初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的案例研究

?廣州市玉巖中學(xué) 李小兵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確要求，教師要耐心地引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因,并鼓勵(lì)他們自己去改正,從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.因此，關(guān)注初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題，盡可能幫助學(xué)生避免或減少解題錯(cuò)誤并予以糾正，能夠有效地提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量.

1 知識(shí)性錯(cuò)誤

知識(shí)性錯(cuò)誤是指對概念及定理的認(rèn)識(shí)模糊不清或錯(cuò)誤運(yùn)用公式與法則導(dǎo)致的錯(cuò)誤；基本技能不熟練，運(yùn)算基本功不扎實(shí)，遺漏或隨意添加條件導(dǎo)致的錯(cuò)誤；等等.

1.1 概念不清

概念是學(xué)生思維的基本形式，也是解題的重要依據(jù).學(xué)生在解題過程中由于對概念、規(guī)律的內(nèi)容認(rèn)識(shí)不清或不能正確理解它們的確切含義而產(chǎn)生的一些錯(cuò)誤就是概念性錯(cuò)誤.

例1下列方程哪些是一元二次方程？

(1)ax2+bx+c=0；

(2)x2=0；

(4)2x2-x-1=0；

(5)3x(x-1)=3x2+1；

(6)(1-m)x2+mx-2=0.

錯(cuò)解：(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6).

分析：例1中對一元二次方程概念的理解，特別容易忽視方程ax2+bx+c=0中系數(shù)a,b,c的限制條件.授新課時(shí)應(yīng)講明——(1)a≠0，b，c為常數(shù)；(2)三種特殊形式，即ax2=0(a≠0)，ax2+bx=0(a≠0，b為常數(shù))，ax2+c=0(a≠0，c為常數(shù))；(3)方程要先化簡為一般形式，牢牢抓住二次項(xiàng)系數(shù)a≠0.

1.2 法則不明

初中代數(shù)法則多、公式多且易混、易錯(cuò).學(xué)生運(yùn)算出現(xiàn)問題往往是公式記憶錯(cuò)誤，運(yùn)算法則混淆等.

例2計(jì)算：(1)(-4)2=，-22=；(2)(3x-2)2=.

錯(cuò)解：(1)-8 ，4；(2)9x2-4

分析：例2(1)錯(cuò)解的原因是將乘方的運(yùn)算法則與數(shù)的運(yùn)算法則相混淆了.例2(2)中把乘法公式中完全平方公式和平方差公式記混淆了.

2 邏輯性錯(cuò)誤

邏輯性錯(cuò)誤主要表現(xiàn)為推理欠嚴(yán)密，條理不清，自相矛盾.有些學(xué)生思維發(fā)展水平低，推理能力弱，數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、方法儲(chǔ)備不足，推理思路不明，從而得出不準(zhǔn)確的結(jié)論[1].

2.1 變形不恒等

把代數(shù)式當(dāng)?shù)仁絹碜冃?、化?

錯(cuò)解：原式=2(x-2)-2(x+2)=2x-4-2x-4=-8.

分析：對于例3，學(xué)生在進(jìn)行分式計(jì)算時(shí)，易將代數(shù)式的變形與等式的變形混在一起，錯(cuò)誤地將分式轉(zhuǎn)化為整式，從而違背恒等變形這個(gè)原則.

2.2 混淆“或”與“且”

“或”表示選擇的關(guān)系，二者必居其一.“且”表示同時(shí)滿足.在使用“且”和“或”時(shí)不能混為一談.

x2+4x+3≠0.

整理，得(x+3)(x+1)≠0.

分析：例4中，當(dāng)x=-3或x=-1時(shí)，分母都等于零.要使分式中的分母不等于0，則x既不能等于-3也不能等于-1，兩者是一個(gè)并列的關(guān)系，所以應(yīng)該用“且”.

2.3 偷換命題

學(xué)生在運(yùn)用三角形中位線定理、等腰三角形三線合一性質(zhì)、垂徑定理解題時(shí)，往往將性質(zhì)或判定的題設(shè)和結(jié)論混淆，導(dǎo)致論題改變，發(fā)生錯(cuò)誤.

圖1

例5如圖1，⊙O是Rt△ABC中以直角邊AB為直徑的圓，⊙O與斜邊AC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交BC于點(diǎn)E.求證：OE是Rt△ABC的中位線.

錯(cuò)解：連結(jié)OD.

∵∠ABC=90°,AB為直徑,

∴EB是⊙O的切線.

又∵DE是⊙O的切線,

∴∠BOE=∠DOE.

∴∠BOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE.

又∠BOD=2∠A,

∴∠BOE=∠A.

∴OE∥AD.

∵O是AB的中點(diǎn),

∴OE是△ABC的中位線.

分析：三角形中位線定理是由E是BC的中點(diǎn)和O是AB的中點(diǎn)得出OE∥AD.例5中由OE∥AD和O是AB的中點(diǎn)得出OE是△ABC的中位線，顯然是沒有正確認(rèn)識(shí)三角形中位線定理，但可進(jìn)一步由平行線分線段成比例定理得出E是BC的中點(diǎn).

3 策略性錯(cuò)誤

策略性錯(cuò)誤是指考慮不周全導(dǎo)致解題思路受阻或解題方向錯(cuò)誤，或選擇非最優(yōu)解法明顯增加了解題的難度與出錯(cuò)機(jī)會(huì)，使得問題最終得不到解決.

3.1 忽視題目中的隱含條件

解題時(shí)有些條件隱含于已知條件或圖形中，但由于學(xué)生馬虎大意，未深刻把握數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求，忽視題目中的隱含條件以致得出錯(cuò)誤結(jié)論.

例6已知關(guān)于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+x2=x1x2-1，求k的值．

錯(cuò)解：由題意可得x1+x2=2(k-1)，x1x2=k2.

所以-2(k-1)=k2-1.

解得k1=1，k2=-3.

分析：對于含字母系數(shù)的一元二次方程或二次函數(shù)的問題，學(xué)生往往忽略考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為零、根的判別式Δ≥0等隱含條件，因考慮不周全出錯(cuò).例6中求k的值要進(jìn)一步檢驗(yàn)根的判別式.

3.2 忽視“分類思想”造成漏解或錯(cuò)解

解題時(shí)，如遇到等腰三角形、相似三角形或動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線問題，常常要分類討論所有可能情況，否則答案不完整.

例7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)A(1，1).若△AOP為等腰三角形，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

錯(cuò)解：滿足條件的等腰三角形AOP的點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，0)和(2，0).

分析：應(yīng)分三種情況討論.

(1)當(dāng)AO=AP時(shí)，以A為圓心，AO為半徑作圓與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，則P(2，0)；

(2)當(dāng)OP=AP時(shí)，作OA的垂直平分線，交x軸的于點(diǎn)P，則P(1，0)；

3.3 解題方法繁瑣造成錯(cuò)誤

同一道題，不同的解題思路或輔助線作法對解題有不同的影響，有的會(huì)直接增加題目的計(jì)算量和難度，有的會(huì)導(dǎo)致思維障礙解不出來.

例8如圖2，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F．求證：AE=EF.

圖2

圖3

證法1：如圖3，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)EM．可證△AEM≌△EFC(ASA)，從而得AE=EF.

圖4

分析：上述兩種方法雖然都通過作輔助線利用全等證出線段相等，但顯然證法1更簡單，證法2在尋找全等的條件時(shí)難度更大，實(shí)際操作中學(xué)生會(huì)因缺全等條件而半途而廢.

4 心理性錯(cuò)誤

心理性錯(cuò)誤主要表現(xiàn)為缺乏堅(jiān)強(qiáng)的意志和信心，導(dǎo)致解題出錯(cuò)的急躁心理現(xiàn)象.良好的心理素質(zhì)，可以克服心理障礙而減少錯(cuò)誤.

4.1 解題思維定式，思維慣性

有些數(shù)學(xué)題目在形式上相似，在解法上也雷同.學(xué)生解題時(shí)容易產(chǎn)生慣性思維，“先入為主”匆忙下結(jié)論，因負(fù)遷移而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

例9解一元二次方程x(x+2)=3x.

錯(cuò)解：將方程兩邊除以x，得(x+2)=3.

所以，此方程的解是x=1.

分析：例9中方程兩邊同時(shí)除以x的前提條件是x≠0，而x=0恰好是此方程的一個(gè)解.憑經(jīng)驗(yàn)約分造成漏解.

4.2 思維抑制或情緒焦慮

心理學(xué)的研究表明，考試中學(xué)生臨場過分焦慮，心理壓力過大以致于出現(xiàn)暫時(shí)性思維障礙，稱為思維抑制.考試中，遇到運(yùn)算數(shù)字較大的計(jì)算或不熟悉的題型一時(shí)找不到思路，就會(huì)產(chǎn)生焦慮，有時(shí)產(chǎn)生暫時(shí)的遺忘，干擾思維的正常運(yùn)行，導(dǎo)致會(huì)而不對，對而不全.

例10已知二次函數(shù)y=mx2+(1-2m)x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B.

(1)證明此二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析：例10證明過定點(diǎn)、求最值問題因不常見往往使學(xué)生望而卻步，心理上有思維障礙.

4.3 審題馬虎、理解膚淺

粗心大意源于不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣.審題是解題的關(guān)鍵，許多學(xué)生在審題時(shí)粗心大意，經(jīng)常看錯(cuò)題或看漏條件，沒能正確地理解題意導(dǎo)致錯(cuò)誤的產(chǎn)生.

錯(cuò)解：選A.

德國哲學(xué)家黑格爾曾說過：“錯(cuò)誤本身乃是達(dá)到真理的一個(gè)必然的環(huán)節(jié).”錯(cuò)題，既是學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)資料的寶庫，又是教師發(fā)現(xiàn)教學(xué)問題、改進(jìn)教法、及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略的重要手段[2].因此，利用好錯(cuò)題資源，分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，就一定能提高數(shù)學(xué)解題水平.