6R關節式機器人奇異性分析*

米 顯,庫祥臣,馬東陽,楊星濤,趙歡樂

(河南科技大學 機電工程學院,河南 洛陽 471003)

0 引 言

由于機器人具有高效、可靠、精度高等特點,目前已在裝配、碼垛、焊接、噴涂等各種各樣的領域中得到了廣泛應用[1]。

當機器人處于某些特殊位姿時,如在某一個或多個方向同時失去運動能力的位姿,則稱為機器人的運動學奇異。這種奇異使機器人不能達到預期的工作空間,限制了機器人的運動范圍[2]。因此,對機器人機構的奇異性研究是有必要的。

機器人的機構奇異性分析主要有以下幾種:

(1)線幾何理論[3]。即從幾何學角度看各關節軸線是否線性相關;(2)螺旋理論[4]。從靜力學角度看是否存在一個或多個力螺旋對末端執行器產生運動影響;(3)代數理論[5]。從代數學角度看關節速度到末端執行器速度的傳遞矩陣是否滿秩。

在以上3類方法中,相比較而言,基于代數理論的方法可以盡可能多地求解出奇異位形。

徐可欣等人[6]針對自主研制機器人奇異位姿問題,通過求解雅可比矩陣得到了奇異因子,以此判斷機器人運動過程是否接近奇異點。CUI Hong-xin等人[7]將6個轉動關節(6 revolute joints,6R)機械臂分離為前臂和手腕,分別計算了其相應奇異因子,并對機器人的奇異性進行了分析。袁媛[8]采用末端點位姿誤差的敏感方向構建了雅可比矩陣,對機械臂工作空間內的奇異形位進行了研究。

但以上研究人員未對得到的奇異構型的正確性進行進一步論證。

基于微分變換法,張付祥等人[9]求解了雅可比矩陣,對UR5機器人的奇異性進行了分析。費雄等人[10]基于矢量積法求解了雅可比矩陣,對6軸旋轉機器人的奇異性進行了分析,但對雅可比矩陣的求解過程過于繁瑣。李憲華等人[11]基于機器人的連桿速度求解了雅可比矩陣,對模塊化機械臂奇異位型進行了分析,但未對機器人奇異位型的幾何性質做進一步的討論。

基于以上分析,筆者針對6R關節式機器人奇異構型的問題,為簡化雅可比矩陣進行求解,采用連桿速度遞推法求解雅可比矩陣,得到機器人所有奇異構型;然后對得到的奇異構型幾何性質進行討論分析;最后運用MATLAB軟件對提出的機器人靈活度指標進行仿真,比較仿真結果與分析結果。

1 機器人運動學分析

1.1 機器人模型

筆者以6R關節式工業機器人IRB 4600-40/2.55為研究對象,首先建立機器人結構簡圖。

針對上述機器人,筆者采用DH建模方法，建立其連桿坐標系,如圖1所示。

圖1 機器人連桿坐標系

根據圖1得到機器人各關節的DH參數[12，13],如表1所示。

表1 機器人的DH參數表

1.2 正運動學分析

從坐標系{Oi-1}到坐標系{Oi}之間的坐標變換,可以看作是坐標系{Oi-1}通過繞xi-1軸轉動αi-1角、繞xi-1軸移動ai-1、繞zi轉動θi角、沿zi移動di。

(1)

其中:cθi=cos(θi);sθi=sin(θi)。

根據表1中DH參數及機器人相鄰兩連桿變換式(1),可得到機器人正運動學方程為:

(2)

2 機器人奇異構型分析

雅可比矩陣指關節速度到末端執行器速度的傳動比。當機器人在運動過程中產生奇異時,即在一個或多個方向同時失去運動能力的位姿,會導致雅可比矩陣不滿秩,即:

(3)

2.1 雅可比矩陣

機器人機構奇異是自身固有的機械特性,與機器人位置及建立雅可比參考點無關。該處機器人末端參考點相對于腕部固定。因此,筆者以腕部為參考點,采用機器人連桿速度遞推法構造物體雅可比矩陣,根據定義建立下式:

(4)

機器人關節4、5、6軸線相交于一點,方便對雅可比矩陣進行求解。

對矩陣分塊計算,求得雅可比矩陣如下:

(5)

2.2 奇異構型分析

雅可比矩陣不滿秩,即det(J(q))=0時機器人產生奇異構型。雅可比矩陣與子矩陣存在關系為:

det(J(q))=det(J11)det(J22)

(6)

當det(J22)=0時存在:

-s5=0

(7)

當det(J11)=0時存在:

a2(a1+a3c23-d4s23+a2c2)(d4c3+a3s3)=0

(8)

其中:s23=sin(θ2+θ3);c23=cos(θ2+θ3)。

機器人的3種奇異構型:

(1)腕部。滿足式(7)時存在θ5=0,此時機器人關節軸線4、6重合,機器人腕部出現奇異構型。

具體奇異位姿如圖2所示。

圖2 θ5=0時機器人奇異構型

(2)肘部。滿足式(8)時存在d4c3+a3s3=0,即:

(9)

由式(9)可解得θ3=arctan(-d4/a3)。

當θ3=arctan(-d4/a3)時,機器人奇異構型及位姿如圖3所示。

圖3 θ3=arctan(-d4/a3)時機器人奇異構型

從圖3的幾何角度分析可知:(p5-p3)相對于(p3-p2)的角度偏移為arctan(d4/a3)和π+arctan(d4/a3),因此,當θ3=arctan(-d4/a3)時,機器人肘部出現奇異構型,θ4=0時，關節軸線2、3、5在一個平面內且平行;

(3)肩部。滿足式(8)時存在:

a1+a3c23-d4s23+a2c2=0

(10)

機器人關節2與關節3存在一定關系,這使得雅可比矩陣存在不滿秩,導致機器人產生奇異。

θ2與θ3關系如圖4所示。

圖4 θ2與θ3關系圖

為分析機器人具體奇異構型,筆者取滿足式(10)的一組θ2、θ3值,當θ3=0時存在:

a1+c2(a2+a3)-d4s3=0

(11)

θ3=0且與θ2滿足奇異關系時,機器人奇異構型及位姿如圖5所示。

圖5 θ3=0且與θ2滿足奇異關系時機器人奇異構型

從圖5中的幾何角度分析,可知關節4的位置矢量為:

p4=[a1+c2(a2+a3)-d4s3,0,pz]T

(12)

因此,當px=0時,機器人關節軸線1、4、5、6相交于一點,這時機器人肩部出現奇異構型。

2.3 奇異構型幾何性質分析

筆者進一步對奇異構型做幾何性質分析。

在含轉動和移動關節的6自由度(6 degree of freedom, 6-DOF)開鏈機器人中:

(1)若存在2個轉動副(i,j)共軸,機器人產生奇異構型。通過式(4)可得關節i和j單位關節的雅可比矩陣列向量如下:

(13)

單位關節i的線速度傳遞部分變換如下:

zi×(pw-pi)=zi×[(pw-pj)+(pj-pi)]

(14)

其中:當zi=zj時,(pj-pi)與zi同向,即Ji(q)與Jj(q)線性相關,det(J(q))=0;

(2)若存在3個平面轉動副(i,j,k)軸線平行,機器人產生奇異構型。選擇關節i坐標為基坐標,三關節坐標系建立在同一直線上,取zi=zj=zk,通過式(4)可得雅可比矩陣:

(15)

其中:位置矢量pj與pk共線且同向,三列單關節雅可比矩陣顯然線性相關,即det(J(q))=0;

(3)若存在4個轉動副軸線(i,j,k,m)相交于一點時,機器人產生奇異構型。選擇相交點為基坐標原點以及4個單關節的坐標原點,此時存在:pi=pj=pk=pm=0,通過式(4)得到雅可比矩陣如下:

(16)

其中:zi、zj、zk、zm相交于一點,顯然其中一列可以寫成其他3列的線性組合,即det(J(q))=0。

3 機器人奇異性仿真分析

3.1 可操作度橢球

圖在空間內的橢球可視化

橢球的體積與主軸半徑長的乘積成正比,即:

(17)

由于線速度與角速度的量綱不同,可將雅可比矩陣寫為:

(18)

筆者由此得到2個三維可操作度橢球,分別表示線速度和角速度。

線速度可操作橢球空間為:

(19)

角速度可操作橢球空間為:

(20)

筆者利用可操作度橢球,可以量化給定姿態與奇異構型的接近程度。

3.2 靈巧度指標

YOSHIKAWA T[15]將“可操作度橢球”的體積作為衡量機器人整體靈活性的指標,即定義可操作度ω表達式為:

(21)

其中:ω=0時,機器人處于奇異構型;ω>0時,處于非奇異構型。

KLEIN C A等人[16]將雅可比矩陣的最小奇異值作為機器人靈巧度的性能指標。該研究定義矩陣A的最小奇異值以衡量機器人的靈巧度,即為可操作度橢球的最短軸半徑平方(λmin)。當λmin→0時,機器人靈巧度變差,機器人處于奇異構型。

SALISBURY J K等人[17]將雅可比矩陣最大奇異值和最小奇異值的比值稱為條件數,以此作為評定機器人尺度的最優化準則。筆者在可操作橢球基礎上,定義最長軸半徑與最短軸半徑的比值的平方作為矩陣A的條件數(k),即:

k=λmax(J(q)JT(q))/λmin(J(q)JT(q))

(22)

其中:1≤k≤∞,當k=1時，機器人具有最佳傳遞性能;k→∞時,機器人趨于奇異構型。

3.3 奇異構型仿真分析

筆者運用MATLAB中的Robotic工具箱對衡量機器人是否產生奇異的靈巧性指標,進行仿真驗證。

(1)θ5=0時,在確定其余關節不使機器人產生奇異的條件下,讓θ5在關節范圍內運動,即各關節取值為:q=(0,0,0,0,25π/36～2π/3,0),分析θ5=0時,可操作度橢球狀態。

具體仿真結果如圖7所示。

圖7 θ5與雅可比矩陣的秩、可操作度、可操作度橢球、奇異值、條件數的關系

由圖7(a～e)依次可知:機器人運動過程中,θ5=0時，存在雅可比矩陣不滿秩、可操作度為0、機器人角速度橢球退化為一個平面、最小奇異值為0、條件數無窮大;

(2)當d4c3+a3s3=0時,在確定其余關節不使機器人產生奇異的條件下,讓θ3在關節范圍內運動,即各關節取值為:q=(0,0,-π～5π/12,0,π/2,0),分析θ3=arctan(-d4/a3)≈-1.43狀態下的橢球狀態。

具體仿真結果如圖8所示。

圖8 θ3與雅可比矩陣的秩、可操作度、可操作度橢球、奇異值、條件數的關系

由圖8(a～e)依次可知:機器人運動過程中,θ3=arctan(-d4/a3)時,存在雅可比矩陣不滿秩、可操作度為0、機器人線速度橢球退化為一個平面、最小奇異值為0、條件數無窮大;

(3)取一組滿足式(10)的θ2、θ3值。θ3=0時,θ2≈-2.45或θ2≈0.88滿足等式關系。在確定其余關節不使機器人產生奇異的條件下,取θ3=0,讓θ2在關節范圍內運動,即q=(0,-π～π/3,0,0,π/2,0)。對于可操作度橢球,則分析當θ3=0時,θ2=-2.45和θ2=0.88的橢球形狀,即q=[0,-2.45(0.88),0,0,π/2,0]。

具體仿真結果如圖9所示。

圖9 θ3=0時θ2與雅可比矩陣的秩、可操作度、可操作度橢球、奇異值、條件數的關系

當關節2、3的關系滿足式(10)時,由圖9(a～e)依次可知:機器人運動過程中存在雅可比矩陣不滿秩、可操作度為0、機器線速度橢球退化為一個平面、最小奇異值為0、條件數無窮大。

機器人在可行關節范圍內運動產生奇異時,存在一個或多個關節速度無法傳遞至末端執行器速度:

通過式(3)可知:機器人雅可比矩陣不滿秩,存在矩陣A∈Rm×m的特征值為0,即矩陣A的最小奇異值為0;

通過式(19,20)可知:機器人可操作度橢球退化為一個平面或直線;

通過式(21)可知:可操作度為零;

通過式(22)可知:矩陣A的條件數趨于無窮大。

4 結束語

筆者對6R關節式機器人進行了DH建模,并得到了其正運動學,使用機器人連桿速度遞推法,構建了以腕部為參考點的機器人物體雅可比矩陣,求解得到了機器人的奇異構型,對奇異構型的幾何性質做了進一步分析,最后通過MATLAB,對提出的機器人靈活度指標進行了仿真驗證。

研究結果表明:

(1)得到了該關節機器人的所有奇異構型,即6R關節機器人存在3種奇異構型,以及3種奇異情況之間的組合奇異構型;

(2)在轉動和移動關節的6-DOF開鏈機器人中,若存在2個轉動副共軸、3個平面轉動副軸線平行、4個轉動副軸線共點,則該機器人存在奇異構型;

(3)仿真結果與理論結果一致,表明基于機器人可操作度橢球提出的靈活度指標具有可行性,驗證了機器人前期奇異構型求解的正確性。

筆者已經得到了關節機器人的全部奇異構型情況,因此,在下一階段,筆者可將其作為理論依據,進一步對機器人在運動過程中如何規避這些奇異構型進行研究。