(nèi)部都存有若干不同的甚至相互對(duì)立的關(guān)系因子，需要我們加以認(rèn)識(shí)并妥善處理。對(duì)于數(shù)學(xué)課堂模型思想滲透這么一項(xiàng)頗具挑戰(zhàn)性的教學(xué)微觀活動(dòng)，至少要面對(duì)如下三對(duì)關(guān)系。

（一）課堂把控的“收”與“放”

課堂教學(xué)的“放”“收”平衡問(wèn)題，可謂一直困擾著一線教師。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂模型思想滲透亦有此困：一方面，課堂需要“收”即注重知識(shí)歸納與綜合，以高效引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；另一方面，“收”得過(guò)緊又不利于學(xué)生激活思考、培育創(chuàng)造性思維能力，故而需要放手讓學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索，但又不能任其自流、天馬行空。合理的做法是尋求“收”“放”有度、“收”“放”有方。

“收”“放”有度意味著教師能適時(shí)地把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓其充分發(fā)揮主動(dòng)性和創(chuàng)造性。鑒于小學(xué)生身心特點(diǎn)、學(xué)習(xí)特征及模型思想滲透要求，教師行為占比不宜超過(guò)70%，且其中的講授行為不宜超過(guò)教師行為的一半。在本課例，教師行為占比較為合理，講授行為也不多（僅占教師行為的23%）。學(xué)生或獨(dú)立思考，或參與討論，似亂非亂，多數(shù)能自覺(jué)地在條件框架與問(wèn)題情境下，尋求解決問(wèn)題的方法和路徑。一旦發(fā)現(xiàn)學(xué)生觀點(diǎn)、思路有誤或游離主題，教師須及時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)，給予扶持式的“收”以聚焦升華主題。因而，課堂看似“收”得嚴(yán)實(shí)，但教師點(diǎn)撥有方、導(dǎo)學(xué)得體，促成了學(xué)生心智活動(dòng)真正地“放”。

“放”是手段、基礎(chǔ)，“收”是目的、升華。“收”“放”有方意味著教師善于依循數(shù)學(xué)思想滲透的一般流程，巧設(shè)環(huán)節(jié)，靈活開(kāi)展活動(dòng)。在導(dǎo)入和分析模型時(shí)，可通過(guò)提問(wèn)、圖片或游戲等創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)學(xué)生質(zhì)疑、探索，并激活學(xué)生的想象力、轉(zhuǎn)換與構(gòu)造能力和直覺(jué)思維，從而為構(gòu)建模型進(jìn)行鋪墊、點(diǎn)撥和導(dǎo)向；在構(gòu)建和應(yīng)用模型時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，促成“事理”躍升為“數(shù)理”，在思維的聚合與發(fā)散的交替結(jié)合中，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決生活實(shí)際問(wèn)題。本課例，教師或講授、或沉寂；時(shí)而讓學(xué)生自主想象、練習(xí)展示，時(shí)而提問(wèn)歸納、指引導(dǎo)學(xué)。正是這一系列靈活的“收”“放”，促成了一個(gè)張弛合宜的模型化過(guò)程。可見(jiàn)，有度的“放”和適時(shí)的“收”，應(yīng)交替進(jìn)行、融為一體。

（二）教材處置的“破”與“立”

近二十年來(lái)，教育界一直呼吁“用教材教”。但將教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為實(shí)用有趣且富有意義的教學(xué)內(nèi)容并非易事。更何況，如崔允漷教授所言，“清晰的目標(biāo)是‘用教材教’的依據(jù)和前提，沒(méi)有相對(duì)統(tǒng)一的清晰目標(biāo)，倡導(dǎo)‘用教材教’是相當(dāng)危險(xiǎn)的”［11］。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何結(jié)合教材內(nèi)容滲透模型思想，在專家編寫(xiě)的教科書(shū)中是找不到明晰的目標(biāo)和路徑的。筆者認(rèn)為，踐行“用教材教”理念，教師應(yīng)尋求有“破”有“立”，“破”“立”結(jié)合。

“破”意味著教師摒棄“教知識(shí)”的舊觀念、舊做法。知識(shí)僅僅是人類生活中的符號(hào)體系，它唯有跟具體情境結(jié)合起來(lái)才有價(jià)值。進(jìn)言之，關(guān)涉學(xué)生成長(zhǎng)的“硬核”是應(yīng)用知識(shí)的智慧而非掌握知識(shí)的能力，這也是業(yè)界一直強(qiáng)調(diào)教學(xué)要“授人以漁”的重要緣由。數(shù)學(xué)教學(xué)更是如此。對(duì)于絕大多數(shù)人而言，數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)踐中的應(yīng)用極為有限，但包括數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想在內(nèi)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)卻大有用處。數(shù)學(xué)教學(xué)的要旨便是以數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)為手段，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。為此，教師必須摒棄“學(xué)生掌握知識(shí)、能做題就行”之類的想法，遠(yuǎn)離知識(shí)注入式教學(xué)，注重提升學(xué)生的觀察、抽象、類比、遷移、分析以及綜合等能力，以開(kāi)啟其智慧、涵養(yǎng)其心性。課例中，教師沒(méi)有落入“教知識(shí)”的傳統(tǒng)窠臼，而是尋求將生活與數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)模型的意義和價(jià)值，這是用知識(shí)教的表現(xiàn)。

“立”意味著教師以學(xué)生建模為目的旨?xì)w，樹(shù)立和培植轉(zhuǎn)合、活用教材知識(shí)的意識(shí)與能力。促成學(xué)生用好數(shù)學(xué)知識(shí)、形成解題方法論，有賴于教師聚焦建模目標(biāo)，彰顯理解、整合、轉(zhuǎn)構(gòu)和活化教材知識(shí)的意識(shí)與能力。教師既要引導(dǎo)學(xué)生把不同時(shí)段甚至不同學(xué)科習(xí)得的教材知識(shí)，在課堂教學(xué)中進(jìn)行整合與轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)建一批數(shù)量可觀、易于理解、包涉面更大的數(shù)學(xué)模型與范例，又要以身作則指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與思想，去觀照、審視現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，彰顯整合思維、化歸思維與和合思維，從而擴(kuò)充模型來(lái)源素材的同時(shí)，促成模型注“我”。課例小結(jié)拓展部分，教師通過(guò)課件和號(hào)召性言語(yǔ)，將學(xué)生的生活世界與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)，較好地體現(xiàn)并詮釋了“模型來(lái)源于生活，服務(wù)于生活”的特征與內(nèi)涵。

（三）師生互動(dòng)的“深”與“淺”

葉瀾教授曾指出：“教學(xué)過(guò)程的內(nèi)在邏輯應(yīng)當(dāng)是多向互動(dòng)、動(dòng)態(tài)生成，教師與學(xué)生之間是一種對(duì)話、合作與溝通的關(guān)系。”［12］師生之間的對(duì)話與合作所形成的互動(dòng)性影響，對(duì)于教學(xué)的順利開(kāi)展、教學(xué)質(zhì)量的提升意義顯要。如合理地提問(wèn)，可有效地在師生之間建立起互動(dòng)的紐帶。然而，如前所述，學(xué)生主動(dòng)提問(wèn)和同伴討論缺乏，且主動(dòng)回答不及整個(gè)教學(xué)行為的6%，是否說(shuō)明課例教師不注重互動(dòng)行為或者說(shuō)互動(dòng)失敗了呢？筆者并不那么認(rèn)為，因?yàn)槭軙r(shí)間與教學(xué)任務(wù)所限，課堂實(shí)踐中的師生互動(dòng)行為必然是有“深”有“淺”，關(guān)鍵要看實(shí)際效果。而師生互動(dòng)行為的成效受制于互動(dòng)方式的豐富性與層次性，更取決于互動(dòng)內(nèi)容的開(kāi)放性與深刻性。

淺層次的互動(dòng)行為主要存在于教師接受情感、鼓勵(lì)表?yè)P(yáng)以及師生簡(jiǎn)單的問(wèn)答層面，此類行為達(dá)成活躍學(xué)習(xí)氣氛、激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)以及串聯(lián)教學(xué)環(huán)節(jié)的功效即可，不必在此“濃墨重彩”。但互動(dòng)方式的豐富性和層次性要予以保證。豐富性意味著問(wèn)答、練習(xí)和討論這傳統(tǒng)“三大件”盡可能齊全，有時(shí)還得增加表演、游戲等互動(dòng)方式。層次性意味著提問(wèn)和練習(xí)設(shè)計(jì)具有多維性、層次感。課例中的互動(dòng)便較好地體現(xiàn)了層次性。如學(xué)生做練習(xí)分成了三個(gè)部分，由淺入深，類型豐富多樣，為學(xué)生理解模型、運(yùn)用模型解決問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。鑒于小學(xué)生認(rèn)知能力與思維特點(diǎn)，模型思想滲透應(yīng)彰顯“層層剝筍”特點(diǎn)，提問(wèn)與課堂練習(xí)設(shè)計(jì)的層次性不容輕視。

深層次的互動(dòng)主要體現(xiàn)并有賴于互動(dòng)內(nèi)容的開(kāi)放性和深刻性。開(kāi)放性意指所提問(wèn)題和練習(xí)內(nèi)容具有明顯的發(fā)散性和綜合性，能引發(fā)和促進(jìn)學(xué)生多維思考、多技能參與和綜合學(xué)力歷練。課例教師針對(duì)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)書(shū)本內(nèi)容進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，比較和探查自己所理解的平行和垂直有何不足，便體現(xiàn)了開(kāi)放性特點(diǎn)。深刻性意指講授、所提問(wèn)題和練習(xí)內(nèi)容具有較強(qiáng)的拓展性和啟迪性，能幫助學(xué)生建立模型，并將自己所理解的模型用以解決實(shí)際問(wèn)題。省察課例滲透“平行與垂直”模型之過(guò)程，不啻為一種以問(wèn)題解決為目標(biāo)指向的變式訓(xùn)練、學(xué)生思維拓展訓(xùn)練，其互動(dòng)的深刻性不言而喻。

五、結(jié)論與啟示

（一）主要發(fā)現(xiàn)

整合并提煉前述研討的“意義碎片”發(fā)現(xiàn)，課例在促成模型思想滲透方面教學(xué)得法、成效明顯，并彰顯出如下特點(diǎn)。

1.數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)化不僅是模型思想滲透的要求，而且是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)。課例教師善于構(gòu)建生活與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)結(jié)，從背景材料、問(wèn)題設(shè)計(jì)和思維拓展這三個(gè)維度對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，教材處置“破”“立”結(jié)合，尋求“生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化”。這種運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言分析問(wèn)題、探究規(guī)律的綜合設(shè)計(jì)，促成了學(xué)習(xí)內(nèi)容生活化的同時(shí)，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題“原型化”，有利于學(xué)生培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)、問(wèn)題意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)模型對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的描摹與反映，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而有助于學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型思想解決實(shí)際問(wèn)題。

2.過(guò)程化的學(xué)生主體參與

學(xué)生作為模型思想滲透的主體，唯有其自主性、能動(dòng)性和創(chuàng)造性受到激發(fā)，才能激趣、化難和啟智。課例教師為促成學(xué)生實(shí)現(xiàn)直觀與抽象的相互轉(zhuǎn)化，其提問(wèn)、講授和練習(xí)設(shè)計(jì)等，都尋求彰顯學(xué)生的主體性和參與性——不僅內(nèi)容貼近學(xué)生的生活世界，注重師生互動(dòng)方式的豐富性與層次性和互動(dòng)內(nèi)容的開(kāi)放性與深刻性，而且還善于引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)，從數(shù)學(xué)問(wèn)題中歸納模型、建立模型，從而讓教學(xué)成為一個(gè)學(xué)生全程參與和深切體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、求解問(wèn)題和應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程。

3.有序化的教學(xué)進(jìn)程把控

中小學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)尚不厚實(shí)，對(duì)其進(jìn)行模型思想滲透須遵循由淺入深，從概念理解到靈活變換的順序邏輯。課例教師不但善于運(yùn)用問(wèn)答法和演示法，依循學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)和現(xiàn)有水平基礎(chǔ)，安排適量的教學(xué)內(nèi)容和合理的思考時(shí)間，促成四大教學(xué)行為交替發(fā)生、有序開(kāi)展。而且，還深諳數(shù)學(xué)建模之道，對(duì)于模型思想滲透進(jìn)程掌控自如，“收”“放”有方——在學(xué)生初次認(rèn)識(shí)模型時(shí)，注重概念辨析和特征揭示，以幫助其把握模型的基本結(jié)構(gòu)與旨趣；在學(xué)生理解模型后，則逐漸加深問(wèn)題的復(fù)雜性、靈活性和發(fā)散性。

（二）滲透方略啟示

模型思想滲透是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)永恒的主題，是個(gè)技術(shù)活、系統(tǒng)活。教師須不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化滲透策略，以免讓模型思想滲透落入低效難為的窘境。基于課例啟示并按照數(shù)學(xué)建模的一般流程，我們提出如下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂模型思想滲透方略。

1.背景材料生活化。認(rèn)識(shí)模型作為模型思想滲透的第一步驟，需要教師創(chuàng)設(shè)必要的意義背景，尋求背景材料生活化。背景材料生活化有兩方面的意蘊(yùn)：一是所設(shè)立的問(wèn)題來(lái)源于學(xué)生的生活世界，契合學(xué)生認(rèn)知；二是所創(chuàng)設(shè)的主題情境生活化，契合生活常態(tài)。背景材料生活化，便于對(duì)學(xué)生進(jìn)行多維啟發(fā)、綜合陶冶，這種烘托與鋪墊利于其發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、認(rèn)識(shí)模型。當(dāng)然，教師提供的背景材料可不完全源自學(xué)生的真實(shí)生活事件，模擬可操作的生活性事件、學(xué)生認(rèn)知發(fā)展到一定階段后所產(chǎn)生的內(nèi)在邏輯需要等，都可成為素材。

2.圖式構(gòu)建兼容化。在分析模型這一階段，需要促成學(xué)生構(gòu)建與模型相兼容的思維圖式，以準(zhǔn)確把握模型核心特征。教師要兼顧學(xué)生思維特點(diǎn)與數(shù)學(xué)模型特征，巧妙設(shè)計(jì)、耐心鋪墊和精心指引。最為緊要的是通過(guò)一系列包涉性與延展性俱佳的操作，增進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解以達(dá)成其對(duì)模型的兼容，即深度把握和完整表達(dá)模型。學(xué)生構(gòu)建與模型相兼容的思維圖式，有賴于其彰顯模型感受意識(shí)、問(wèn)題表征與理解意識(shí)，這絕非一蹴而就之事。“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)”［13］。鑒于模型的抽象性、圖式構(gòu)建的復(fù)雜性以及小學(xué)生思維的直觀性和簡(jiǎn)單性，教師要給予學(xué)生足夠的精神自由與思維空間，讓其浸淫于“數(shù)學(xué)文化”去感悟、碰撞與兼容，從而增強(qiáng)思維轉(zhuǎn)化能力進(jìn)而培植模型思維。

3.模型建構(gòu)參與化。美國(guó)泰德·霍奇森（Ted Hodgson）等人的數(shù)學(xué)建模過(guò)程特征圖表明，“現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境是對(duì)系統(tǒng)地闡述問(wèn)題的簡(jiǎn)化，而系統(tǒng)地闡述問(wèn)題是對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的檢驗(yàn)”［14］。系統(tǒng)地闡述問(wèn)題實(shí)際上是一種建立模型以解釋、解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)化過(guò)程。過(guò)程參與是學(xué)生實(shí)現(xiàn)從問(wèn)題情境中抽象出模型的前提與要求，做好下面兩點(diǎn)比較重要：一是充分保障學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)和助推同伴交流與互動(dòng)，取長(zhǎng)補(bǔ)短。學(xué)生生成所需的系列化、結(jié)構(gòu)化思維，固然離不開(kāi)教師的指導(dǎo)，但生生之間的“辯論”亦不可或缺。它可以快速地促使學(xué)生意識(shí)到自身的不足，提取自己所缺失的那部分信息，從而有利于其完整的認(rèn)識(shí)模型；二是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)化的眼光去審視、表達(dá)問(wèn)題。教師既要善于指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察和思考問(wèn)題情境，從中捕捉到可操作的數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)符號(hào)。又要巧妙引導(dǎo)學(xué)生概括模型結(jié)構(gòu)，嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行總結(jié)和表達(dá)，以提升其數(shù)學(xué)化意識(shí)進(jìn)而培育其模型思想。

4.問(wèn)題解決變式化。模型思想滲透的最終結(jié)果是應(yīng)用模型，即將靜態(tài)的模型思想轉(zhuǎn)變成動(dòng)態(tài)的、數(shù)學(xué)化的思維過(guò)程和解決思路。要實(shí)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)變，進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題訓(xùn)練是理所應(yīng)當(dāng)?shù)模阂皇菍で笳蠢C的交替運(yùn)用。肯定的例證能夠從正面為學(xué)生提供證明，以直接明了的方式告知學(xué)生所用模型的類型，學(xué)生能夠快速?gòu)乃鶎W(xué)知識(shí)中提取信息、解決問(wèn)題。否定例證則能夠從變化的角度促進(jìn)學(xué)生對(duì)所用模型的核心特征加以理解和鞏固，以不變應(yīng)萬(wàn)變。交替運(yùn)用正反兩種問(wèn)題思路，可幫助學(xué)生透過(guò)表面解讀深層次的表達(dá)含義，從而有效提升其對(duì)所學(xué)模型的認(rèn)識(shí)與理解；二是增強(qiáng)各種變式訓(xùn)練。正反例證利于輔助學(xué)生概念學(xué)習(xí)，而變式訓(xùn)練則利于促進(jìn)學(xué)生問(wèn)題解決能力的提升。教師要有目的、有計(jì)劃地組織一題多變、一題多解和一模多用等習(xí)題訓(xùn)練，使其看到問(wèn)題想到相關(guān)知識(shí)、模型，看到知識(shí)、模型想到相關(guān)問(wèn)題，從而拓展學(xué)生的多向思維，培養(yǎng)其全方位、多層次分析與解決問(wèn)題的能力。

國(guó)際之間的綜合國(guó)力競(jìng)爭(zhēng)，歸根結(jié)底是教育尤其是基礎(chǔ)教育之間的競(jìng)爭(zhēng)。在國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)愈發(fā)倚重科技創(chuàng)新的當(dāng)下，筆者探討小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想滲透問(wèn)題，唯愿有關(guān)部門和人員對(duì)此愈加重視，切實(shí)改進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，積極提升小學(xué)生運(yùn)用模型思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力，為這波“后浪”的奔涌推波助瀾。