探究方根本質 尋求問題解答

?常州市武進區湖塘實驗中學 蔣 飛

1 用定義求方根

分析：由平方根的定義知道正數的平方根是一對相反數，它們的平方等于被開方數，其中正的平方根是它的算術平方根；負數沒有平方根，也不存在算術平方根；任何一個數都有立方根，其符號與原數的符號相同．

點評：正確理解平方根、立方根、算術平方根的定義是解題的基礎，依據乘方與開方互為逆運算是解題的重要策略．

2 用方根定義解方程

例2解下列方程：

分析：把(5x-3)2，(x-1)3均看成an的形式，再根據乘方與開方互為逆運算求解．

(2)原方程可化為(x-1)3=343.因為73=343，所以x-1=7，即x=8 ．

點評：解此類方程的實質還是求一個數的方根的運算，其解題過程是由繁到簡的轉化過程，即逐步化為xn=a的形式．

3 用方根性質求值

例3已知3x+2和2x-12是m的平方根，求m的值．

分析：一個正數有兩個平方根，且它們互為相反數.互為相反數的兩個數的和為0 ．

解：根據題意，分兩種情況.

(1)因為3x+2和2x-12都是m的平方根，所以

(3x+2)與(2x-12)互為相反數.

所以(3x+2)+ (2x-12)=0.

解得x=2，并代入m=(3x+2)2中，得m=64；

(2)當3x+2=2x-12時，x=-14，此時

m=(3x+2)2=(-40)2=1 600 ．

綜上可得m的值為64或1 600 ．

點評：習慣上我們意識到一個正數有兩個不同的平方根，但此處用代數式表示的兩個數并非一定不相等，此處容易忽略3x+2與2x-12相等的情形．

4 用方根估算實數的大小

點評：估計一個數的算術平方根的大小時，應確定與這個數相鄰的兩個整數； 比較兩個實數的大小時，先要統一標準，再比較大小．

5 用被開方數與結果的變化規律求值

分析：算術平方根與被開方數的變化規律，即被開方數的小數點每向右(或左)移動兩位，則它的算術平方根的小數點相應地向右(或左)移動一位 ．

又(±44.86)2=2 012, 所以x=±44.86.

解：記

點評：利用算術平方根的雙重非負性，往往是挖掘題目隱含條件和進行求解的常用方法．這類問題有一定的綜合性和難度，特別對于初學“實數”的學生來說要細心體會，從本質上把握．

7 練習設計

(2)已知一個正數x的平方根分別為a+1和a-3，求x；

(3)解方程8(x-1)3=27;

(2)a=1，x=4；

例題教學要重視問題的變式，設計好問題之間的關聯，如本文中的幾個問題，在牢固掌握方根的概念及本質的前提下，由易到難，通過有層次有梯度的問題串聯，進行概念的對比鑒別與運用，培養學生的符號意識、抽象能力、運算能力、數據觀念以及應用意識等核心素養．Z