“做數學”視域下的教學實踐探究
——以蘇科版八年級下“圖形的旋轉”教學為例*

卞煥清 呂小兵 (江蘇省南菁高級中學實驗學校 214400)

王俊蓉 (江蘇省江陰市教師發展中心 214431)

“做數學”起源于上世紀國外科學學科實施的“Hands-on”學習計劃，我國于上世紀90年代在幼兒園和小學的科學教育中引入，后被引入中小學數學教育[1].“做數學”強調從實際生活出發，引導學生注意觀察周圍環境中的事物，鼓勵學生自己發現問題、提出問題；引導學生自己設計操作、親身實驗、實踐等活動，讓學生經歷新的概念或者規律形成的過程，感悟思維和知識的發生過程.除了獲得知識結果以外，還能體會數學的基本思想和探究問題的基本路徑.當前，“做數學”教育理念逐步進入了研究者的視野，成為教育者關心的熱點議題之一.

“圖形的運動”貫穿于整個義務教育階段[2]，三個學段的課程目標各不相同：第一學段讓學生感受平移、旋轉、軸對稱現象；第二學段讓學生體驗簡單圖形的運動過程；第三學段需要學生能夠探索并理解平面圖形的平移、旋轉、軸對稱.從“感受”到“體驗”再到“探索、理解”，三個學段的課程目標呈現螺旋上升，而初中階段聚焦探索和理解，需主動、深入、系統地研究三種運動方式的共性和個性問題.圖形的運動具有高度抽象性，難以直觀想象，因此“做數學”理念就成了應然之選.

1 教材分析與設計理念

蘇科版《義務教育教科書·數學》八年級下冊中“圖形的旋轉”是繼平移之后學習的另一種圖形的基本變換，也是后續學習中心對稱圖形及其變化的基礎.然而，對于旋轉的基本概念和性質的探索，教師一般采用講授式或者利用動畫演示進行處理，學生很難體會旋轉概念的生成，無法明確旋轉的研究目標，更無法直觀地感受到圖形運動過程中存在著哪些“變與不變”，導致學生很難用運動的眼光去分析問題、解決問題.為了解決這個矛盾，筆者基于“做數學”教學理念[3]，以數學實驗為抓手，讓學生通過動手操作，親身體會圖形旋轉概念和性質的生成，建立圖形運動的研究體系.

本節課的設計理念：(1)從學生實際接觸、觀察到的現象出發，從具體到抽象，從感性到理性，從實際到理論，再用實踐去檢驗理論，循序漸進地引導學生認識生活中的旋轉，進而探索其性質；(2)旋轉概念和性質的探究是本節課的核心環節，整個探索過程充分體現“學生為主體，教師為主導”，以探究式的教學方法為主，讓學生自主參與知識的生成；(3)作為初中階段研究的三種基本運動方式之一，同時也作為中心對稱圖形的章首課，課堂不應僅僅止于旋轉知識的探索，也要幫助學生明確圖形的運動的研究目標，更要幫助學生梳理研究數學問題的一般思路，真正提升學生解決問題的能力.

2 問題設計與教學實錄

2.1 提出問題，明確目標，生成研究問題的知識體系

問題1相信同學們都聽過著名哲學家伏爾泰的一句話——“生命在于運動.”我們的生活也因為各種各樣的運動而過得絢麗多彩，你能說出下列生活場景體現出的運動方式嗎？能否給下列運動方式進行分類呢？

圖1 生活中的運動

設計意圖社會、數學知識和學生對數學課程發展影響的制約不是孤立的[4]，“做數學”強調從學生的生活經驗出發，引導學生觀察日常生活中常見的事物，鼓勵學生發現問題.本問題通過生活場景喚醒學生對圖形運動的認識，能識別幾種運動方式并進行歸類，同時趣味性的開場白能夠活躍課堂氛圍，激發學生學習興趣.

問題2同學們，圖形的平移是我們學習過的內容，我們是如何研究圖形的平移的？

設計意圖若是只將目標聚焦于旋轉的研究，那么學生對知識的認知是碎片化的，無法對知識結構從整體上認識.事實上，平移、旋轉和翻折是初中階段研究的三種基本運動方式，研究的基本路徑也保持一致.因此，筆者從課堂整體建構理念出發，引導學生自主回憶圖形平移的相關知識，梳理圖形平移的研究路徑，讓學生在探索圖形的旋轉時“有路可循”.

2.2 自主探索，形成概念，體會知識生長的基本過程

問題3類比圖形平移的概念，你能從三個生活情境中說出圖形旋轉的基本概念嗎？

問題4讓我們用動手操作來歸納圖形旋轉的概念，同時請思考，旋轉需要研究哪些要素？

設計意圖旋轉的概念和三要素是本節課要研究的一個重點，也是圖形旋轉研究的起點，無論是課件里的圖片還是精美的動畫都無法讓學生直觀感受到旋轉過程的動態變化.“做數學”理念下教師引導學生應用材料和工具，設計實驗操作、實驗、實踐等活動，讓學生能夠通過具身體驗來獲得數學概念和性質.此環節通過細繩和砝碼設計了實驗操作，讓學生上臺演示旋轉過程.在歸納出旋轉基本概念的同時也能明確旋轉需要研究的三要素：旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度，三者缺一不可.

問題5同學們，我們已經知道了旋轉的概念，下面我們要研究什么？

問題6對于復雜圖形的旋轉，我們很難發現其性質，那么我們可以如何研究呢？

設計意圖旋轉的性質是本節課要研究的核心內容，但是教師直觀的展示并不能讓學生認識到為什么要研究以及如何研究“對應點到旋轉中心的距離相等”和“對應點到旋轉中心連線所形成的角相等”.問題5、6的拋出引導學生梳理研究問題的一般路徑，即從特殊到一般，引導學生從研究點的旋轉開始，再研究線段和三角形的旋轉(圖2).此處利用兩張疊合的半透明硫酸紙讓學生體驗圖形的旋轉(圖3)，通過實踐操作探究旋轉的性質.

圖2 圖形旋轉性質的研究路徑

圖3 疊合的半透明硫酸紙

問題7請同學們動手操作，一起探索點的旋轉有什么性質？

設計意圖旋轉的動態變化讓學生無法直觀感受到旋轉的性質，而講授式的教學也讓學生無法體會到旋轉性質的自然生成.“做數學”理念強調課堂的架構應該由淺入深，有序地探索復雜問題.點的旋轉是研究其他復雜圖形旋轉的基礎，任何復雜圖形的旋轉都可以轉化為點的旋轉進行研究.其次旋轉的性質研究的就是在旋轉這個動態變化的過程中有哪些量是不變的，即“變中不變”.本環節中，點旋轉的性質對于學生來說較易發現，即對應點到旋轉中心的距離相等，如圖4中OA=OA′，且∠AOA′即為旋轉角.點的旋轉能夠幫助學生清晰地觀察到旋轉的性質，為后續的探究打下基礎.

圖4 點的旋轉示意圖

問題8對于線段的旋轉，同學們會探究了嗎？線段的旋轉具有哪些性質呢？

追問：和點的旋轉不同的是，線段的旋轉要注意什么呢？

設計意圖旋轉中心位于旋轉三要素之首，是研究旋轉最先需確定的，但也是最容易忽視的，無序的探究往往也讓學生難以體會知識的內在邏輯.在實際教學中，學生能夠自然聯想到的是旋轉中心在線段端點處的情況(圖5①)，這種情況下能夠得到如下發現：AB=AB′，且∠BAB′即為旋轉角.此時應及時追問：旋轉中心是否只能在線段端點處？在圖5②中不難有如下發現：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′(兩角均為旋轉角).在圖5③中可以有如下發現：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.在探索的過程當中，學生也能很自然地意識到旋轉和平移性質之間的聯系和區別.

圖5 線段的旋轉示意圖

問題9相信同學們會研究三角形的旋轉了，請大家動手操作.

追問：對于更復雜圖形的旋轉，同學們會探究了嗎？

設計意圖在系統地研究了線段旋轉性質后，相對復雜的三角形旋轉的性質也躍然紙上，旋轉中心分別在三角形邊上(圖6①)、在三角形內部(圖6②)和在三角形外部(圖6③).學生也會聚焦旋轉角的相等、對應點到旋轉中心連線的長度相等.對于更復雜圖形的旋轉，學生也會明確其探究路徑和需要探究的性質，從而不僅積累了知識經驗，還發展了能力.

圖6 三角形的旋轉示意圖

問題10請歸納圖形旋轉的性質.

設計意圖學生在整個探究過程中歷經了點、線段和三角形的旋轉的探究，教師需引導學生歸納總結三者的旋轉的共同性質.特別注意的是在探究過程中需要幫助學生明確旋轉是具有整體性的，即圖形上的每一個點均隨圖形的旋轉而旋轉.

2.3 課堂小結，梳理框架，實現知識探究的整體架構

問題11你能說出本節課我們經歷了怎樣的學習過程，是如何來研究圖形的旋轉的？

設計意圖課堂小結環節幫助學生梳理課堂研究邏輯，但不能局限于課堂知識的呈現和整理，需進一步突出類比思想在研究三種運動方式中的應用，幫助學生梳理研究數學新知的一般線路.同時，研究路徑的梳理也能進一步幫助學生認識到初中階段圖形運動相關知識的整體性，讓學生認識到數學知識是整體關聯的，并非碎片化的堆砌.

圖7 圖形的運動研究路徑

3 “做數學”理念下的教學反思

3.1 聚焦情境性和具身性，讓知識在動手操作中生長

“做數學”強調課堂教學應該從學生熟悉的生活實際出發，引導學生善于觀察，引發學生的共鳴，讓學生產生探索新知的內在需求，進而主動參與到課堂探索中去.本節課從常見的生活場景出發，引導學生觀察生活中存在的運動方式，并依據運動方式的類型進行歸納，引發學生思考：生活中常見的旋轉運動到底具有怎樣的性質？由此激發學生探求問題的興趣.

具身體驗也是“做數學”的聚焦點，課堂教學中學生圍繞某個問題開展系列的動手操作、實驗、歸納等實踐活動，化動態為靜態、化抽象為具體，感悟數學的基本思想.本節課中利用砝碼和細繩探索旋轉的基本概念和旋轉的三要素，利用半透明硫酸紙進行旋轉性質的探索環節的設計和實踐.實驗材料的易獲取性使得學生能夠在課堂有限的時間后，利用課后時間進一步設計實驗方案并探索，培養學生通過實驗的設計和操作發展解決問題的能力.

3.2 緊扣主體性和交互性，讓學生在主動學習中探索

“做數學”理念下課堂的主體是學生，知識、技能和能力的獲得最終都需要學生自我內化.因此，整個課堂教學緊密圍繞學生的實踐活動展開，無論是旋轉的概念還是旋轉性質的歸納，都需要學生動手操作，在進一步的發現、歸納中獲得知識.整個課堂中教師起到主導作用，并確保學生的主體性，引導學生探究旋轉的研究路線和確定實驗方法；修正或改進學生提出的方案.在旋轉性質探究過程中，線段旋轉的旋轉中心的確定就需要教師不斷引導學生思考，探究旋轉中心位置的幾種可能性，不斷完善旋轉性質探究的實驗方案.

3.3 著眼開放性和育人性，讓素養在數學研究中發展

“做數學”視域下的課堂預設是多元的，允許學生各抒己見，也容許學生“犯錯”.學生不同想法的大膽表達往往能夠激發大家思考，進而發展學生的創新思維，學生在交流過程中發現數學本質.在本節課中，探究旋轉的性質的過程中應設置多種預設，滿足學生開放性探索的需求，特別是在探究三角形旋轉時，旋轉的過程中到底有哪些變化的量、哪些不變的量，都需要學生不斷發現和歸納.

課堂教學不僅僅是為了幫助學生獲取數學原理和知識，更應關注學生關鍵能力的提升和認識世界的一般方法的掌握，這正是育人性的體現.本節課不僅關注旋轉概念和性質的探究，還通過實驗活動引導學生梳理研究圖形運動的一般路徑，把握知識的整體脈絡，體會數學研究的一般方法.整個課堂需緊密圍繞學生自主設計實驗方案并動手實踐，達成知識體系的建構和能力的提升，實現課堂角色的“翻轉”，實現數學價值和學生思維的發展，發展學生的數學學科的關鍵能力和核心素養.