幾何命題教學中學生審辯式思維的培養策略

?南京師范大學附屬中學樹人學校 劉春桃

《中國學生發展核心素養》指出，思維能力是貫穿于六大核心素養之中的共同能力.“博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之.”審辯式思維，又稱批判式思維，始于質疑，歸于反思，包括質疑、批判、論證、反思四個要素，是一個循環往復的過程.審辯式思維是學生在學習過程中最基本的探索工具，是培養學生高階思維的關鍵.培養學生審辯式思維是改善學生數學學習的一個重要方面[1].

數學幾何命題涵蓋作圖命題、論證命題、應用命題，其中蘊含的思維含量豐富，既能為學生提供廣闊的思考空間，也有利于激活學生數學思維，激發學生解題欲望.因此，以思維含量豐富的幾何命題教學為載體[2]，促進學生主動、持續和細致的理性思考，有利于激發學生內在數學潛能，同時也是培養學生審辯式思維的有效途徑.如何將審辯式思維落實到教學活動的各環節？筆者結合蘇科版七年級下冊“多邊形的內角和與外角和——三角形內角和”課例進行分析.

1 基于審辯式思維培養的教學流程

義務教育新課標的頒布，要求學生改變以往死記硬背的學習方式，要鼓勵學生獨立思考、勇于質疑、不斷反省、合理判斷、敢于表達.鑒于此，培養學生審辯式思維，是當前數學教學中亟待解決的重要問題[3].

筆者認為基于審辯式思維培養的教學流程應該包括以下幾個環節：(1)提出問題，不懈質疑；(2)交流共享，包容異見；(3)實踐運用，力行擔責.旨在將審辯式思維中所包含的質疑、批判、論證、反思等要素充分融入到課堂教學的各個環節中，讓學生在解決幾何問題的過程中，實現對知識的內化、吸收與鞏固，培養學生質疑意識及能力，發展學生的審辯式思維，提高學生的思維品質.

2 基于審辯式思維培養的教學案例

2.1 提出問題，不懈質疑

亞里士多德說過：“思維從疑問和驚奇開始.”宋代學者陸九淵曾說：“學貴有疑，小疑則小進，大疑則大進.”課堂教學過程中的不懈質疑，是學生積極思維、主動參與學習活動的重要體現，而鼓勵學生大膽質疑，正是開啟學生審辯思維之門的有效方法.那么，何來質疑？這就需要教師在充分挖掘教材內容基礎上，通過巧妙設問，引發學生思考.

在幾何命題教學中，可以產生質疑的問題有很多，比如一些看似理所當然的問題、或沒有標準答案的問題、或一題多解的問題等，而這些問題都可以通過嚴格的幾何證明來得到驗證.在蘇科版教材“7.5多邊形的內角和與外角和”的開篇，給出了這樣一段話：“小學里，我們曾經把一個三角形的3個角拼在一起，發現了三角形內角和是180°的結論.”緊接著通過“議一議”的探索活動，引導學生去驗證這一結論.

三角形的內角和定理的證明是學習了三線八角、平行線的性質的后續內容，需要利用“添加輔助線”進行知識的轉化，對于學生來說，“添加輔助線”是一個難點，而且學生在小學階段主要是通過拼接的方式對該結論進行驗證，即使運用過多次，卻未進行嚴格的幾何證明，所以，對于學生而言，他們認為這是一個理所當然的結論.為此，基于學情和教材內容，筆者設計了這一環節的問題.

例1請證明“三角形的內角和等于180°”是一個真命題.

師：同學們，我們在小學階段已經學習過三角形的基本性質，你們還記得三角形的內角有什么性質嗎？

生：三角形的內角和等于180°.

師：不錯，這個性質我們在很多題目中用過，但從來沒有嚴格證明過.你們能用自己所學過的知識進行證明嗎？

在問題的驅動下，學生自主思考，大部分學生都在嘗試用量角器進行測量，但也有的學生提出了質疑，為什么我測量了三角形的三個角后，然后將三個角相加和卻不是180°呢？這是由于測量總會存在誤差，而且每個人所畫的三角形不盡相同，因此，采用量角器進行測量的方法顯然無法從嚴格意義上證明例1中命題的正確性.

師：三角形三個內角的和為180°，根據這句話你能想到什么嗎？我們之前學習過什么角是180°.

生：平角.

師：對的，那能否將三角形的三個內角與平角聯系起來呢？

根據學生的小學學習經驗，他們很容易想到用剪一剪、拼一拼的方法(圖1).

圖1

這種是小學探究三角形內角和的方法，針對這一方法，有的學生繼續提出了疑問，如何證明三個角拼湊在一起剛好是180°呢？由此可見，這種方法依然不太準確，也不嚴格.于是，針對該生疑問，筆者引導他認真觀察圖形，想一想在剪拼的過程中，各個角度之間有什么變化.學生很快聯想到平行線的性質，發現原來的∠2和拼接后的∠2是同位角，原來的∠1和拼接后的∠1是內錯角.

師：如何用平行線來證明“三角形的內角和等于180°”是一個真命題呢？

給予學生充足的時間進行思考與討論，讓他們通過查閱教材、互動交流來證明這個命題，在此過程中，教師巡視并給予適當提醒，最后由師生共同探討命題證明的規范步驟.

由此，學生在問題的引領下，通過不斷質疑、不斷提問，積極思考，這一過程也是學生審辯式思維形成的過程.所以，巧設問題，鼓勵學生大膽質疑，是培養學生審辯式思維需要跨出的第一步.

2.2 交流共享，包容異見

“包容異見”是審辯式思維中的核心要素，是指以多維度的視角審視問題，在多維的空間中包容不同的意見，而不是不講原則地折中或“和稀泥”.課堂上的審辯式思維有很多，比如同學之間的討論，老師與學生之間的討論，學生對知識的質疑，等等.每個學生的智力水平和關注點不同，他們的思維也會存在較大差異，而交流共享活動的開展，則為學生思維的相互碰撞提供了很好的契機和平臺.在這個過程中，學生不僅可以暢所欲言，開闊思維，吸納更多的知識和觀點，而且有助于學生對自身進行反省，對他人進行質疑，這也是培養學生審辯式思維的重要方式[4].

在上一環節中，我們對于例1的證明采用的是添加輔助線的方法，過三角形頂點作邊的平行線，然后利用平行線和平角的性質證明了這道命題.然而，事實上，對于幾何命題的證明，還可以從多個角度進行思考和證明，為了更好地拓展學生的思維，筆者繼續引導學生嘗試利用其他方法進行證明，并通過互動交流分享自己的意見和想法.

在分享過程中，有的學生還是利用添加輔助線的方法，但采用多種不同的方法，使得命題得以證明(圖2).

圖2

還有學生嘗試利用《幾何畫板》來進行證明.他們根據旋轉、平移不改變圖形的幾何性質，運用轉化、拆分、組合等思想，結合《幾何畫板》的位移動畫和旋轉動畫功能，將三角形的三個內角轉化為一個平角，從而說明三角形的內角和為180°，這一動態演示過程，也是命題的證明過程，如圖3.

圖3

在此過程中，為了培養學生的審辯式思維，教師應幫助學生形成包容、開放的心態，通過認真傾聽，吸納和包容他人意見，產生新的思路.

2.3 實踐運用，力行擔責

知識只有真正運用到實踐中去，才有可能真正成為知識.審辯式思維的要義是“力行擔責”，具有審辯式思維的人，絕不是簡單地紙上談兵，而是能夠通過“行動”或“實踐”來做出正確的決策，并且承擔行動可能產生的后果.在數學教學過程中，課后實踐活動的開展，則為學生提供了“力行擔責”的機會，讓學生在實踐中養成受益一生的學習和思考的習慣，并以此來改變他們的學習乃至生活.

學生通過前面兩個環節的學習，已經對例1這道幾何命題的證明有了深刻的認識，并且掌握了利用輔助線解決幾何證明問題的方法.為了進一步強化學生對三角形內角和的認知，同時，也為新知做好鋪墊.筆者設計了課外小組討論活動.

例2請證明“四邊形的內角和等于360°”是一個真命題.

在實踐活動中，學生從探索三角形內角和中受到啟發，有的撕下四邊形的四個角，將他們拼在一起研究；也有的小組通過添加輔助線的方法，將四邊形分成兩個三角形的方法；還有的學生繼續沿用添加平行線的方法進行證明.對于幾何命題的證明，其思路有很多，這就需要學生在“做”的過程中，正確推理，科學判斷，這樣既能讓學生感受到方法的多樣化，更為重要的是促進了學生知識運用能力和審辯式思維的發展.

3 結論

人們思考問題的視角不同，提出問題后尋找解決方案的過程自然也不同.審辨思維培養的目標是通過對這些不同意見的分析、評估、判斷、綜合，生成合理的解決方案或做出準確的決策.審辯式教學優化了教師的教學方式、學生的學習方式，為學生獨立思考搭建了合適的思維支架，讓學生在審辯中提升學習力，讓審辯式思維在學生的頭腦中種下種子.堅持審辯式思維教學，一定能開出智慧之花！