創(chuàng)設數(shù)學實驗問題 培養(yǎng)學生探究能力

200030 上海市第四中學 徐衛(wèi)文

實驗是科學得以產(chǎn)生與發(fā)展的根本，而探究是當今社會科學發(fā)展與教育的有效方式.數(shù)學實驗教學是再現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程的有效途徑，數(shù)學中很多知識都有一定的規(guī)律和推廣潛力，這些知識在精心設計下大部分可以通過實驗探究的方式來學習獲得.在數(shù)學的學習過程中，無論是概念、定理、法則、公式的學習，還是技能的學習、問題的解決，都需要實驗.選擇數(shù)學實驗這種有效途徑進行數(shù)學探究教學，恰好可以為學生提供動手操作、自主探究的機會.數(shù)學實驗探究以數(shù)學實驗問題為載體，為研究與獲得某種數(shù)學理論、驗證某種數(shù)學猜想、解決某種數(shù)學問題，運用一定的物質手段，引導學生開展知識探究，通過觀察分析數(shù)學現(xiàn)象，調動知識儲備與生活經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)與探索數(shù)學知識的發(fā)生過程，構建新的知識結構，引發(fā)學生積極的數(shù)學實驗探究行為.

數(shù)學實驗探究問題是基于教學內容提出的，是教學內容的拓展和延伸.問題設計要以培養(yǎng)學生自主探究能力為出發(fā)點，幫助學生了解知識的內在聯(lián)系及基本規(guī)律，培養(yǎng)學生邏輯推理能力，提高學生分析問題和解決問題的能力，使學生形成良好的數(shù)學學習品質.例如，函數(shù)單調性、周期性及最值問題，函數(shù)間增長關系比較，求不同函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，不定方程的求解，解析幾何中的圖形變換及軌跡探求問題，立體幾何中的圖形變換及展開，概率統(tǒng)計中的隨機問題及回歸分析等內容，都可以從激發(fā)學生探究興趣、體驗數(shù)學知識形成過程、強化數(shù)學知識應用、提高學生辯證思維能力等角度進行設計.

一、 創(chuàng)設數(shù)學實驗探究問題，激發(fā)學生的探究興趣

根據(jù)教材特點，找準知識的切入點，充分挖掘和精心設計能夠激發(fā)學生探究興趣的數(shù)學實驗探究問題，為學生創(chuàng)造自主探索、自主交流的機會，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，拓寬學生思維，促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，培養(yǎng)學生的探究能力.

案例1：動圓與兩個定圓相切時，探求動圓圓心的軌跡問題

(一)實驗問題設計意圖

由于與兩定圓相切的動圓圓心軌跡涉及問題較為復雜，因此，創(chuàng)設實驗平臺，利用多媒體技術手段可以幫助學生透過現(xiàn)象把握問題的本質，讓學生真實感知軌跡的性質，并從觀察、猜想、驗證中感受數(shù)學研究的全過程，通過分情況進行探究，并得出結論.

(二)實驗工具

幾何畫板(或TI圖形計算器等).

(三)實驗探究活動設計

動圓P與兩定圓F1和F2均相切，難點在于動圓的運動變化和兩定圓之間位置關系的相對變化，可分為四種情況進行實驗探究.

1.動圓P與定圓F1和F2均內切.

2.動圓P與定圓F1和F2均外切.

3.動圓P與定圓F1外切，與定圓F2內切.

4.動圓P與定圓F1內切，與定圓F2外切.

上述四種情況還要根據(jù)定圓F1和F2的位置關系再細分兩到三種情況進行探究(如表1所示).

表1

本案例借助幾何畫板，通過改變兩圓的位置關系，學生探索動圓圓心的軌跡可能是橢圓、雙曲線、射線等.設計的目的在于突出學生的主體地位，培養(yǎng)學生動手操作、觀察、研究、思考的探究能力，有效拓展學生學習的空間以及解決問題的態(tài)度、深度、廣度和靈活度，激發(fā)學生的探究興趣.

二、 創(chuàng)設數(shù)學實驗探究問題，體驗數(shù)學知識的形成過程

創(chuàng)設數(shù)學實驗探究問題，讓學生體驗一些數(shù)學概念、公式、定理、公理、結論以及知識的形成過程，引導學生由直觀現(xiàn)象歸納、探索數(shù)學知識，或通過數(shù)學實驗教學的可視化驗證數(shù)學結論，由此充分調動學生的主動性和創(chuàng)造性，激起學生的好奇心和求知欲.

(續(xù)表)

(續(xù)表)

案例2：棱錐體積的探究

(一)實驗設計意圖

使學生深刻理解三棱錐體積公式的推導過程，掌握三棱錐體積公式并能運用公式進行計算或論證，培養(yǎng)學生動手、動腦、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，同時滲透轉化、類比等數(shù)學思想方法.本實驗的設計以實物的方式使學生獲得感性認識，在感性上得到認可，再從數(shù)學的嚴密性和精確性角度證明該公式.

(二)實驗方法

方案1：利用模型操作(排液法或稱重法或割補法)完成體積測量.

方案2：利用課件進行模擬實驗.

(三)實驗過程

方案1(實物操作)：

1.測一測、量一量

利用等底等高的三棱柱、三棱錐以及細沙探究兩個容器的關系.運用實物模型演示三棱錐和三棱柱體積的裝沙實驗，在三棱錐體杯子里裝滿細沙，倒入三棱柱體的模具中，反復操作，發(fā)現(xiàn)恰好三次倒?jié)M.

2.切一切、割一割

取一個三棱柱的幾何體(蘿卜塊)進行切割，用稱重法或排液法判斷切割后的三個三棱錐的體積關系.

方案2(利用課件進行模擬實驗)：

借助幾何畫板演示，將三棱柱分割成三個三棱錐，利用動態(tài)作圖、動態(tài)測量等功能，可以將抽象性的空間結構關系直觀生動地顯示出來，在動態(tài)的過程中培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力，給學生提供探索的空間.

(四)實驗證明思路

先將三棱錐補成一個三棱柱，再將這個三棱柱分割成三個三棱錐，接著證明三個三棱錐體積相等(證明略).(如圖1—圖3所示)

圖3

高中數(shù)學中的許多公式和定理的發(fā)現(xiàn)都來源于實驗，在棱錐的體積實驗探究教學中，引導學生通過觀察、實驗探究、歸納猜想、理論證明這一完整的數(shù)學探究過程得到棱錐的體積公式.學生不僅能較容易地了解棱錐的體積公式，同時也加深對數(shù)學公式的理解，培養(yǎng)形成“實驗操作—直覺猜想—直觀驗證—推理論證”的科學探究方法.

圖1圖2

三、創(chuàng)設數(shù)學實驗探究問題，強化數(shù)學知識的應用能力

創(chuàng)設數(shù)學實驗探究問題，將現(xiàn)實問題轉化為具體的數(shù)學問題，用數(shù)學知識與方法構建數(shù)學模型，解決現(xiàn)實問題，增強學生的應用意識，提高實踐能力.在實際情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；通過分析問題建立數(shù)學模型；借助信息手段分析數(shù)據(jù)、求解模型、得出結論，并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型結果、改進模型、完善模型，提高學生運用數(shù)學解決實際問題的探究能力.

案例3：水槽問題設計

現(xiàn)有寬為a的長方形板材，在單位時間水流速度一定的情況下，請將它設計成一開口水槽，使水槽的流量最大.(備注：在單位時間內水流速度一定的情況下，水流量的大小取決于水槽橫截面的面積，水槽形狀的選擇又與實際條件限制和使用者的喜好有關.如果不考慮實際條件限制和使用者喜好，則可以對形狀進行多種選擇.)

學生設計的水槽橫截面圖形如圖4所示.

圖4

學生問題探究過程中的分析如表2所示.

表2

在建模過程中，學生培養(yǎng)了學習習慣、觀察視角、思考方法、思維方式、探索精神和創(chuàng)新能力，提高了數(shù)學應用能力.通過創(chuàng)設數(shù)學實驗探究問題，不斷加強數(shù)學應用意識的培養(yǎng)，學生體會數(shù)學與數(shù)學應用，促進全面發(fā)展.

四、 創(chuàng)設數(shù)學實驗探究問題，提高學生的辯證思維能力

引導學生從復雜的現(xiàn)象中把握事物的本質及規(guī)律，探索事物間的聯(lián)系與差異，將已有事實變更推廣為更有深度的結論等，啟迪思維，提高學生的數(shù)學思維品質.

從學生已有的數(shù)學知識經(jīng)驗和慣性思維角度創(chuàng)設數(shù)學實驗探究問題，通過一定量的特殊情形的實驗觀察來總結和歸納，在此基礎上進行合情的推理、猜想、證明，發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學概念、定理、結論等規(guī)律，克服抽象性結論和復雜推理證明中形成的認知障礙.

案例4：互為反函數(shù)的圖像交點個數(shù)問題

探究指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)圖像交點個數(shù)問題(以同一底數(shù)的指、對函數(shù)圖像為例).

(一)設計意圖

面對函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)圖像交點個數(shù)問題，大多數(shù)學生的掌握不夠清楚，受思維定勢的影響，不少學生會隨手作出它們的簡圖.例如，當a>1時，如圖5-1，它們沒有交點；當0

(二)實驗工具

幾何畫板或TI圖形計算器等.

(續(xù)表)

(三)實驗探究問題設計

2.借助實驗工具(幾何畫板或TI圖形計算器)進行觀察，舉例說明a取不同的值時，函數(shù)y=logax與y=ax的圖像交點情況.

問題分析(直觀判斷)：借助幾何畫板可以直觀觀察和探討圖像的交點個數(shù)問題(如表3所示).

表3

3.在問題2探索的基礎上，當a取不同的值時，探究函數(shù)y=logax與y=ax的圖像交點個數(shù).

問題分析(數(shù)學驗證)：借助幾何畫板，對y=ax與y=logax(a>0且a≠1)圖像的交點問題進行實驗探究，歸納交點的大致情況，對交點情況進行嚴謹?shù)尿炞C和推理，驗證如下.

(1)當a>1時

若函數(shù)y=ax與y=logax相交只有一個交點，由互為反函數(shù)關系可知它們的圖像關于y=x對稱，所以要使y=ax與y=logax圖像有且只有一個公共點時，則y=x是兩個函數(shù)的共同的切線，設兩個函數(shù)相切時的切點坐標為A(x1,y1)，由于曲線y=ax在A處的切線斜率為1，所以ax1=x1，且函數(shù)y=ax的導數(shù)為y′=(ax)′=ax1lna=1.

圖6

圖7

圖8

(2)當0

同理可得曲線y=ax在A處的切線斜率為-1，所以ax1=x1，且函數(shù)y=ax的導數(shù)為y′=(ax)′=ax1lna=-1.

如果不借助實驗工具，僅靠手工作圖難以作出y=ax與y=logax交點，更難以判斷出交點的個數(shù)情況，由此會給邏輯推理、驗證結論帶來一定的困難.因此，借助數(shù)學實驗工具如幾何畫板等，引導學生在圖形的動態(tài)變化中觀察現(xiàn)象、讀取數(shù)據(jù)、探索圖像之間的關系，隨后進行邏輯推理和結論驗證，克服思維定勢、封閉的狀態(tài)，將知識融會貫通，從而使其發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題，分析和探討數(shù)學問題，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、問題解決能力、創(chuàng)新思維能力.

創(chuàng)設數(shù)學實驗探究問題，通過假設、猜想、歸納、推理、佐證、拓展等一系列探究活動，學生體驗數(shù)學知識形成過程，學會思考、發(fā)現(xiàn)和探索，提高學生以數(shù)學的眼光觀察世界的意識，逐步培養(yǎng)學生認識事物、發(fā)現(xiàn)真理的方法，學生在獲得大量知識經(jīng)驗的同時又掌握了數(shù)學基本技能和數(shù)學思想方法，培養(yǎng)了創(chuàng)新能力，提高了數(shù)學素養(yǎng).