以猜想與驗證發展學生數學思維
——以《分數的基本性質》一課教學為例

陳明達

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中對課程目標提出明確要求：“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。”猜想與驗證是指學生在學習新知時，根據已有的經驗和知識，做出符合一定規律的猜測和假設等推理判斷，然后通過多種途徑和方法驗證猜想是否正確，并在不斷驗證的過程中完善自己的猜想，最后總結歸納出一定規律的過程。［1］筆者以人教版五年級下冊第四單元《分數的基本性質》一課的教學為例，談談如何借助猜想和驗證，啟迪學生數學思維，發展學生思維能力。

一、實踐，經歷猜想與驗證的過程

大部分學生都具備將分數轉化為除法進行計算的經驗，那么是否能將教學的起點設在學生現有的發展水平上，直接呈現學生嘗試過程中的錯誤資源，引導學生理解和掌握分數的基本性質呢？為此筆者設計了三個重要的教學環節。

其一是“觀察—類比—發現”的學習過程。數學家高斯說過：“數學中許多方法與定理是靠歸納法發現的，證明只是補行的手續而已。”首先，筆者向學生呈現了一組冰墩墩分西瓜的故事，先引導學生進行觀察和思考：三次分瓜有什么相同和不同之處？第一次分西瓜，雪融融得到西瓜的，冰墩墩得到。第二次分西瓜，讓學生在涂色卡上涂一涂，表示出冰墩墩和雪融融各得到和。第三次分西瓜讓學生在數軸上描點找出和，然后筆者再引導學生進行類比，并嘗試進行歸納，學生發現三組分數大小相等，就大膽提出猜想：是不是每個分數都有和它相等的分數呢？和它相等的分數會有幾個？有的學生躍躍欲試，在自己的課堂練習本上涂畫，尋找有沒有別的答案。

數學概念的形成和法則的概括以及解題應體現出歸納思想，教師要盡量讓學生通過直觀圖形的觀察，或讓學生自己動手借助于實物進行實驗，在有了豐富感性認識的基礎上提出猜想，進而歸納出相應的法則、性質和公式。［2］學生的猜想并不是憑空想象而來的，必定是要經過了觀察—類比—發現的過程。而有了這樣的猜想以后，學生的好奇心和探求欲被激發出來，接下來教師就可引導學生進行深入思考與驗證。使學生思之有法，思之有據，擴展思維的時空，使思維逐步靈動而深刻。

其二是“猜想—推理—結論—驗證”的學習過程。根據零散的信息進行綜合的判斷，屬于典型的智慧技能。智慧技能指學生能綜合運用知識，進行綜合分析、判斷、分類與評價，進行問題分析與應對決策的技能。［3］智慧技能的培養對學生的素養發展具有深遠的意義。

筆者進一步引導學生經歷從“形成猜想”到“推理驗證”的過程。引導學生以為例，找出與的相等的分數。這里教師要給予學生學習支架，為學生提供若干張大小相同的正方形紙片和圓形紙片，以及數軸圖、白紙、剪刀、畫筆等工具，并提出活動要求：一是找出與相等的分數；二是利用提供的材料說明找到的分數與是相等的；三是4人小組交流并上臺匯報。給學生動手實踐的工具就是學習的拐杖，明確活動要求就是在給學生學習的支架，這個環節筆者放手讓學生大膽操作，去驗證自己的猜想并上臺匯報，在這樣的活動中，不僅學生的思維水平得到了提升，語言表達能力也得到進一步的提高。有的學生是通過將兩張大小相同的圓形紙片對折，折出了和，發現和表示的部分是一樣大的；有的學生是直接剪一剪兩個大小相同的正方形紙片，也發現相同的道理；還有的學生懂得利用數軸圖，在數軸上找到的位置是相同的，所以它們都是相等的。這時筆者順勢引導，學生自然而然就得到關系式：。之后筆者繼續請學生聯系所學知識說理由，有的學生就能利用分數與除法的關系，得出

這樣循序漸進、層層剝繭式地引導學生直達核心知識的本質，就實現了化“新”為“舊”，讓學生全程參與猜想與驗證的過程，在操作中又采用了觀察、分析、聯想、類比等學習方法，增強了學生的思辨能力，提高了運用辯證思維進行統籌、分析的能力。

其三是“二次推理—二次結論—二次驗證”的學習過程。筆者最后請學生仔細觀察關系式：，并思考每一組等式中，分數的分子和分母變了嗎？是怎樣變化的？從這里開始，筆者就是在引導學生進行二次推理。有學生會往加的方向去思考，但大部分學生都能從商不變的規律加以判斷，發現分子與分母加上不同的數，分數的大小并不是有規律的變化，所以加法這個方向是不對的。學生繼續觀察、對比與分析，在討論中不斷小結，在變與不變中，學生會發現分數的分子、分母同時乘相同的數，分數的大小不變，但是在數學上僅憑個例就得出的結論并不嚴謹，現在學生只能在這樣的猜想后面繼續打一個問號，筆者還要引導學生繼續進行二次推理及驗證猜想，讓學生不斷提出更多的例子，而且舉的例子要盡量具有全面性，才更加有說服力。

要發展學生的思維，必須設計出有助于學生反思的學習活動，讓學生在不斷反思和實踐中發展思維。在上述由“結論形成”到“探索規律”的學習過程中，教師注重引導學生學習過程中的自我反思，不斷喚醒學生已有的知識，然后教師又提出新的問題，引發學生新的思考，推導新的解決問題的方法。

二、后測，遷移猜想與驗證的方法

當學生掌握了分數的基本性質之后，筆者出示了“練習十四中的第13題”：一個分數的分母不變，分子乘3，這個分數的大小有什么變化？這道題能反應學生對猜想驗證思想的理解情況。筆者鼓勵學生進行合情推理，自己嘗試并選擇合適的數據以便于研究，如選用，根據題意得；把與進行比較，分數的大小擴大到原來的3倍，然后再舉例再驗證，結果是相同的。全班43名學生有38人能選擇合適的方法和數據進行計算，有2人是計算出錯算不出來，另外3人是因為選擇了太復雜的數據沒算完。

后測反饋表明，大部分學生均能夠掌握分數的基本性質，但仍有少部分學生沒能很好地體會猜想驗證的方法，于是筆者繼續將學生對該題的做法作為教學資源，引導學生進行思考：哪些方法是正確的？選擇數據的時候怎么選更合理？再一次經歷對比與分析，大部分學生不僅逐步理清了猜想與驗證的方法，更明白了在證明的過程中應盡量滿足準確性與簡便性。課堂上的實時后測，更具有時效性，能更好地檢驗學生數學學習的基本能力。

只有猜想而無法得到驗證，那猜想只能是空想，只有自主探究、動手實踐才可以讓猜想的生命力得到進一步延續和驗證，助力學生不斷提升數學思維能力，發現數學的趣味和魅力。