回焊爐的爐溫曲線方程及其數值解法

楊佳運，朱 昊，郭 瑤，譚代倫

(1.西華師范大學數學與信息學院，四川南充 637009；2.西華師范大學計算方法及應用軟件研究所,四川南充 637009)

0 引言

隨著電子技術的發展，回焊爐作為集成電路表面貼裝工藝[1]生產的一個主要設備,在電子產品的生產過程中有著很重要的作用.回焊爐的爐溫曲線實時記錄著焊接過程溫度的變化，根據錫膏和元件的最佳可焊性及其平衡指標，可檢測印刷電路板(Printed Circuit Boards,PCB)上的溫度分布情況.焊接過程[2]則是把裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，利用加熱，將電子元件自動焊接到電路板上.在此過程中，讓回焊爐各部分保持工藝要求的溫度，對爐溫曲線嚴格控制，可大大減少焊接缺陷[3]，提高表面組裝質量[4].

對此，不少學者對如何控制和優化回焊爐的爐溫做了大量研究，馮志剛等研究了回流焊工藝參數對爐溫曲線的影響[5];蔡海濤、高金剛等對回流焊接溫度控制曲線進行了研究[6-7];雷翔霄提出了徑向基網絡(RBF)與PID算法相結合的溫度控制方法[8];洪健等基于有限元理論對回流焊進行了工藝仿真研究[9];宋巍對回流焊接工藝參數及無鉛材料的溫度曲線展開了研究[10];曾馳鶴設計了一種SMT回流爐溫度控制系統,可實現對溫度的實時監控和參數的設定[11];劉曉輝應用ANSYS.ICEPAK軟件建立單溫區爐腔模型，利用不同時間加載確定的氣流溫度及速率載荷進行模擬焊接過程[12-13].本文以2020年全國大學生數學建模A題[14]為背景，對回焊爐的結構與工作過程進入深入分析，通過機理建模法研究回焊爐傳熱機理，建立控制爐溫變化的微分方程，并根據已知實驗數據對傳熱參數進行擬合，進而用改進歐拉法[15]求解出PCB板上的中心溫度，得到各溫度環境下爐溫曲線的變化情況，繼而控制和提高電子元件與PCB板的焊接質量和效率.

1 回焊爐的結構與工作過程

用于PCB板焊接的回焊爐一般由加熱場和傳送帶組成.PCB板被安裝在傳送帶上，以一定速度被傳送進入加熱場.加熱場從總體上被劃分為四個區域：爐前區、加熱區、冷卻區和爐后區，爐前區是加熱前的過渡階段，爐后區是加熱后的等待轉移階段，而加熱區和冷卻區是焊接最主要的工作場所，如圖1所示.

圖1 回焊爐的結構Fig.1 Structure of reflow oven

為便于精細控制爐內溫度，加熱區通常由寬度相等的一定溫度的小溫區組成，每個小溫區有獨立的外加恒溫熱源，用于向小溫區提供熱量，小溫區之間留有適當的間隙.為保證效果，相鄰的若干個小溫區分別構成預熱區、恒溫區、回流區，以便對傳送帶上勻速移動的電路板上下兩側進行加熱，同時通過回流風機使用熱風對電路板上的焊點進行回流傳熱，在不同的區域完成加熱熔化和冷卻凝固焊接膏，以此達到焊接元器件[16-17]的目的.

回焊爐開啟后，爐內空氣溫度會在短時間內達到穩定，此后可進行焊接工作.爐前區域、爐后區域以及小溫區之間的間隙不做特殊的溫度控制，其溫度與相鄰溫區的溫度有關，各溫區邊界附近的溫度也可能受到相鄰溫區溫度的影響.在設定各溫區的溫度和傳送帶的過爐速度后，可以通過溫度傳感器測試某些位置上焊接區域中心的溫度.溫度傳感器在焊接區域中心的溫度達到一定數值時(如30 ℃)開始工作，電路板進入回焊爐開始計時.實際生產時可以通過調節各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度來控制產品質量，為此需要獲得回焊爐的最佳爐溫控制方程.

2 回焊爐的爐溫曲線方程

由圖1可知，PCB板進入爐前區域之前是常溫狀態，進入爐前區域后，就會受到爐內溫度的影響而逐漸升溫；進入加熱區后，電路板的溫度將快速升高，使得焊接劑熔化；之后電路板進入冷卻區進行降溫，焊接劑逐漸凝固，完成焊接[18]；當進入爐后區域后電路板逐漸恢復到常溫狀態.可以看到，電路板在回焊爐中經歷了升溫與降溫過程，其受熱機理[19]是建立爐溫控制方程的關鍵.

2.1 回焊爐各區域空氣介質的溫度分布

PCB板從進入爐前區開始，到最后從爐后區出來，都會受到爐內空氣中熱量的影響，與其發生熱交換，為此，首先需要確定回焊爐各區域內空氣介質的溫度分布情況.

由回焊爐的結構與工作過程可知，加熱區內的各個小溫區有獨立的熱源，其內溫度可以在短時間內達到恒溫狀態.除此之外，回焊爐的其他區域沒有獨立熱源，區域內的空氣介質溫度主要受相鄰區域的自然傳熱影響，根據熱學知識[20]，對這些區域內，從傳送帶的線性運動方向上來看，空氣介質的溫度分布可以認為是線性的.

為此，若第i個區域為無熱源區域，不妨設其區域寬度為wi，區域左右兩端的溫度分別為Til,Tir，則該區域內按傳送帶運動方向任意一點x∈[0,wi]的溫度Tix可表示為：

(1)

若第i個區域為有熱源的區域，即是加熱區內的小溫區，則其溫度為恒溫，不妨設為Ti.

(2)

2.2 升溫時的爐溫曲線方程

當電路板進入回焊爐的加熱區后，電路板在外加熱源作用下會不斷吸收熱量，使自身的溫度不斷升高，直到焊接物被熔化.根據熱平衡原理，任意相同時間內電路板上吸收的熱量Qin應等于外加熱源傳遞的熱量Qcr，即：

Qin=Qcr

(3)

根據熱學知識，電路板在一段時間內吸收的熱量可表示為：

Qin=cpm(Tf-To)

(4)

其中cp為定壓熱容量，m為電路板質量，To為電路板焊接區域中心的起始溫度，Tf為電路板焊接區域中心的最終溫度.

在加熱區中，熱量的傳熱過程[21]一般分為熱傳導，熱輻射和熱對流三種.由于電路板在傳送帶上通過熱傳導得到的熱量較少，所以主要考慮熱對流和熱輻射兩種方式[22].

對熱對流，設h1為對流傳熱系數，A為電路板面積，T為電路板焊接區域的中心點溫度，Ta為空氣的溫度，一定時間內通過熱對流傳遞的熱量為Q1，則有：

Q1=h1A(Ta-T)

(5)

對熱輻射，設σ為輻射常數，ε1、ε2分別為爐腔和電路板某一點的發散系數，A分別為傳熱面的面積，Ta1為爐腔壁的絕對溫度(其值可近似等于空氣溫度Ta)，一定時間內通過熱輻射傳遞的熱量為Q2，則有：

(6)

對熱源，通過熱輻射散熱的過程，也是一個降溫的過程，因此也服從牛頓冷卻定律，即：

Q2=h2A(Ta1-T)

(7)

其中h2為輻射傳遞系數.

聯立式(6)和(7)可得：

(8)

可解得：

(9)

并且，回焊爐內一定時間內由熱輻射傳遞的熱量Q2可進一步表示為：

Q2=h2A(Ta1-T)≈h2A(Ta-T)

(10)

聯立上述式(3)(4)(5)(10)，可得：

cpm(Tf-T0)=(h1+h2)A(Ta-T)

(11)

將m=ρV，V=Al代入上式，將其微分化并整理得：

(12)

其中，T為電路板焊接區域的中心點溫度，h2為輻射傳熱系數，ρ為電路板平均密度，l為電路板厚度，h1為對流傳熱系數，Ta為爐內空氣的溫度,t為時間.

式(12)體現了回焊爐內加熱區瞬時的傳熱狀態，方程具有非線性特征.

2.3 降溫時的爐溫曲線方程

電路板進入冷卻區后，開始冷卻降溫，冷卻到一定溫度后，再傳送到爐后區等待處理.因此，在冷卻區中電路板成為熱源，空氣成為吸熱介質，其溫度下降過程可以用牛頓冷卻定律予以刻畫，即在某種介質中物體所損失的熱的速率與物體和周圍環境間的溫度差是成正比例的，其方程為：

(13)

其中Ta表示空氣溫度，Ts表示進入冷卻區電路板的初始溫度，Tc表示物體經過時間tc后所達到的溫度，k為熱傳遞系數，T為電路板焊接區域的中心點溫度，t為時間.

3 爐溫曲線方程的數值解法

3.1 數據準備

為便于數值計算，設某回焊爐共有11個小溫區，小溫區1～5的恒溫為175 ℃，小溫區6的恒溫為195 ℃，小溫區7的恒溫為235 ℃，小溫區8～9的恒溫為255 ℃，小溫區10～11共同構成冷卻區，保持恒溫為25 ℃；另生產車間的溫度保持在25 ℃.每個小溫區寬度為30.5 cm，相鄰小溫區的間隙區寬度為5 cm，爐前區域和爐后區域寬度均為25 cm；電路板焊接區域的厚度為0.15 mm，傳送帶的過爐速度為70 cm/min.

電路板進入回焊爐時開始計時，當電路板焊接區域中心溫度達到30 ℃時溫度傳感器開始工作，且每隔0.5 s測得一個溫度值，某次焊接的測驗數據參見2020年全國大學生數學建模A題的附件[7],時間上從19 s至373 s，每0.5 s一個溫度值，共709個數據，為節省篇幅本文從略.

3.2 回焊爐空氣介質溫度分布曲線

根據3.1節各區域設定的溫度和式(12)，可計算出沿傳送帶方向各點處的溫度值，繪制出溫度分布曲線如圖2.

圖2 爐內空氣溫度分布曲線Fig.2 Air temperature distribution curve in the oven

3.3 爐溫曲線方程參量的確定

在式(12)中ρ,l是常量，cp,h1,h2是與環境溫度有關的未知參量，原問題并未給出這些參量的取值，只是給出了PCB板通過回焊爐過程中在不同時間下的測量溫度，為此需要確定爐溫曲線方程中參量的取值.參量ρ,l,cp,h1,h2共同決定了熱傳遞的效果，為簡化起見，不妨令：

(14)

這里q(T)可看作是熱傳遞的綜合系數.

于是，式(12)變為：

(15)

再將式(15)差分化，得：

(16)

類似地，將式(13)改寫為如下差分方程：

(17)

將原問題所給的離散數據(Ti,ti)代入式(16)(17)，可計算求得回焊爐內各個區域內的一組離散qi或ki值，再對這些離散數據進行擬合，可求得爐溫曲線方程的參量表達式，如表1所示.

表1 各區域中爐溫曲線方程參量的擬合表達式Tab.1 Fitting expression of parameters of oven temperature curve equation in each region

3.4 數值計算及結果分析

對爐溫曲線方程式(13)(15)，其參量q(T),k(T)是非線性的，因此相應的微分方程不易求得解析解.為此，考慮采用數值計算方法.改進歐拉法具有計算精度高、計算量較小、編程較為簡便的特點，在本問題中選用此方法.

根據式(13)(15)以及改進歐拉法公式，可分別建立升溫時和降溫時爐溫曲線方程所對應的改進歐拉法計算公式，如下：

(18)

改進歐拉法偽代碼：

//改進歐拉法函數，T為中心溫度數組，q為擬合函數

//t為剖分步長，Ta為環境溫度數組

FunctionEuler(T,q,t,Ta){

fori←1tondo{

K1←q(T[i])*(Ta[i]-T[i])

K2←q(T[i]+t*K1)*(Ta[i]-(T[i]+t*K1))

T[i+1]←T[i]+(t/2)*(K1+K2))

}

}

類似地，根據式(15)和改進歐拉法公式，可得到降溫時的改進歐拉法計算公式和對應的偽代碼.

根據上述公式及偽代碼編程思想，結合原問題提供的數據，可計算得到回焊爐內從爐前區域開始到冷卻區域結束的PCB升溫及降溫的實時溫度值.數據從19 s開始，至370 s結束，每隔0.5 s一個計算數據，共有709個數據，限于篇幅，僅列出少量數據，如表2所示.

表2 部分數值計算數據及誤差Tab.2 Part of numerical calculation data and errors

將測量數據與數值計算結果繪制圖形，結果如圖3所示.將計算數據與實驗數據數值進行對比，從數值上看，可得兩者之間最大相對誤差為0.024 8，兩者差值的方差為0.000 161，以上數據可以看出計算數據與實驗數據誤差較小，誤差波動較為穩定.

圖3 數值計算結果與測量數據的對比圖Fig.3 Comparison diagram of numerical calculation results and measured data

4 結論

針對回焊爐的爐溫曲線，對升溫區域依據熱平衡理論建立了瞬態傳熱的非線性微分方程作為爐溫曲線方程；對降溫區域利用牛頓冷卻定律建立了電路板自然冷卻的微分方程模型.針對爐溫曲線方程的非線性特征，將其差分化，對每個小溫區利用已有實驗數據擬合得到方程的綜合傳熱系數，再選用改進歐拉法進行數值計算，得到爐溫變化數據.并將其與實驗數據進行分析比較，兩組數據吻合程度很高，說明建立的傳熱模型較為合理.此模型可以在不同溫度、不同速度下很好地對回流焊接過程進行分析，具有較強的實用價值.