基于認知 建立聯系 發展能力
——以“線與角專題復習課”為例談初中數學復習策略

?江蘇省無錫市僑誼實驗中學 成宏喬 劉丹丹

1 前言

傳統復習課偏向于解題訓練，用所謂的“新題目”來檢驗學生“舊知識”的掌握情況，往往效果不理想，學生掌握的數學知識還是零散的、孤立的、碎片化的.當下，在培養學生學科素養的背景下，復習課應該怎么實施值得我們教學工作者研究.筆者認為數學復習課應該以結構化的方式進行知識、過程、方法的梳理和總結，在構建過程中“引領學生注重數學思想的核心統領作用，構建一個既有肉體又有靈魂的數學知識結構”[1]，引導學生從知識整體上進行認知、學會自主學習及方法遷移，提升學科素養.筆者結合最近聽的一節數學復習課(蘇教版七年級上冊第六章的“線與角專題復習課”)以及不滿意后再次呈現的過程談談自己的想法，現將兩節課的內容、集體研討及思考與大家分享交流，敬請批評指正.

2 初次呈現

2.1 概念復習

上課伊始，教師就拋出了三個問題：說出線段、射線、直線的區別？一條線段除兩個端點外還有三個點，則這條線段上共有多少條線段？如果一個點為線段的中點，則可以得到什么？

說明：教師授課“開門見山”，直接呈現課題，告知學生本節課學習目標，通過線的概念、表示及中點的復習，簡潔有層次，復習效果好、氛圍佳.

2.2 習題鞏固

在復習概念后，教師通過課件呈現了難度遞增的3道題目，和學生一起分析完成，并強調書寫規范.

說明：限于篇幅，題目不呈現，在本環節中，教師能給學生數學表達的機會，并及時糾正學生的錯誤，梳理了解題思路，發展了邏輯水平.

2.3 對比聯系

教師通過引導學生類比線段的概念、表示、中點等概念對角的概念、表示、角平分線等知識進行復習，并有意識地準備了3道與“習題鞏固”環節中相類似的題目進行練習.

說明：限于篇幅，題目不呈現，教師有意識的課堂設計，通過類比，凸顯了角與線知識間的聯系，更強調了方法的統一.從課堂觀察來看，學生經過上一個環節的訓練，本環節題目的正確率提高不少.

2.4 拓展延伸

在“對比聯系”環節學生完成情況較好的基礎上，教師對學生進行了肯定，也鼓勵學生注意歸納思路、提煉方法.之后，教師分別呈現了兩道關于線和角的拓展題讓學生練習.

例已知點A，B，C在同一條直線上，且AB=12 cm，BC=4 cm.點M，N分別是線段AB，BC的中點.求線段MN的長度.

練習 在平面內，已知一條射線OA，若從點O再引兩條射線OB和OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的度數.

說明：本環節兩道題的難度高于之前課堂練習的題目，顯著的變化就是沒有圖形，需要學生自己畫圖，對于各種情況需要有分類的意識.從學生的反應來看，本班不少學生訓練有素，題目出來后，立馬就喊出“沒圖要考慮多解”，以至于其他同學在解題時有意識地考慮多種情況.

2.5 形成結構

最后，教師在強調線和角有密切聯系之后，對本章的部分知識進行了梳理呈現(見圖1).

圖1

說明：由于時間關系，教師只是呈現了自己梳理的知識框架，旨在引導學生了解知識的發展和聯系，構建知識結構.

3 學科研討

本節課后，聽課教師和授課教師均覺得本課不是特別理想，但對于怎樣才能上好這節課又有一定的困惑，于是就把本節課的教學作為教研素材，學科組進行研討，梳理了教材的結構和學情，在充分交流修改后在另一個班重新執教.

3.1 教材分析

本節課是階段復習課，教師在充分理解教材的基礎上才不至于有教學偏差.從全章的知識來看，線和角的內容是以線段為邏輯起點，形式上是由“單線”到“雙線”，方法上是由“形”到“數”(如圖2).所以在授課中，要引導學生從整體上認識知識的發展，形成知識結構.正如布魯納所言，記憶保持的重要問題不是貯存，而是運用時“如何把用到的知識易于提取”.雜亂無章的知識堆積，不利于問題的解決，更發展不了學生的能力.當學生的學習不局限于單一知識點的學習，而是將知識點聯點成線，再將形成的知識鏈條形成網絡，構成一個完整的體系[2]，學生就易于“提取”知識、運用知識，讓所學內容既是“知識生長點”亦是“能力延伸點”.

圖2

3.2 學情分析

進入初中后，學生第一次系統地學習平面圖形知識，打下扎實的基礎有利于空間觀念的形成和邏輯思維的培養，本章的重要性不言而喻.通過階段學習，學生已初步掌握線與角的基本知識以及一些基本的解題方法，但缺少知識的梳理和方法的提煉.課堂上需要給學生更多的時間領悟過程結構和方法結構，從而提升對數學知識的理解，這也是本節課學習的價值所在.填鴨式的教學只會讓學生通過記憶來學習數學，頂多是應付考試，卻不能促進智力、能力的發展，教育的目標并不在于增加知識量，而在于提高學生對知識的理解能力和運用能力.

4 再次呈現

4.1 暢所欲言

教師通過問題驅動引導學生思考和交流：①通過線段的學習，談談你對線段的認識？②和線段相比，角又有哪些知識讓你印象比較深刻？

說明：本環節設置了開放問題，否定了列表、填表的想法，沒有框架的束縛.學生自由思考、梳理知識并充分表達，在一次次的交流中，同學們越來越清晰地認識到線與角的特點和聯系.同時，課堂的氛圍很好，學生踴躍作答，課堂的主體性得到充分體現.

4.2 集思廣益

師：我們學習了知識，更要會運用知識.本章的內容是很好的載體，通過解題不僅可以提高分析問題和解決問題的能力，還可以發展空間觀念和邏輯思維.下面我們一起解決下面的問題.

例1如圖3，已知點C為線段AB上一點，AC=15 cm，CB=9 cm，D，E分別是AC，AB的中點，求線段DE的長.

圖3

教師和同學們一起完成后，教師進而提出：本題的關鍵是分析出線段DE=AE-AD，如果改變題目的條件，我們來看看式子如何變化？若改為D，E分別是AC，BC的中點，其他條件不變，則線段DE的長為多少?

說明：本環節從一道綜合題入手，分別復習了線段的和差、中點的性質等知識，更重要的是教會學生結合圖形分析問題.通過改變題目條件和圖形進行變式訓練，避免了碎片化處理，讓學生在變化過程中認識到問題的本質.經過引導，學生主動提出“條件中線段AB改為直線AB則需要分類討論”，甚至有部分同學已經有了模型思想(兩個中點所連線段的長度都可以轉化為原來兩條線段長度的和差關系).這樣的復習才是高效的，讓不同層次的學生有不同的收獲.

4.3 觸類旁通

師：在例1的研究中，我們通過改編題目，把握住了問題的本質，從會解一道題到會解一類題，這是思考的價值.對于下面這道例題，你們準備用什么方法來解決？

例2如圖4，BD平分∠ABC，且∠ABE∶∠CBE=2∶5，若∠DBE=21°，求∠ABC的度數.

圖4

說明：本環節教師沒有讓學生完整地解答，而是花較多的時間給學生思考、討論和交流，讓學生談看法和想法.如表示∠DBE，既可以用∠DBE=∠ABD-∠ABE，也可以用∠DBE=∠EBC-∠CBD.學生有了之前的經驗，結合本題的已知條件(有角之間比的關系)，很快找到了方法，甚至在課堂中學生還提出可以增加一條角平分線的想法.這不僅激發了學生的學習欲望和表達意愿，同時也拓寬了學生思維的寬度.

4.4 總結評價

師：這節課同學們積極思考，踴躍發言，通過彼此交流，一定收獲不少，請和同學們交流你的學習心得.

在學生充分交流后，教師又組織學生根據例2的背景自編一道題，根據自編情況的呈現給出評價.最后在一片歡聲笑語中結束了本節課的教學.

說明：課堂總結沒有長篇大論，只是把學生學習的內容在黑板上聯系起來，通過“可視化”的方式進行了知識的聯系，強調了“從單線到雙線”“從形到數”以及“類比”“分類”“方程”等思想方法，這些均是課堂的自然生成.而題目自編的過程，則是對解題方法的提煉，給學生充分展示的舞臺并給予學生適當的評價.課堂中，學生的編題不僅有兩條角平分線的模型題，還有令人驚嘆的圖形旋轉題，在感嘆學生創造力的同時，也是對本節課充分的肯定.

5 教學思考

從前后兩次的呈現來看，雖然后一節課訓練不多，但明顯學生學得更自主、更高效、更快樂，這值得我們思考.筆者認為初中數學復習課可以從以下三個方面進行設計.

5.1 基于學生的認知進行逆向思考，處理好訓練和引導的關系

課堂實施需考慮學生的認知水平，包括學生的學習能力和學習心理，再結合教學目標進行逆向思考，找到學生現有水平與課堂實施目標的差距，從而對實現目標的每個教學環節進行設計和論證.如初次呈現的案例中，大量的練習是不是學生所需要的就是我們應該考慮的問題，尤其復習課，沒有新意的反復練習會讓學生感到枯燥乏味，機械化訓練提高的頂多是應試能力，他們的問題意識和創新能力得不到應有的發展.所以說，數學需要適當的訓練，但更多的應該是體現教育的喚醒價值，引導學生進行數學方法的歸納，結合數學思想的滲透，讓學生養成數學思考的習慣，這樣才能提升數學素養.

5.2 根據知識的發展建立單元結構，處理好整體和局部的關系

單個知識點是零散的、孤立的，數學課堂要呈現知識的生成和發展.在教會學生知識點的同時，應該把知識點串成知識鏈，幫助學生從整體出發進行知識的建構，建立知識間的聯系及對知識本質的探究，讓學生進一步理解知識、理解數學.如在再次呈現的案例中，讓學生從整體上認識到從“單線”到“雙線”的知識建構，優化認知，便于局部知識的理解和難點的突破.正因為知識間的密切聯系，才有了思考問題和解決問題的方法一致性，從“形的認識”到“數的計算”，表面上是梳理了知識間的關系，實質上是培養了學生的結構化思維和遷移能力.

5.3 注重學生的發展設計課堂教學，處理好教知識和育全人的關系

數學課堂教學的核心任務是提升學生的思維能力和創造能力，讓數學學習助力學生成長.基于學生發展和數學理解的課堂應該凸顯學生的主體地位，教師建立大教育觀念，在課堂上讓學生經歷思考、表達和合作，發展學生的創造能力，正如史寧中先生所言“創造力應當從基礎教育抓起”.數學課堂不僅傳授知識，更要育人.教師要從“怎樣好教”到“怎樣教好”，讓學生從“學會數學”到“會學數學”.在再次呈現的案例中，變式的訓練和解題方法的多樣性強調了解題的思路和方法，提升了學生的綜合能力和思維品質；開放問題和自編題目的設置則給了學生更廣闊的思考空間和表現舞臺，引導學生對已有經驗的總結和分享，讓知識在聯系中生長.這樣的課堂培育全面發展的學生，也是數學課堂的生命力所在.