例析平行四邊形幾個重點性質(zhì)的應(yīng)用

?甘肅省平?jīng)鍪嗅轻紖^(qū)崆峒鎮(zhèn)初級中學(xué) 蘇天偉

1 引言

平行四邊形及其性質(zhì)既是初中數(shù)學(xué)的重點知識，又是歷年中考命題的熱點[1].由此可見，平行四邊形的性質(zhì)既是基礎(chǔ)又是重點，所以對于初中生而言，了解并掌握其中的幾個重點性質(zhì)非常有必要.基于此，筆者對平行四邊形性質(zhì)中的幾個重點進行研究，通過例題分析和方法探究給一線教師教學(xué)提供參考意見.

2 平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)是北師大版教材八年級數(shù)學(xué)下冊第六章第一節(jié)的內(nèi)容[2].教材在簡要給出平行四邊形的定義后，緊接著安排了平行四邊形的性質(zhì)，順序和內(nèi)容如下.

性質(zhì)1平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點就是它的對稱中心.

例1如圖1，直線BD可以將ABCD分成全等的兩個部分，這樣的直線還有很多.

圖1

(1)多畫幾條這樣的直線，看看它們有什么共同的特征；

(2)嘗試用中心對稱圖形的性質(zhì)去解釋你的發(fā)現(xiàn).

解析：(1)先畫出幾條這樣的直線，然后觀察這些直線的共同特征，如圖2所示.

圖2

性質(zhì)2平行四邊形的對邊相等.

例2小明用長50 cm的鐵絲圍成了如圖3所示的平行四邊形.已知一條邊的長為16 cm，求平行四邊形其他三邊的長.

圖3

解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)2知，AB=CD，AD=BC，則AB=CD=16(cm)，進而求出其他兩邊長均為9 cm.

性質(zhì)3平行四邊形的對角相等.

例3如圖4所示，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AB和DC邊上的點，且AE=CF.

圖4

求證：△ADE≌△CBF.

分析：本題應(yīng)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先得到AD=CB和∠A=∠C，然后由AE=CF得到△ADE≌△CBF.

性質(zhì)4平行四邊形的對角線互相平分.

例4如圖5所示，四邊形ABCD是平行四邊形，AC和BD是它的兩條對角線，且相交于點O.已知OB=3，OA=4，AB=5.試求平行四邊形的其他各邊長，并求出兩條對角線的長.

圖5

分析：本題由OB=3，OA=4，AB=5，根據(jù)勾股定理逆定理得到△AOB是直角三角形，且AC⊥BD，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得到DC，AD，BC的長度和兩條對角線的長.

3 平行四邊形性質(zhì)學(xué)習(xí)的幾個重點

平行四邊形的性質(zhì)比較多，有些容易搞混淆，一旦混淆，將極不利于“特殊的平行四邊形”的學(xué)習(xí).所以，在學(xué)習(xí)平行四邊形性質(zhì)時，應(yīng)注意以下幾個重點：

第一，巧用教材編寫意圖或規(guī)律學(xué)習(xí).

北師大版初中數(shù)學(xué)教材在介紹幾何圖形時遵循一定的規(guī)律，掌握該規(guī)律對學(xué)習(xí)其他的幾何知識非常有利[3].例如，在介紹平行四邊形時，先介紹定義，然后介紹性質(zhì)，再介紹判定定理.學(xué)生在九年級接觸“特殊的平行四邊形”時，也是按照“定義—性質(zhì)—判定定理”這一順序進行.如，在介紹平行四邊形的性質(zhì)時，是根據(jù)對稱性、(對)邊、(對)角、對角線的順序逐一介紹，那么學(xué)生在九年級接觸特殊的平行四邊形的性質(zhì)時，也是按照中心對稱性、(對)邊、(對)角、對角線的順序開展學(xué)生.本文將這兩點規(guī)律總結(jié)為如圖6所示的結(jié)構(gòu)圖.

圖6

把握規(guī)律有助于學(xué)生理解和掌握后續(xù)的知識，同時，也有助于提高學(xué)生的思維邏輯能力.學(xué)生在描述圖形的性質(zhì)時會從對稱性、(對)邊、(對)角、對角線的順序逐一進行，這一點筆者在實際教學(xué)中請學(xué)生回答相關(guān)圖形的性質(zhì)時得到了充分的體現(xiàn).

第二，準確把握性質(zhì)與判定定理的區(qū)別.

就如平行線的性質(zhì)和判定定理至今仍有很多學(xué)生易搞混淆一樣，平行四邊形的性質(zhì)和判定定理也極易搞混淆，如例5中的錯解.

例5如圖7所示，E，F(xiàn)是ABCD對角線AC上的兩點，且AE=CF.

圖7

求證：四邊形BFDE是平行四邊形

錯解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，∠DAC=∠BCA(平行四邊形的判定定理).

∵AE=CF，

∴△ADE≌△CBF(SAS).

∴∠DEA=∠BFC.

∴∠DEF=∠BFE.

∴DE∥BF.

同理，BE∥DF.

∴四邊形BFDE是平行四邊形(平行四邊形的性質(zhì)定理).

很明顯，在通過平行四邊形ABCD得到AD=BC，∠DAC=∠BCA時，應(yīng)該是利用了平行四邊形的性質(zhì)定理，而通過DE∥BF，BE∥DF得到四邊形BFDE是平行四邊形，應(yīng)該是利用了平行四邊形的判定定理.其實，要準確區(qū)分利用的是性質(zhì)還是判定定理，只需觀察上下解題步驟之間的關(guān)系.如果平行四邊形的條件寫在前，那么就是利用性質(zhì)定理；如果平行四邊形寫在后，那么就是利用判定定理.

由此可見，準確把握性質(zhì)與判定定理之間的區(qū)別，是清楚且牢固掌握平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理的前提.簡單來說，性質(zhì)是已知了平行四邊形之后才得知，而判定定理是尚未清楚圖形是否為平行四邊形，即性質(zhì)是已經(jīng)知道了圖形為平行四邊形，而判定定理是尚不知道圖形為平行四邊形，需解題者加以證明[4].

第三，注意與平行四邊形綜合的知識點.

平行四邊形和三角形一樣是初中幾何非常基礎(chǔ)的知識，在中考題中容易與其他知識點綜合生成難度較大的題目，甚至是壓軸題.

教師在教學(xué)中，不僅要注重本章節(jié)知識點的教學(xué)，還應(yīng)該將與之有聯(lián)系的其他知識點結(jié)合起來復(fù)習(xí).如平行線、角平分線、垂直平分線等就可以相互結(jié)合起來復(fù)習(xí).

例6如圖8，AD是△ABC的角平分線，DE∥AB，且BF=AE.求證：EF=BD.

圖8

證明：∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2.

∵DE∥AB，

∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3.

∴AE=DE.

∵BF=AE，

∴DE=BF.

∵DE∥BF，

∴四邊形BDEF是平行四邊形.

∴EF=BD.

4 結(jié)語

總之，教師在講解平行四邊形的性質(zhì)時，不能僅局限于本節(jié)知識點，而應(yīng)該將視野擴大，這更有利形成知識系統(tǒng).學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，既要注意易錯之處，又要借助本節(jié)知識點構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，以更豐富、更完善的知識網(wǎng)絡(luò)體系幫助自己提升解決數(shù)學(xué)問題的能力.