初中數(shù)學(xué)解題中放縮法的運(yùn)用分析

?江蘇省南京市第八中學(xué) 李鳴午

在最近的初中數(shù)學(xué)競賽題乃至教材(比如蘇科版等)中都陸陸續(xù)續(xù)出現(xiàn)了借助于放縮法理論工具進(jìn)行解答的試題.可見，放縮法在初中數(shù)學(xué)解題中的重要性愈來愈明顯.筆者結(jié)合具體的例子嘗試著對放縮法在初中數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用展開分析，歸納提煉出解題的方法及思考路徑.通常而言，把代數(shù)式子的某個(gè)具體項(xiàng)或是某一項(xiàng)所涉及到的某個(gè)具體因式加以放大或是縮小處理即不等取代，從而使它向結(jié)論的方向轉(zhuǎn)化的一種數(shù)學(xué)方法，叫“放縮法”.比如，在證明A

1 不等式問題中放縮法的運(yùn)用

放縮法在初中數(shù)學(xué)不等式習(xí)題中是常用的一種方法.借助于放縮法的特性，可以巧妙地化解有關(guān)不等式的證明問題[1].

綜上所述，原不等式成立.

2 最值問題中放縮法的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)問題中，有一類習(xí)題是關(guān)于最值的問題.一般情況下，當(dāng)難以順利地確定出最大值或者最小值時(shí)，合理運(yùn)用放縮法，便可以有效化解這一類最值問題.

例2已知二次函數(shù)y=x2+ax+b的圖象和x軸2個(gè)交點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)依次是m，n，同時(shí)|m|+ |n|≤1.假定與上述的條件相吻合的b對應(yīng)的最大、最小值依次是P，Q，試求|P|+ |Q|的數(shù)值[2].

解：由m，n為一元二次方程x2+ax+b=0的2個(gè)實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理，可知m+n=-a，mn=b.

又|m+n|≤|m|+|n|≤1，|m-n|≤|m|+|n|≤1.

由于原方程式存在實(shí)數(shù)根，因此Δ≥0，也就是a2-4b≥0.

3 完全平方數(shù)問題中放縮法的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)習(xí)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)完全平方數(shù)的問題.由于完全平方數(shù)本身具有性質(zhì)上的獨(dú)特性，如果能夠有意識(shí)地把握住這一點(diǎn)，同時(shí)合理運(yùn)用好放縮法這一工具，能夠使這類問題迎刃而解[3].

例3求使m2+m+7屬于完全平方數(shù)的全部整數(shù)m的值.

解析：(1)如果m≥7，那么m+7≤2m.

因此，m2+m+7處于2個(gè)連續(xù)的整數(shù)的平方之間，而非完全平方數(shù).

(2)如果0

(3)如果m=0，那么m2+m+7的值為7，非完全平方數(shù).

(4)如果m<0，那么使n=-m，由于n為正整數(shù)，因此m2+m+7=n2-n+7.就二次三項(xiàng)式n2-n+7而言，如果n>7，那么-n<-7，且有-n+7<0.也就是n2-n+7(n-1)2.因此(n-1)2

如果n≤7，將n=1，2，3，4，5，6，7依次代入到n2-n+7中，通過運(yùn)算可以發(fā)現(xiàn)，僅僅在n=2或7的時(shí)候，n2-n+7屬于完全平方數(shù).因?yàn)閚=-m，所以m=-2或-7.

綜上所述，與條件相吻合的整數(shù)m的值分別為1，6，-2，-7.

上述問題的化解，不僅僅使同學(xué)們掌握了借助于放縮法判斷單個(gè)整數(shù)是否屬于完全平方數(shù)的手段，同時(shí)訓(xùn)練了數(shù)學(xué)思想方法中重要的分類討論法.對上述問題還能夠進(jìn)行以下的變式練習(xí)：當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，求證4n2+4n+4不可能屬于完全平方數(shù).

4 不定方程問題中放縮法的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)習(xí)題中，不定方程問題相對比較復(fù)雜，如果按部就班地求解，步驟顯然會(huì)變得非常繁瑣.此時(shí)，恰當(dāng)?shù)厥褂梅趴s法可以達(dá)到事半功倍的效果[4].

綜上所述，方程的正整數(shù)解是x=1.

事實(shí)上，上述有關(guān)不定方程的相關(guān)問題能夠進(jìn)一步推廣到以下例子.

由x>0,可得

由于x為正整數(shù)，因此x=2,3,4.

通過檢驗(yàn)x=3符合題意.

故a=3，b=4，c=5，d=6.

綜上所述，基于以上4個(gè)不同的初中數(shù)學(xué)題型的探討及其解答，不難發(fā)現(xiàn)放縮法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中具有非常重要的作用.按照中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力”的相關(guān)要求，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的有效運(yùn)用，并達(dá)到創(chuàng)新性使用的目的.因此，通過放縮法的運(yùn)用，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的“應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)”，并落實(shí)到初中數(shù)學(xué)解題的教學(xué)中去，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的良好習(xí)慣．