規(guī)律源自猜想 精彩源于變式 素養(yǎng)成于實踐
——以“兩條直線成為折線型平行線的條件”教學(xué)為例

?廣州市駿景中學(xué) 顧桂新

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:學(xué)生通過義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展合情推理能力.猜想是獲得規(guī)律的方法，在觀察中獲得的特殊例子放到一般情況下看看是否也有這種可能性，即從特殊到一般.一題多解的變式教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，向?qū)W生展示不同的思考過程，根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)適當(dāng)?shù)赝卣菇忸}思路，從而讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)，實現(xiàn)有意義地建構(gòu)，也能使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都得到提高，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的一環(huán).基于此，筆者根據(jù)人教版七年級下冊數(shù)學(xué)，執(zhí)教了“兩條直線成為折線型平行線的條件”，從“特殊到一般”“一題多解”上下功夫，收獲良多.

1 從特殊到一般，以舊引新，大膽猜想，導(dǎo)出主題

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“平行線的判定方法”“平行線的性質(zhì)定理”等知識，明確“角的數(shù)量關(guān)系”與“兩直線位置關(guān)系(平行)”之間是可以互推的.如何從這些舊知識出發(fā)，使學(xué)生想到，“兩條直線成為折線型平行線的條件”呢？

問題1我們知道平行線判定方法有四種.如圖1，AB，CD被BD所截，∠B，∠D滿足什么數(shù)量關(guān)系時，AB∥CD?

圖1

設(shè)計意圖：通過動態(tài)改變AB的位置，明確“∠B+∠D=180°”與“兩直線平行”可以互推，喚醒學(xué)生的知識儲備.

問題2如圖2，當(dāng)點O在線段BD上運動時,猜一猜:若AB∥CD,則∠B+∠D與∠BOD須滿足什么數(shù)量關(guān)系?

圖2

設(shè)計意圖：通過增加點O，在兩個同旁內(nèi)角基礎(chǔ)上增加了一個平角.當(dāng)∠B+∠D=180°時，AB∥CD；而∠BOD=180°.從而引導(dǎo)學(xué)生得到當(dāng)點O在線段BD上移動時，∠B+∠D與∠BOD須滿足某個數(shù)量關(guān)系，AB，CD方可以成為平行線.

問題3當(dāng)點O從線段BD上移動到平面內(nèi)任意位置，即變成折線型時，不妨研究點O向左移動時的情況.如圖3,猜一猜：∠B，∠D，∠BOD須滿足什么數(shù)量關(guān)系,才有AB∥CD?

圖3

設(shè)計意圖：在問題2的基礎(chǔ)上引出本節(jié)課主題“兩條直線成為折線型平行線的條件”，同時通過問題2的特殊情況，引導(dǎo)學(xué)生從“特殊到一般”探究規(guī)律的過程中，通過觀察，猜想三個角之間滿足什么數(shù)量關(guān)系，兩條直線能成為“折線型”平行線.

在問題3中，學(xué)生猜想三個角之間滿足∠B+∠D=∠BOD時,AB∥CD，即為兩條直線成為“折線型”平行線的條件.接下來證明猜想的正確性.

2 一題多解，突出思維之道

證明兩條直線平行的方法有多種，通常從“三線八角”的基本圖形中尋找同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等，運用平行公理或平行線判定定理解決.若沒有現(xiàn)成的“三線八角”，就需要構(gòu)造，這是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點.

問題4問題3猜想的證明如何通過添加輔助線來構(gòu)造“三線八角”，找出解題路徑呢？

設(shè)計意圖：教師先引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造同旁內(nèi)角互補，證明兩直線平行，證法1作為例題加以講解；然后學(xué)生模仿證法1，由平行線的判定方法，從內(nèi)錯角相等、同位角相等、平行公理等角度思考，添加輔助線解決問題.證法2～5是學(xué)生提出來的各種解法.

證法1：如圖4，連接BD，構(gòu)造同旁內(nèi)角互補，證明兩直線平行.

圖4

在△BOD中，∠2+∠3+∠BOD=180°.

又∵∠BOD=∠1+∠4，

∴∠2+∠3+∠1+∠4=180°.

∴∠ABD+∠BDC=180°.

∴AB∥CD.

證法2:如圖5，延長BO，與CD交于點E，構(gòu)造內(nèi)錯角相等，證明兩直線平行.

圖5

在△OED中，∠1+∠D=180°-∠DOE.

又∠BOD=180°-∠DOE，

∴∠1+∠D=∠BOD.

∵∠BOD=∠B+∠D，

∴∠1+∠D=∠B+∠D，即∠1=∠B.

∴AB∥CD.

證法3：如圖6，過點O作直線a∥AB，從平行公理的角度思考，構(gòu)造中間量，由直線a∥AB知∠1=∠B.

圖6

∵∠BOD=∠1+∠2，

∠BOD=∠B+∠D.

∴∠1+∠2=∠B+∠D.

∴∠2=∠D.

∴a∥CD.

∴AB∥CD.

證法4：從將∠BOD拆解成兩個小角的角度思考.如圖7，作∠BOE=∠B，則OE∥AB.

圖7

∵∠BOD=∠BOE+∠DOE，∠BOD=∠B+∠D，

∴∠BOE+∠DOE=∠B+∠D.

∴∠DOE=∠D.

∴OE∥CD，

∴AB∥CD.

證法5:構(gòu)造垂直，將AB，CD直接聯(lián)系起來.如圖8，過點O作AB的垂線，交AB于點E，交CD于點F，則∠BEO=90°，且∠1+∠B=90°.

圖8

∵∠1+∠2+∠BOD=180°，∠BOD=∠B+∠D，

∴∠1+∠2+∠B+∠D=180°.

∴∠2+∠D+90°=180°.

∴∠2+∠D=90°.

∴∠OFD=90°.

∴∠OFD+∠BEO=180°.

∴AB∥CD.

上述證法是學(xué)生通過猜測、嘗試，在教師指導(dǎo)下得出的證明方法.通過一題多解，啟發(fā)學(xué)生基于原有經(jīng)驗，突破思維局限，創(chuàng)新探究思路，完成探索推理，概括獲得新知；通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生積極思考，勇于嘗試的精神.

3 歸納共性，揭示問題本質(zhì)規(guī)律，觸類旁通

通過對問題3猜想的五種證法的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)除了證法1外，其他的方法都是以點O為切入點，也就是所作的輔助線都與點O有關(guān)系，如過點O作平行、延長BO、過點O作垂直等，其目的是依據(jù)現(xiàn)有的圖形通過作輔助線，構(gòu)造“三線八角”和三角形這兩種基本圖形，從而根據(jù)“三線八角”角度之間的數(shù)量關(guān)系與三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行等量代換，得到角的關(guān)系，最終證明兩直線平行，這是該研究的根本所在.

問題5剛才研究了點O向左運動的情況，那么當(dāng)點O在平面內(nèi)向其他方向運動時，還可以得到哪些不同的新圖形呢？對每種新圖形，∠B，∠D，∠BOD滿足什么數(shù)量關(guān)系時,AB∥CD？請證明你的猜想.

設(shè)計意圖：學(xué)生通過動手作圖、試驗，得到不同類型的兩條直線成為折線型平行線的圖形.如圖9所示，點O可以向右運動，向左上運動，向右上運動，等等.對于每一種圖形結(jié)論的猜想與證明，引導(dǎo)學(xué)生在課后根據(jù)自己的選擇，選取自己喜歡的方法完成，并體會運動變化中不變的規(guī)律.

圖9

4 結(jié)語

變式教學(xué)即通過不斷改變問題情境、問題條件，探索變化規(guī)律以及變化中的不變性質(zhì).在整個教與學(xué)的活動過程中，學(xué)生既要參與解題，更要參與數(shù)學(xué)思考，在思考的過程中去體會“變”與“不變”的辯證思想，體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程.

通過變式教學(xué)，不僅改變了學(xué)生被動的學(xué)習(xí)方式，也大大開闊了教師的解題視野.教師不必再停留在繁忙的找題、做題、講題的題海戰(zhàn)術(shù)之中，而是可以更好地利用經(jīng)典試題進(jìn)行深度剖析，充分演變，揭示問題的本質(zhì)規(guī)律，達(dá)成舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果．

本節(jié)變式教學(xué)課，從特殊到一般，給學(xué)生創(chuàng)造觀察、探究、猜想、歸納等學(xué)習(xí)機會，引導(dǎo)學(xué)生“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”,讓學(xué)生在活動中增強求知欲，凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，克服學(xué)習(xí)中的思維定式.通過“一題多解”的變式教學(xué)，向?qū)W生展示不同的思考過程，根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)適當(dāng)?shù)赝卣菇忸}思路，從而讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)，實現(xiàn)有意義地建構(gòu)，也能使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都能得到提高，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的一環(huán).