航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)正交性和不平衡響應(yīng)

黃江博， 廖明夫， 程榮輝, 古遠(yuǎn)興, 李 明

(1.西北工業(yè)大學(xué) 動(dòng)力與能源學(xué)院，西安 200240；2.中國航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán) 沈陽發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽 110015;3.中國航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán) 中國燃?xì)鉁u輪研究院，成都 610500)

渦噴與渦扇航空發(fā)動(dòng)機(jī)普遍采用雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)。隨著性能和推重比不斷提升，發(fā)動(dòng)機(jī)工作范圍內(nèi)存在若干階轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會(huì)頻繁穿越多階臨界轉(zhuǎn)速，甚至?xí)谂R界轉(zhuǎn)速位置或鄰域持續(xù)運(yùn)行。這就要求發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)從“避開共振”向“容忍共振”發(fā)展。為此，文獻(xiàn)[1]對單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，提出了“可容模態(tài)”設(shè)計(jì)理論，即如何保證轉(zhuǎn)子能夠“容忍共振”的設(shè)計(jì)理論。

雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)“可容模態(tài)”設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模方面，國內(nèi)外學(xué)者也展開了一系列研究，具有重要的參考價(jià)值。陳果[2]利用有限元方法針對實(shí)際的雙轉(zhuǎn)子航空發(fā)動(dòng)機(jī),建立了航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子-支承-機(jī)匣耦合動(dòng)力學(xué)模型，采用數(shù)值積分分析動(dòng)力學(xué)模型的非線性振動(dòng)響應(yīng)。廖明夫等[3-5]建立了考慮陀螺力矩以及中介軸承剛度的雙轉(zhuǎn)子模型，運(yùn)用解析方法分析雙轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性，并分析了轉(zhuǎn)速比和相對旋轉(zhuǎn)方向?qū)﹄p轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。張大義等[6]考慮轉(zhuǎn)、靜子之間的耦合機(jī)理，建立了整機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，并通過數(shù)值模擬分析了雙轉(zhuǎn)子渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性。路振勇等[7-8]建立了復(fù)雜離散動(dòng)力學(xué)模型,對該模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)降維,得到了兩種簡化動(dòng)力學(xué)模型，通過對比臨界轉(zhuǎn)速和固有振動(dòng)特性驗(yàn)證了縮減模型的準(zhǔn)確性。高朋等[9]針對航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子-中介軸承系統(tǒng)建立了簡化動(dòng)力學(xué)模型，考慮了中介軸承分?jǐn)?shù)指數(shù)非線性、徑向游隙和參數(shù)激勵(lì)等因素，研究了中介軸承的本質(zhì)非線性特性對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性的影響。李巖等[10]建立了考慮中介軸承的雙轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)了雙轉(zhuǎn)子發(fā)生“臨界跟隨”現(xiàn)象時(shí)參數(shù)之間的關(guān)系，分析了“臨界跟隨”狀態(tài)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。Gupta等[11]應(yīng)用傳遞矩陣法研究了支承剛度，轉(zhuǎn)速比等參數(shù)對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。Hou等[12]提出了諧波平衡-交替頻/時(shí)域方法來對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)復(fù)雜激勵(lì)下的共振進(jìn)行分析，將獲得的結(jié)果與直接數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行比較，顯示出很好的一致性。Wang等[13]結(jié)合有限元法和固定接口模態(tài)綜合法，考慮到擠壓膜阻尼器和中間軸承的非線性力，研究并比較了在多個(gè)不平衡力作用下，同向和反向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力響應(yīng)特性。Wang等[14-15]利用ANSYS有限元商用軟件和固定界面模態(tài)綜合法對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模進(jìn)行了應(yīng)用研究，不過在文中并未嚴(yán)格證明雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)正交性。顧家柳[16]求解了柔性單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主振型函數(shù)，并證明了主振型函數(shù)之間的正交性，為模態(tài)動(dòng)平衡奠定了基礎(chǔ)。楊淋智[17]證明了航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)正交性，得出在轉(zhuǎn)速比恒定時(shí)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)滿足正交性的結(jié)論，但并未有數(shù)值結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)由于是雙頻激勵(lì)(激勵(lì)頻率不同，比值則為轉(zhuǎn)速比)，即高壓激勵(lì)與低壓激勵(lì)，由此在各自的激振頻率上所產(chǎn)生的模態(tài)則稱之為高壓激勵(lì)模態(tài)與低壓激勵(lì)模態(tài)。這兩組模態(tài)的正交性是雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的核心要素，也是雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)分析、故障診斷和動(dòng)平衡的理論基礎(chǔ)。關(guān)于雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)正交性以及響應(yīng)的模態(tài)分解理論，目前鮮見文獻(xiàn)報(bào)道。

為此，本文以一離散雙轉(zhuǎn)子模型為對象，分析雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的正交性。所取的模型包含了發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)，例如分叉結(jié)構(gòu)和中介支承結(jié)構(gòu)。利用復(fù)模態(tài)分析方法，本文證明了，當(dāng)高壓轉(zhuǎn)速和低壓轉(zhuǎn)速之比恒定時(shí)，低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的模態(tài)組是正交的，高壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的模態(tài)組也是正交的。但當(dāng)轉(zhuǎn)速比變化時(shí)，兩組模態(tài)都不正交。即使轉(zhuǎn)速比恒定，低壓激勵(lì)的模態(tài)組與高壓激勵(lì)的模態(tài)組之間不存在正交性。另外，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對低壓轉(zhuǎn)子不平衡的響應(yīng)，可按照低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)分解；對高壓轉(zhuǎn)子不平衡的響應(yīng)，可按高壓激勵(lì)的模態(tài)分解。經(jīng)過模態(tài)分解，可得到不平衡響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式。結(jié)果表明，低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)組與高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)組關(guān)于不平衡響應(yīng)是正交的。從理論上給出了證明，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)振動(dòng)，只需對低壓轉(zhuǎn)子進(jìn)行動(dòng)平衡即可消除；高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)振動(dòng)，只需對高壓轉(zhuǎn)子進(jìn)行動(dòng)平衡即可控制。雙轉(zhuǎn)子的模態(tài)正交性理論為雙轉(zhuǎn)子模態(tài)動(dòng)平衡奠定了基礎(chǔ)，有助于模態(tài)動(dòng)平衡的工況選取，以及后續(xù)延伸的雙轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)求解，對于雙轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)初期的動(dòng)力學(xué)特性計(jì)算有重要意義。

1 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)正交性

航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)比單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)復(fù)雜得多，存在較多特殊結(jié)構(gòu)，包括分叉結(jié)構(gòu)和中介支承等，并且高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不同，轉(zhuǎn)動(dòng)方向也可能不同，不能再簡單地等同單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。因此，需從理論上證明雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)正交性，并建立模態(tài)正交的條件。這是雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)和模態(tài)動(dòng)平衡的基礎(chǔ)。

1.1 雙轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程與高、低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)

利用有限元法對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行離散化后，其穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程如下

(1)

式中:下標(biāo)“L”為與低壓轉(zhuǎn)子相關(guān)的量；下標(biāo)“h”為與高壓轉(zhuǎn)子相關(guān)的量;M,C分別為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量和阻尼矩陣;K為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度矩陣，包含了分叉結(jié)構(gòu)和中介軸承的剛度；ΩL和Ωh分別為低壓轉(zhuǎn)子和高壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速;q為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的廣義位移向量;GL為低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)陀螺力矩矩陣;Gh為高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)陀螺力矩矩陣;Q為作用在轉(zhuǎn)子上的激振力。忽略阻尼和方程右端激振力項(xiàng)，可以得到如下的齊次方程，用以確定雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)。

(2)

雙轉(zhuǎn)子航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速有兩種控制模式。一種是，根據(jù)給定的高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速控制律，在運(yùn)行過程中，控制高、低壓轉(zhuǎn)子中一個(gè)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，而另一個(gè)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速沿共同工作線隨動(dòng);另一種模式為雙參數(shù)控制，即通過調(diào)節(jié)燃油和尾噴管，依據(jù)高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速控制律，同時(shí)控制高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速。正在研制的變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)以及未來的自適應(yīng)雙轉(zhuǎn)子航空發(fā)動(dòng)機(jī)，高、低壓轉(zhuǎn)速控制的靈活性和獨(dú)立性會(huì)大幅增高。高、低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速不同，因而高、低壓轉(zhuǎn)子激振頻率也不相同。在雙轉(zhuǎn)子航空發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)行過程中，高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子都能激起整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振，共振時(shí)的轉(zhuǎn)速都是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。當(dāng)?shù)蛪恨D(zhuǎn)子為主激勵(lì)源時(shí)，低壓轉(zhuǎn)子正同步進(jìn)動(dòng)，即自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)同步，此時(shí)，若高、低壓轉(zhuǎn)子同轉(zhuǎn)，則高壓轉(zhuǎn)子作非同步正進(jìn)動(dòng)，若反轉(zhuǎn)則作非同步反進(jìn)動(dòng)。若高壓轉(zhuǎn)子為主激勵(lì)源時(shí)，有對應(yīng)的結(jié)果。

因此，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)按照主激勵(lì)源頻率的不同分為兩種：一種由低壓轉(zhuǎn)子激振頻率所激起，稱為低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)(low pressure rotor excitation,LPE)。此時(shí)，低壓轉(zhuǎn)速為公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速；另一種由高壓轉(zhuǎn)子激振頻率激起，稱為高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)(high pressure rotor excitation,HPE)。這時(shí)，高壓轉(zhuǎn)速為公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速。當(dāng)計(jì)算雙轉(zhuǎn)子模態(tài)時(shí)，需要先設(shè)定作為主激勵(lì)的轉(zhuǎn)速，然后根據(jù)轉(zhuǎn)速比，確定另一個(gè)轉(zhuǎn)速，利用方程式(2)所對應(yīng)的特征方程，求解臨界轉(zhuǎn)速和振型。最終可以得到雙轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速圖譜。圖1給出了一個(gè)雙轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速圖譜示例。其中，線a,b,c,d,e為實(shí)際共同工作轉(zhuǎn)速線，與各階激勵(lì)轉(zhuǎn)速線的交點(diǎn)即為轉(zhuǎn)子各階臨界轉(zhuǎn)速，a,b和d為高壓激勵(lì)下的臨界轉(zhuǎn)速(HPE)，c和e為低壓激勵(lì)臨界轉(zhuǎn)速(LPE)，各個(gè)交點(diǎn)對應(yīng)的特征向量子向量即為雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振型向量。

圖1 雙轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速圖譜Fig.1 Map of critical speed for dual-rotor system

為進(jìn)一步揭示雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，需要證明：

(1) 高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)之間是否是正交的。例如圖1中，a,b和d高壓激勵(lì)下的臨界轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的振型相互是否正交。

(2) 低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)之間是否也是正交的。例如圖1中，c和e低壓激勵(lì)下的臨界轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的振型相互是否也正交。

(3) 高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)與低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)之間是否正交。即a,b和d點(diǎn)所對應(yīng)的振型與c和e所對應(yīng)的振型是否正交。

(4) 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)是否可按照模態(tài)分解和展開。

如果得到正交條件，一是可建立雙轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的模態(tài)分解方法;二是可建立雙轉(zhuǎn)子模態(tài)動(dòng)平衡方法。因此，揭示雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)正交性意義重大。

1.2 航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)矩陣的共軛對稱性

為證明航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的正交性，須先討論如方程式(2)所含的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)矩陣的共軛對稱性。

對于雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的低壓轉(zhuǎn)子和高壓轉(zhuǎn)子的主干結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量矩陣、陀螺效應(yīng)矩陣和剛度矩陣均是共軛對稱的。但需要特別證明的是雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中兩種特殊結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣的共軛對稱性：一是分叉結(jié)構(gòu)；二是中介支承。

1.2.1 分叉結(jié)構(gòu)

分叉結(jié)構(gòu)在航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中比較常見，與傳統(tǒng)直線的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)不同，圖2表示了典型的分叉結(jié)構(gòu)簡圖，(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)表示3個(gè)軸段，a,b,c,o表示4個(gè)節(jié)點(diǎn)。o點(diǎn)為3個(gè)軸段的交點(diǎn)，即分叉點(diǎn)。

圖2 典型的分叉結(jié)構(gòu)Fig.2 Typical furcated structure

根據(jù)分叉結(jié)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)條件和力平衡條件，可以推導(dǎo)出分叉結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程如下

(3)

式中,下標(biāo)“br”為分叉結(jié)構(gòu)單元；

利用有限元法進(jìn)行轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，分叉結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程不變，只需要在組裝系統(tǒng)質(zhì)量、陀螺、剛度矩陣時(shí)，按照方程式(2)各矩陣的組合形式進(jìn)行組裝即可。由式(3)可見，分叉結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、陀螺效應(yīng)矩陣和剛度矩陣均為共軛對稱矩陣。

1.2.2 中介支承

為提高推重比，在雙轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)中，常將高壓轉(zhuǎn)子的后支點(diǎn)設(shè)計(jì)成中介支承。假設(shè)中介支承具有線性剛度，其運(yùn)動(dòng)方程為

-Kinqin=Qin_ex

(4)

式中:下標(biāo)“in”為中介支承元素；Kin為中介支承總剛度矩陣；Qin_ex為中介支承處所受外力。

雙轉(zhuǎn)子中介支承耦合結(jié)構(gòu)的受力如圖3所示。

圖3 雙轉(zhuǎn)子中介支承耦合受力分析Fig.3 Inter-shaft bearing coupling force analysis of dual-rotor

圖3中:(1)為低壓轉(zhuǎn)子;(2)為高壓轉(zhuǎn)子，i和k分別為中介軸承在低壓轉(zhuǎn)子和高壓轉(zhuǎn)子上的節(jié)點(diǎn)編號。在組成系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，低、高壓轉(zhuǎn)子在中介軸承處所受左、右兩端剪力Qi,L,Qi,R和Qk,L,Qk,R與相鄰軸段的剪力相平衡;sin為中介軸承的剛度矩陣，Qi_ex和Qk_ex為高壓轉(zhuǎn)子和低壓轉(zhuǎn)子之間的相互作用力，它們滿足Qi_ex+Qk_ex=0。由于在建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，高、低壓轉(zhuǎn)子在中介軸承處的節(jié)點(diǎn)不相鄰，故不能相互抵消，而應(yīng)該分別按外力計(jì)算。Qi_ex可表示為

(5)

其中

由此可以得到

(6)

由于高、低壓轉(zhuǎn)子在中介軸承處的節(jié)點(diǎn)不相鄰，將式(6)代入式(4)可以得到中介軸承總剛度矩陣Kin為

2i-1 2i2k-1 2k

(7)

式中，2i-1,2i,2k-1,2k均為Kin在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度矩陣K中的位置。

由式(7)可以看出，考慮中介支承后轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度矩陣仍然為共軛對稱矩陣。

1.3 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的正交性推導(dǎo)

根據(jù)1.1節(jié)的討論，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在特定轉(zhuǎn)速比(a=Ωh/ΩL，a≠0)下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在來自高、低壓轉(zhuǎn)子不同激勵(lì)的臨界轉(zhuǎn)速和振型。下面針對不同的激勵(lì)方式，討論雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)正交性。在此，首先引入模態(tài)廣義正交性的概念。所謂模態(tài)廣義正交性是指，模態(tài)之間的正交性與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速無關(guān)。對于雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，模態(tài)廣義正交性是指，模態(tài)之間的正交性與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速以及轉(zhuǎn)速比無關(guān)。

1.3.1 低壓激勵(lì)下雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的正交性

(1) 轉(zhuǎn)速比a=Ωh/ΩL恒定

低壓轉(zhuǎn)子為主激勵(lì)源時(shí)，轉(zhuǎn)子公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速為低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，ΩL=ωL，Ωh=aωL。把第Li階模態(tài)對應(yīng)的解ωLi和qLi代入式(2)，約去時(shí)間項(xiàng)后得到

(8)

對于第Lk階模態(tài)(ωLi≠ωLk)對應(yīng)的解，同樣有

(9)

(10)

(11)

由1.2節(jié)知，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)慣量矩陣和剛度矩陣皆為共軛對稱陣，則以下兩式成立

(12)

式中，上標(biāo)“H”為復(fù)共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算。對式(11)兩邊進(jìn)行復(fù)共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算，并考慮式(12)的關(guān)系，可得

(13)

將式(13)與式(10)相減，可得

(14)

其中

(15)

式(15)為雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)時(shí)的模態(tài)正交條件。由于存在陀螺力矩效應(yīng)，振型向量為復(fù)向量。因此，不同階的振型向量關(guān)于慣量矩陣和剛度矩陣復(fù)共軛廣義正交。

特別值得注意的是，慣量矩陣中包含轉(zhuǎn)速比a。a發(fā)生變化，模態(tài)也隨之改變。在上述的推導(dǎo)中，假設(shè)a為常數(shù)。在這種情況下，所有低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)相互之間都是廣義正交的，即對于振型向量qi和qk(i=1,2,…,N;k=1,2,…,N)，式(15)均成立。對于對轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)速比a取負(fù)值，式(15)仍然成立。

當(dāng)Li=Lk時(shí)，式(15)為

(16)

MLi為低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的第Li階模態(tài)質(zhì)量。

(17)

KLi為低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的第Li階模態(tài)剛度。

低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的第Li階臨界轉(zhuǎn)速為

(18)

(2) 轉(zhuǎn)速比a=Ωh/ΩL變化

當(dāng)轉(zhuǎn)速比a變化時(shí)，式(15)不再對所有低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)都成立。不妨取表1所列的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速比，aLi和aLk(i=1,2,…,N；k=1,2,…,N)。

表1 低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下不同模態(tài)所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速比Tab.1 Critical speed and ratio of different modes under low pressure rotor excitation

第Li階模態(tài)方程為

(19)

式中，參數(shù)和變量的定義與式(8)相同。對應(yīng)低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的第Li階模態(tài)，轉(zhuǎn)速比a=aLi。

對于第Lk階模態(tài)(ωLi≠ωLk)，同樣有

(20)

式中，對應(yīng)低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的第Lk階模態(tài)，轉(zhuǎn)速比a=aLk。

(21)

(22)

同樣由于慣量矩陣和剛度矩陣的共軛對稱性，有以下兩式成立

(23)

對式(22)兩邊進(jìn)行復(fù)共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算，并考慮式(23)的關(guān)系，得到

(24)

將式(24)與式(21)相減，可得

(25)

顯見，當(dāng)轉(zhuǎn)速比aLi=aLk=a時(shí)，式(22)與式(15)相同。在式(25)中，當(dāng)轉(zhuǎn)速比a變化時(shí)，慣量矩陣中包含了臨界轉(zhuǎn)速ωLi和ωLk，以及對應(yīng)的轉(zhuǎn)速比aLi和aLk。這表明，式(25)僅對第Li階模態(tài)和第Lk階模態(tài)成立。除此之外的任一階模態(tài)，例如，第Lh階模態(tài)，與第Li階模態(tài)，或與第Lk階模態(tài)，則不會(huì)關(guān)于相同的慣量矩陣廣義正交。由此可見，當(dāng)轉(zhuǎn)速比a變化時(shí)，低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)之間不存在廣義正交性。

1.3.2 高壓激勵(lì)下雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的正交性

在高壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)時(shí)，轉(zhuǎn)子公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，Ωh=ωh，ΩL=ωh/a(a≠0)。表2列出高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下不同模態(tài)所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速比ahi和ahk(i=1,2,…,N；k=1,2,…,N)。

表2 高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下不同模態(tài)所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速比Tab.2 Critical speed and ratio of different modes under high pressure rotor excitation

同式(8)和式(9)類似，第hi階和第hk階模態(tài)須分別滿足如下的方程

(26)

(27)

(28)

(29)

同樣，根據(jù)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)慣量矩陣和剛度矩陣的共軛對稱性，最后得到

(30)

式(30)即為雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)正交條件。與低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)正交條件式(25)相比，系統(tǒng)慣量矩陣發(fā)生了變化。低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)時(shí)，轉(zhuǎn)速比a的影響出現(xiàn)在高壓轉(zhuǎn)子慣量矩陣中；而高壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)時(shí)，轉(zhuǎn)速比a的影響出現(xiàn)在低壓轉(zhuǎn)子慣量矩陣中。這體現(xiàn)出雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的慣性耦合特征。

式(30)表明，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高壓激勵(lì)模態(tài)的正交性同樣與臨界轉(zhuǎn)速ωhi和ωhk，以及對應(yīng)的轉(zhuǎn)速比ahi和ahk有關(guān)。當(dāng)轉(zhuǎn)速比變化時(shí)，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振型和臨界轉(zhuǎn)速會(huì)發(fā)生變化。第hi階模態(tài)和第hk階模態(tài)關(guān)于式(30)中的慣量矩陣正交，但除此之外的任一階模態(tài)，例如，第hn階模態(tài)，與第hi階模態(tài)，或與第hk階模態(tài)，則不會(huì)關(guān)于相同的慣量矩陣廣義正交，即高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的所有模態(tài)不會(huì)全部相互廣義正交。

當(dāng)轉(zhuǎn)速比恒定時(shí)，即ahi=ahk=a時(shí)，式(30)中的慣量矩陣為常數(shù)，高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的所有模態(tài)全部相互廣義正交。

當(dāng)hi=hk時(shí)，得到如下的模態(tài)參數(shù)

(31)

Mhi為高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的第hi階模態(tài)質(zhì)量。

(32)

Khi為高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的第hi階模態(tài)剛度。

高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的第hi階臨界轉(zhuǎn)速則為

(33)

1.3.3 不同激勵(lì)下雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的正交性

本節(jié)將分析低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)與高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)之間的正交性。表3列出了所取的模態(tài)階數(shù)、轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速比。

表3 高壓轉(zhuǎn)子和低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下不同模態(tài)所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速比Tab.3 Critical speed and ratio of different modes under different pressure rotor excitation

低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的第Li階和高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的第hk階模態(tài)分別滿足如下的方程

(34)

(35)

采用1.3.1節(jié)與1.3.2節(jié)中的推導(dǎo)方法，最后得到如下的正交條件

(36)

式(36)就是不同激勵(lì)下雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)正交的條件。由此可以看出，兩階振型關(guān)于慣量矩陣正交的條件與此時(shí)的轉(zhuǎn)速比和兩階臨界轉(zhuǎn)速有關(guān)。特別地，當(dāng)轉(zhuǎn)速比為1時(shí)，即高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速相同時(shí)，慣量矩陣為常數(shù)，轉(zhuǎn)子所有模態(tài)關(guān)于慣量矩陣都是廣義正交的。

一般情況下，由于高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速與低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速存在轉(zhuǎn)速差，因此轉(zhuǎn)速比不會(huì)為1。不論是轉(zhuǎn)速比恒定時(shí)，即ahk=aLi=a，或變化時(shí)，式(36)的慣量矩陣中總包含臨界轉(zhuǎn)速ωhk和ωLi，因此，低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)與高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)只是在式(36)給出的條件下正交，不存在廣義正交性。

2 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)正交特性的基礎(chǔ)上，分析雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)，建立不平衡響應(yīng)的模態(tài)分解方法，得到轉(zhuǎn)子達(dá)到臨界峰值的條件，以及消除某階模態(tài)響應(yīng)的條件。分別假設(shè)只有低壓轉(zhuǎn)子存在不平衡和只有高壓轉(zhuǎn)子存在不平衡時(shí)，推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子的響應(yīng)表達(dá)式，最后得到描述雙轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式，為建立雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)不平衡方法奠定基礎(chǔ)。

2.1 低壓轉(zhuǎn)子單獨(dú)存在質(zhì)量不平衡

假設(shè)轉(zhuǎn)速比aL為常數(shù)。不考慮初始斜度，取不平衡分布為{UL,0,0,0}T(UL為低壓轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量矩的分布)，并假設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為經(jīng)典阻尼系統(tǒng)，即阻尼矩陣關(guān)于振型向量廣義正交。代入方程式(1)，可得

(37)

將轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)用振型向量展開，即

(38)

式中：qL為低壓轉(zhuǎn)子不平衡所激起的振動(dòng)；qLi為低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的第i階振型向量；αLi為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在低壓轉(zhuǎn)子不平衡作用下的響應(yīng)中，第i階振型所占的比例。

將式(38)代入式(37)，化簡后可得

(39)

(40)

由式(16)和式(17)知，低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的第i階模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度如下

(41)

(42)

引入第i階模態(tài)阻尼如下

(43)

則式(40)可化簡為

(44)

由式(44)解得

(45)

其中

(46)

利用式(45)求得的αLi，代入式(38)，則轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)可表示為

(47)

式(47)即為模態(tài)基下雙轉(zhuǎn)子對低壓轉(zhuǎn)子不平衡的響應(yīng)。形式上與單轉(zhuǎn)子的振動(dòng)表達(dá)式相似。其特點(diǎn)在于：

(1) 假設(shè)轉(zhuǎn)速比aL為常數(shù)。在實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)中，轉(zhuǎn)速比變化不大，或者轉(zhuǎn)速控制律為分段線性函數(shù)，每段轉(zhuǎn)速比近似為常數(shù)。可按照轉(zhuǎn)速控制律，分段進(jìn)行上述的分析和求解。

(2) 在低壓轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)下，對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的模態(tài)分解只需要考慮低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下的模態(tài)，而在計(jì)算模態(tài)不平衡量時(shí)，只計(jì)及模態(tài)振型中低壓轉(zhuǎn)子的振型。

(3) 當(dāng)?shù)蛪恨D(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ΩL≈ωLi，且高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ωh≈aLωLi時(shí)，雙轉(zhuǎn)子對低壓轉(zhuǎn)子不平衡的響應(yīng)中，第i階模態(tài)響應(yīng)占優(yōu)，即在第i階臨界轉(zhuǎn)速處出現(xiàn)“共振”。

2.2 高壓轉(zhuǎn)子單獨(dú)存在質(zhì)量不平衡

當(dāng)僅有高壓轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)時(shí)，采取類似的求解方法，同樣可得雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對高壓轉(zhuǎn)子不平衡的響應(yīng)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

式中,Uh為高壓轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量矩的分布。

值得注意的是，低壓轉(zhuǎn)子上的不平衡量不會(huì)激起高壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)振動(dòng)；反之依然，即高壓轉(zhuǎn)子上的不平衡量不會(huì)激起低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)振動(dòng)。換句話說，高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)與低壓轉(zhuǎn)子上的不平衡激勵(lì)是正交的；低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)的模態(tài)與高壓轉(zhuǎn)子上的不平衡激勵(lì)是正交的。

2.3 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式

一般情況下，高、低壓轉(zhuǎn)子均會(huì)存在質(zhì)量不平衡。如2.2節(jié)所述，高壓轉(zhuǎn)子的不平衡只會(huì)激起高壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下模態(tài)的振動(dòng)，而不會(huì)激起低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)下模態(tài)的振動(dòng)。同樣的規(guī)律也適用于低壓轉(zhuǎn)子不平衡的激勵(lì)作用。

在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各階模態(tài)正交的情況下，轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)可以按高、低壓轉(zhuǎn)子激勵(lì)模態(tài)展開成如下統(tǒng)一表達(dá)式

(53)

如式(36)所示的結(jié)果，雖然雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)與高壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)并不廣義正交，但對于轉(zhuǎn)子不平衡的響應(yīng)卻是正交的。可由式(53)看到，低壓轉(zhuǎn)子上分布的不平衡量只會(huì)激起雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)振動(dòng)。同樣，高壓轉(zhuǎn)子上分布的不平衡量只會(huì)激起雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)振動(dòng)。

另外，如前面所述，轉(zhuǎn)子在某一階臨界轉(zhuǎn)速處發(fā)生共振，須同時(shí)滿足如下3個(gè)條件：

(1) 轉(zhuǎn)速與該階臨界轉(zhuǎn)速相同，例如，Ωh≈ωhk；

(2) 轉(zhuǎn)速比與該階模態(tài)對應(yīng)的轉(zhuǎn)速比相同，例如，ΩL≈ωhk/ahk；

3 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)正交性驗(yàn)證

3.1 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

為了驗(yàn)證第1章中雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的正交性，選取某型發(fā)動(dòng)機(jī)的雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)為研究對象，如圖4所示。圖4中的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)包含了的中介軸承、分叉結(jié)構(gòu)、多級輪盤等發(fā)動(dòng)機(jī)常見的典型結(jié)構(gòu)。圖4中:L為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸向間距;m,Ip,Id分別為盤的質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;s,d分別為各支點(diǎn)處的支承剛度和阻尼。E為轉(zhuǎn)子材料的彈性模量，ρ為材料密度，參數(shù)數(shù)值如表1所示。采用離散有限元與狀態(tài)向量相結(jié)合的方法，計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)。

(a) 某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子試驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

(b) 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖圖4 某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure diagram of a certain type aero-engine dual-rotor system

3.2 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)計(jì)算

如1.1節(jié)所述，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為雙源激勵(lì)，當(dāng)轉(zhuǎn)速比發(fā)生變化時(shí)，轉(zhuǎn)子的模態(tài)也隨之發(fā)生變化。因此，在計(jì)算雙轉(zhuǎn)子模態(tài)時(shí)需事先確定高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速控制律。它分為定轉(zhuǎn)速比與變轉(zhuǎn)速比兩種控制律。轉(zhuǎn)速控制律也稱為高、低壓轉(zhuǎn)子共同工作線。本文計(jì)算雙轉(zhuǎn)子模態(tài)時(shí)，采用如圖5所示的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速控制律。圖中，定轉(zhuǎn)速比控制律可用式(54)表示，變轉(zhuǎn)速比控制律則由式(55)表示的分段函數(shù)來表達(dá)。在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用圖5中定轉(zhuǎn)速比控制律時(shí)，計(jì)算的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子各自激勵(lì)的前三階臨界轉(zhuǎn)速如表5所示；低壓激勵(lì)的前三階模態(tài)振型如圖6所示；高壓激勵(lì)的前三階模態(tài)振型如圖7所示。

圖5 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)速控制律Fig.5 Speed control law of dual-rotor system

(a) 一階模態(tài)振型

(b) 二階模態(tài)振型

(c) 三階模態(tài)振型圖6 定轉(zhuǎn)速比下低壓激勵(lì)前三階模態(tài)振型(轉(zhuǎn)速比=1.3)Fig.6 The three-order mode shapes of low-voltage excitation at constant speed ratio

(a) 一階模態(tài)振型

(b) 二階模態(tài)振型

(c) 三階模態(tài)振型圖7 定轉(zhuǎn)速比下高壓激勵(lì)前三階模態(tài)振型(轉(zhuǎn)速比=1.3)Fig.7 The three-order mode shapes of high-voltage excitation at constant speed ratio

表4 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)Tab.4 Parameters of dual-rotor system

表5 定轉(zhuǎn)速比下雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速Tab.5 Critical speed of dual-rotor system at constant speed ratio

Ωh=1.3ΩL

(54)

(55)

同時(shí)，為了驗(yàn)證第1章所述的關(guān)于變轉(zhuǎn)速比條件下雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)之間的關(guān)系，選取圖5中的變轉(zhuǎn)速控制律，同樣，假設(shè)高、低壓轉(zhuǎn)子反向旋轉(zhuǎn)。計(jì)算雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高壓激勵(lì)前三階臨界轉(zhuǎn)速和低壓激勵(lì)前三階臨界轉(zhuǎn)速，如表6所示，模態(tài)振型如圖8和圖9所示。

(a) 一階模態(tài)振型

(b) 二階模態(tài)振型

(c) 三階模態(tài)振型圖8 變轉(zhuǎn)速比下低壓激勵(lì)前三階模態(tài)振型Fig.8 The three-order mode shapes of low-voltage excitation at different speed ratio

(a) 一階模態(tài)振型

(b) 二階模態(tài)振型

(c) 三階模態(tài)振型圖9 變轉(zhuǎn)速比下高壓激勵(lì)前兩階模態(tài)振型Fig.9 The two-order mode shapes of high-voltage excitation at different speed ratio

表6 變轉(zhuǎn)速比下雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速Tab.6 Critical speed of dual rotor system under different speed ratio

3.3 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)正交性驗(yàn)證

在獲得雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)之后，對轉(zhuǎn)子的振型向量進(jìn)行無量綱處理，得到無量綱化的振型向量

(56)

式中:qk為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第k階模態(tài);H為剛度矩陣或者慣量矩陣。

模態(tài)的正交性可用如下的無量綱函數(shù)λ來檢驗(yàn)

(57)

當(dāng)?shù)趇階模態(tài)qi與第k階模態(tài)qk完全相似時(shí)，λ=1；當(dāng)?shù)趇階模態(tài)qi與第k階模態(tài)qk正交時(shí)，λ=0。但在建模和數(shù)值計(jì)算中存在誤差，qi與qk正交時(shí)，λ值會(huì)遠(yuǎn)小于1；qi與qk完全相似時(shí)，λ接近于1。因此，λ值應(yīng)在[0，1]，值越小，表明正交性越強(qiáng)，值越大表明正交性越差。

當(dāng)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)速控制律為定轉(zhuǎn)速比且反轉(zhuǎn)運(yùn)行時(shí)，計(jì)算的λ值如表7所示。同時(shí)，計(jì)算了高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子同轉(zhuǎn)時(shí)轉(zhuǎn)子的模態(tài)，對應(yīng)的λ值如表8所示。表中，qL1,qL2,qL3為低壓激勵(lì)的前三階振型;qh1,qh2,qh3為高壓激勵(lì)的前三階振型。

表7 定轉(zhuǎn)速比反轉(zhuǎn)時(shí)模態(tài)正交性檢驗(yàn)Tab.7 Test of mode orthogonality under the reversed rotating with a constant speed ratio

表8 定轉(zhuǎn)速比同轉(zhuǎn)時(shí)模態(tài)正交性檢驗(yàn)Tab.8 Test of mode orthogonality under the same rotating with a constant speed ratio

表7和表8中，H=K為檢驗(yàn)振型關(guān)于剛度矩陣的正交性；H=M表示檢驗(yàn)振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性。從表7和表8中的檢驗(yàn)結(jié)果可以看到，當(dāng)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速比為一恒定值時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高壓激勵(lì)的三階振型關(guān)于剛度矩陣與質(zhì)量矩陣的正交性檢驗(yàn)數(shù)值都接近于0；低壓激勵(lì)的三階振型關(guān)于剛度矩陣與質(zhì)量矩陣的正交性檢驗(yàn)數(shù)值也都接近于0。這表明，在轉(zhuǎn)速比保持為一恒定值時(shí)，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高壓激勵(lì)的模態(tài)之間是正交的；低壓激勵(lì)的模態(tài)之間也是正交的。這就驗(yàn)證了1.3.1節(jié)和1.3.2節(jié)中的正交性結(jié)論。對比表7和表8的模態(tài)正交性檢驗(yàn)數(shù)值可見，轉(zhuǎn)向?qū)ΧㄞD(zhuǎn)速比下的模態(tài)正交性無影響。

為了驗(yàn)證雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同激勵(lì)下模態(tài)的正交性，計(jì)算不同激勵(lì)下對轉(zhuǎn)時(shí)模態(tài)的正交性檢驗(yàn)值λ，如表9所示。同轉(zhuǎn)時(shí)，正交性檢驗(yàn)結(jié)果如表10所示。

表9 不同激勵(lì)下反轉(zhuǎn)時(shí)模態(tài)正交性檢驗(yàn)Tab.9 Test of mode orthogonality under the reversed rotating with different excitations

表10 不同激勵(lì)下同轉(zhuǎn)時(shí)模態(tài)正交性檢驗(yàn)Tab.10 Test of mode orthogonality under the same rotating with different excitations

由表9和表10可見，即使雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速比保持為恒定值，不同激勵(lì)下的模態(tài)之間關(guān)于剛度矩陣或者質(zhì)量矩陣的正交性不成立，即高壓激勵(lì)模態(tài)與低壓激勵(lì)模態(tài)不存在正交性。這第1.3.3節(jié)中的結(jié)論是一致的。

為了檢驗(yàn)變轉(zhuǎn)速比控制律下雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)正交性，選取圖5中的變轉(zhuǎn)速比控制律，計(jì)算轉(zhuǎn)子模態(tài)的正交性檢驗(yàn)值λ，結(jié)果如表11和表12所示。

表11 變轉(zhuǎn)速比反轉(zhuǎn)時(shí)模態(tài)正交性檢驗(yàn)Tab.11 Test of mode orthogonality under the reversed rotating with a constant speed ratio

表12 變轉(zhuǎn)速比同轉(zhuǎn)時(shí)模態(tài)正交性檢驗(yàn)Tab.12 Test of mode orthogonality under the same rotating with a constant speed ratio

對比表11與表7、表12與表8可看出，當(dāng)高、低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速控制律為變轉(zhuǎn)速比共同工作線時(shí)，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)關(guān)于剛度矩陣與質(zhì)量矩陣的正交性檢驗(yàn)值隨之變大，并且關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性檢驗(yàn)值增大更明顯。這是由于轉(zhuǎn)速控制律的變化主要影響雙轉(zhuǎn)子的慣量耦合。這表明，轉(zhuǎn)速控制律對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)正交性是有影響的，與1.3.1節(jié)中的結(jié)論一致。

4 結(jié) 論

本文對航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的正交性進(jìn)行了理論分析和證明，利用模態(tài)的正交性推導(dǎo)出雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的一般性表達(dá)式，并以某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例，對其正交性進(jìn)行了驗(yàn)證。本文結(jié)論如下：

(1) 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)慣量矩陣和剛度矩陣的復(fù)共軛對稱性是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)正交的必要條件。慣量矩陣中包括陀螺效應(yīng)矩陣，而剛度矩陣包括中介支承的影響。

(2) 在高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速比恒定的情況下，低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的模態(tài)具有廣義正交性，高壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)也是廣義正交的。但不論高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速比是否恒定，低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)與高壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)相互之間都不具有正交性。

(3) 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對低壓轉(zhuǎn)子或高壓轉(zhuǎn)子上不平衡的響應(yīng)均可利用模態(tài)正交性進(jìn)行模態(tài)分解。對低壓轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的分解，只需要低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)中低壓轉(zhuǎn)子的振型向量，對高壓轉(zhuǎn)子亦然。低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)與高壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)對不平衡的響應(yīng)具有正交性，即低壓轉(zhuǎn)子上的不平衡量只會(huì)激起低壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)振動(dòng)；高壓轉(zhuǎn)子上的不平衡量只會(huì)激起高壓轉(zhuǎn)子主激勵(lì)下的模態(tài)振動(dòng)。

(4) 轉(zhuǎn)子在某一階臨界轉(zhuǎn)速處發(fā)生“共振”的3個(gè)必要條件是：轉(zhuǎn)速與該階臨界轉(zhuǎn)速相同；轉(zhuǎn)速比與該階模態(tài)對應(yīng)的轉(zhuǎn)速比相同；轉(zhuǎn)子不平衡量分布與該階模態(tài)不正交。

(5) 發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子的相對轉(zhuǎn)向?qū)ζ淠B(tài)正交性無影響。