不變量

苗煒專欄作家Columnist讀書，寫字，旅游，鍛煉

有一道經典題目：三個女人去一家汽車旅館，入住一個標價27美元的房間，她們每人給行李工10美元，讓他去交錢。行李工到前臺，發現房價實際上是25美元，他給前臺25美元，回到房間交給客人每人1美元，他隱瞞了實際的房價，侵吞了2美元。每個客人付出9美元，一共27美元，再加行李工侵吞的2美元，一共是29美元。那么剩下的一美元去哪里？從數學運算上來說，這不超過小學一年級的水平，但這里頭的陷阱，小孩子還無法識破。

我是在《怎樣解題：數學競賽攻關寶典》中看到這個題目的，作者指出，這道題故意將讀者引到思考行李工所得到的錢和客人所付出的錢應該等于30美元這個思路上。作者說：“我們應該思維引申，如果房費是0美元呢？行李工可以把27美元獨吞，客人還是付出了27美元，兩者相加是54美元了。”

我們看看作者怎么講解30美元的那道題。這里面涉及一個概念叫“恒定不變量”，不變量是問題中不隨其他量變化而改變的量，通常是一個數值。出題目的人誘導你誤以為30美元是恒定不變的，其實，三個人入住一家汽車旅館，設g，p，d 分別代表顧客所有花費的總量，收銀員收取的費用以及行李工拿走的錢，g減去p再減去d等于0，這是一個不變量。

《怎樣解題》一書的作者叫保羅·蔡茨，曾經參加過1974年的國際奧林匹克數學競賽，現在是舊金山大學的教授。他說，“練習題”跟“問題”不是一回事，善于“解題”的人總顯得鶴立雞群，好像他們的大腦和別人不一樣，“他們更堅韌，對問題的敏感程度也比常人高，思維也更活躍。具備這些優秀品質的人并不很多，但從現在開始擁有這些品質并不是件難事”。

面對問題的第一步是“心理戰略”，要做到永不放棄，嘗試不同的路徑。

蔡茨說，面對問題的第一步是“心理戰略”，要做到永不放棄，嘗試不同的路徑，也要大膽地把別人的思想方法拿過來據為己有。很多初學者缺乏堅韌的意志，不夠自信，不夠專心，面對問題時過早地放棄，這是學不好數學的。初學者要進步，在學習各種解題技巧前，首先要做到堅韌不拔。

蔡茨引用了喬治·波利亞的一段話，喬治·波利亞說——老鼠看起來像是知道要發生什么，瘋狂地在籠子里蹦著，使勁地朝柵欄上撞著，一會兒朝這邊，一會兒朝那邊，在最后一剎那它終于成功地擠了出去。捕鼠器某一邊的柵欄中間肯定有一個縫隙比較寬。我默默地為老鼠慶幸，它解決了一個很大問題。這也就是解題的途徑。我們必須一試再試，直到最后我們看出各種縫隙之間的細微差別為止。我們必須不斷更換我們的試驗，使得我們能探測到問題的各個方面。鼠類和人所使用的基本方法是一樣的，一再地去試，多次變化方法，不致錯過那少許的可能性。人不需要用肉體去撞障礙物，他用智力去撞，人能夠比老鼠更多地變化其方法且能從挫折中學到更多的東西。

喬治·貝利亞這段話出自《數學的發現》。我從我的書架上找到《數學的發現》第一卷，內蒙古人民出版社1979年11月第一版，1980年9月第一次印刷。定價0.94元，印數42300冊。第二卷1982年8月第一次印刷，定價1.10元，印數6100冊。這兩本書，都是我上初中時買的，里面夾著一張紙，上面是初中數學小組指導老師的筆跡，是在解一個方程。這兩本書跟著我四十年，不斷搬家，雖然當年我就沒有讀下去，但一直留著，證明自己也曾喜歡過數學。