考慮擁堵指數的城市群復雜交通網絡級聯失效模型

霍非舟，梅依云，呂 偉 ，董格力

(1. 武漢理工大學 中國應急管理研究中心，湖北 武漢 430070；2. 武漢理工大學 安全科學與應急管理學院，湖北 武漢 430070)

0 引言

近年來，隨著區域一體化不斷發展，城市群中的各城市之間存在一定的親密度[1]，城市群中某車站或路段失效往往伴隨著多站點或多路段的失效，因而提高城市群交通網絡的抗毀性對于城市群交通網絡應急管理能力的提高有重要意義。

長期以來，網絡級聯失效思想不斷演進豐富。級聯失效思想早期多運用于計算機網絡和電力網絡[2-4]。在復雜信息網絡方面，部分學者對計算機網絡中的層級網絡、無標度網絡中的級聯失效進行了魯棒性分析[5-6]。Sun等[7]構建了多螺旋供應鏈復雜網絡演化模型，并對級聯失效進行了魯棒性分析。目前，學者們針對信息網絡中級聯失效機制及級聯失效網絡節點流量恢復策略、負載再分配全局模型、識別網絡級聯故障中的關鍵節點進行了大量研究[8-11]。Xu等[12]探究了資源分配對級聯故障時無標度網絡恢復的影響。梁悼騫等[13]基于節點容忍負載的能力調整了負載重分配策略。在電力網絡系統方面，針對供電系統、核電力廠，對關鍵級聯失效場景下的電網經濟進行了改造，建立了電力保護系統[14-15]。近年來，將級聯失效概念應用于復雜交通網絡后，針對級聯失效后網絡恢復問題提出了多種負載分配方法。Ma等[16]在雙層復雜網絡動態流量中引入了交付能力分配策略，新的分配策略與平均分配策略相比能顯著提高交通系統抗毀性。王世波等[17]針對交通擁堵問題提出了非線性負載重分配模型。王國娟等[18]基于復雜網絡設計了公交站點失效優化方案。王德龍等[19]基于蓄意攻擊研究了機場交通網絡的抗毀性。毛劍楠等[20]考慮城市基礎經濟、拓撲網絡結構以及聯系強度，提出了一種新的城市群綜合節點重要度識別方法。

綜上所述，目前對于級聯失效的研究大多是針對計算機信息網絡和電力系統網絡，近幾年許多學者將級聯失效概念引入城市群復雜交通網絡，進而對復雜交通網絡級聯失效模型有了一定研究成果。但是，現有的復雜交通網絡級聯失效模型沒有考慮道路堵塞對級聯失效負載分配的影響，所以本研究擬構建城市群復雜交通網絡，考慮擁堵指數，建立城市群復雜交通網絡級聯失效模型，從而增強城市群復雜交通網絡抗毀性，為城市群復雜交通網絡布局提供參考，保障城市群復雜交通系統的正常運行。

1 城市群復雜交通網絡模型

1.1 建立城市群復雜交通網絡

基于城市交通網絡已有的研究成果[21-23]，為建立城市群復雜交通網絡，將多個獨立交通網絡進行疊加，如圖1所示，具體方法如下：

圖1 城市群復雜交通網絡示意圖

(1)將汽車站作為節點，若汽車站之間有高速公路直接相連，則2個汽車站相鄰，2個節點之間有1條連邊。

(2)將火車站作為節點，若有鐵路直接連接2個火車站，則2個火車站相連，2個點之間有1條連邊。

(3)合并城市里的所有汽車站，由于城市中所有長途客運站的汽車要到達其他相同站點途徑同一條高速公路，所以每個城市只取最大的1個汽車客運站作為汽車站點。

(4)連接同一城市的汽車站和火車站點，若2個點之間有多條線路相連，則合并為1條。

在構建城市群復雜交通網絡時不考慮道路的方向性，城市群交通網絡為無向網絡G=(V,E)，式中V={v1,v2,v3,v4,…,vn}，vn為編號為n的節點；n為節點總數；E={e1,e2,e3,e4,…,em}，em為編號為m的連邊；m為網絡中連邊的總數；鄰接矩陣A={aij}N×N，其中N為節點總數，aij表示為：

式中，i和j為節點；節點i的度ki為與i相連連邊數，記為：

(1)

1.2 攻擊策略

邊介數指網絡中經過該邊的最短路徑數與總最短路徑數的比值[24]。具體攻擊策略有以下4種。

(1)隨機節點攻擊：隨機攻擊定量節點。

(2)蓄意節點攻擊：按照節點度從大到小對節點依次進行攻擊。

(3)隨機連邊攻擊：隨機攻擊定量連邊。

(4)蓄意連邊攻擊：按照邊介數從大到小對連邊依次進行攻擊。

假設節點失效的情況下不考慮連邊狀態，即在考慮節點失效時，連邊無初始負載無容量限制；假設連邊失效情況下則不考慮節點狀態，即在連邊失效的情況下節點無初始負載無容量限制。

2 考慮擁堵指數的復雜交通網絡級聯失效模型

在構建考慮擁堵指數的城市群復雜交通網絡級聯失效模型時，假設節點和連邊被攻擊后在試驗期間沒有恢復能力。

2.1 相關變量定義

2.1.1 初始負載

初始負載包括節點初始負載和連邊初始負載。

(1)節點初始負載

參考已有研究[25]，重新定義節點的初始負載：

(2)

(2)連邊初始負載

(3)

式中kj為節點j的度。

2.1.2 容量

(1)節點容量

節點容納負載的能力與初始負載密切相關，所以定義節點容量：

(4)

式中，Ci為節點i的容量；β為網絡負載容忍系數，且β>0。

(2)連邊容量

考慮連邊容量正比于初始負載，定義連邊容量：

(5)

式中Ceij為連邊eij的容量。

2.1.3 擁堵指數

隨著交通網絡的發展，日出行量越來越高，交通擁塞影響著人們出行路徑的選擇。針對交通擁塞的衡量，采用擁堵指數衡量交通擁堵狀態，具體定義為實際通過路段時間與路段無其他車輛時通過道路時間的比值，表達式為：

(6)

式中，Feij為連邊eij的擁堵指數；Ta為實際行駛時間；Tf為路段暢通時行駛時間。若節點vi和vj不相連，或vi和vj之間連邊失效，則Feij=+∞。

2.2 負載重分配模型

負載重分配發生在城市群復雜交通網絡節點或連邊失效和級聯失效之后，原本在節點和連邊的負載被迫分配到相鄰節點和連邊。相鄰連邊表示除連邊本身之外與連邊端點直接相連的所有連邊。節點和連邊負載重分配對復雜交通網絡的抗毀性有很大影響。

圖2為復雜交通網絡級聯失效負載分配示意圖。攻擊節點k從而導致節點k喪失全部功能，節點k的全部負載將按比例分別向A1，A2，A3，A4，A5分配，節點被分配負載較多，則節點與k連線較粗，節點被分配負載較少，則節點與k連線較細。當節點A1，A2，A3，A4，A5接受來自k的負載后可能會由于過載發生進一步失效，此時發生失效的節點可以視為“暫停節點”，即可恢復正常的節點，例如節點A1和A3。對節點A1和A3的負載進行分配，將超過容量的負載分配到相連節點，循環往復，直到所有節點恢復，級聯失效過程結束。當連邊eij的所有負載向相鄰連邊eiA5，eiA8，eiA7，eiA6分配，連邊接受負載后可能處于過載狀態，例如連邊ejA6。此時發生失效的連邊稱為“暫停連邊”，即通過重分配多余負載可恢復正常。將連邊ejA6過載的負載分配到相鄰連邊，直至網絡恢復正常，級聯失效過程結束?；谪撦d重分配時交通擁堵也是影響負載分配的一個重要因素，所以結合剩余容量和網絡擁堵指數建立負載重分配模型。在t時刻，節點i被攻擊，若節點j與i相連，則節點j接收負載比例表示為：

圖2 級聯失效負載分配示意圖

(7)

式中，ωi→j為節點i負載由i→j的比例；Γ為與節點i相連所有節點集合；Cj和Lj分別為節點j的容量和負載；Cm和Lm分別為節點m的容量和負載；Fj為i→j的擁堵指數；Fm為i→j的擁堵指數；σ為剩余容量權重；δ為擁堵指數權重；σ>0，δ>0且σ+δ=1。所以，節點j增加的負載ΔLj為：

(8)

式中Li為節點i的負載。

更新節點j的負載：

Lj(t+1)=Lj(t)+ΔLj=Lj(t)+Li×

(9)

判斷Lj(t+1)

ΔLj1=(Lj(t+1)-Cj)×ωj→j1，

(10)

式中，ωi→j1為節點j負載由j→j1的比例，可根據式(7)可得。按照式(9)更新節點j1的負載，重復操作直到節點恢復正常。

假設連邊eij在t時刻發生失效，那么，相鄰連邊的負載分配比例為：

(11)

式中，ωeij→e1為相鄰連邊e1分配到的負載比例；Λ為與連邊eij的相鄰連邊集合；e1為與失效連邊eij相連的其中1個相鄰連邊；Ce1和Le1分別為節點j的容量和負載；Fe1和eij→e1分別為節點m的容量和負載；Fe1為eij→e1的擁堵指數；Fek為eij→ek的擁堵指數。

連邊e1增加的負載ΔLe1為：

(12)

式中Leij為邊eij的負載。

更新連邊e1的負載：

Le1(t+1)=Le1(t)+ΔLe1=Le1(t)+Leij×

(13)

若Le1(t+1)>Ce1，則網絡發生進一步失效，參考式(11)，e1的鄰邊e2增加的負載為：

ΔLe2=(Le1(t+1)-Ce1)×ωe1→e2，

(14)

式中ωe1→e2為e1負載由e1→e2的比例。

按照式(13)更新連邊e2的負載，重復操作直到連邊恢復正常。

2.3 級聯失效抗毀性評估指標

為衡量節點或連邊失效對城市群復雜交通網絡的影響，采用級聯失效規模來對網絡進行抗毀性評估。表達式為：

(15)

(16)

式中，CFN1和CFN2分別為節點和連邊級聯失效規模；N′為節點失效導致其他節點失效的數目；M′為連邊失效導致其他連邊失效的數目；M為連邊總數。

2.4 城市群復雜交通網絡級聯失效模型

圖3為城市群復雜交通網絡級聯失效仿真流程圖。具體步驟如下。

圖3 城市群復雜交通網絡級聯失效仿真流程圖

Step 1：構建城市群復雜交通網絡。將各城市里的火車站、汽車站視作復雜網絡節點，2個節點間若能直接到達則連接2個節點，構建鄰接矩陣A。

Step 3：確定攻擊策略。攻擊節點vi或連邊eij，令攻擊的節點或連邊失效。

Step 4：對失效節點或連邊進行負載重分配。將失效節點或連邊的負載按式(7)～(9)分配給相鄰節點，或按式(11)～(13)分配給相鄰連邊，更新復雜網絡節點負載或連邊負載，判斷Lj是否大于容量Cj，若是，則進行Step 5，否則轉跳至Step 7。

Step 5：級聯失效節點或連邊負載重分配。將級聯失效節點或連邊過載部分的負載按式(10)或式(14)分配到相連節點或連邊。

Step 6：更新負載，判斷是否有新節點處于“暫停狀態”。節點或連邊是否存在Lj>Cj或Leij>Ceij的情況，若存在，則返回Step 5，否則進行Step 7。

Step 7：級聯失效過程結束。計算級聯失效規模變化。

3 實例研究

以長江中游城市群交通網絡為對象，根據1.1節建立長江中游城市群復雜交通網絡，得到如圖4所示的網絡拓撲圖，節點數N=108，連邊數M=336。

圖4 長江中游城市群復雜交通網絡拓撲圖

3.1 擁堵指數權重對城市群交通網絡級聯失效影響

3.1.1 隨機節點攻擊下級聯失效仿真

令α=4，τ=1.6，β=0.1，在攻擊不同節點數下，調整δ進行隨機節點攻擊下級聯失效仿真，每個試驗進行50次后取平均值，結果如圖5所示。

圖5 隨機節點攻擊下擁堵指數權重對級聯失效規模影響

由圖5可得，隨著失效節點數i的增加，級聯失效規模也明顯增大。在不發生道路擁塞的情況下，即σ=1，β=0時，網絡級聯失效規模達到最小值，在只考慮道路擁塞的情況下，即σ=1，δ=1時，網絡級聯失效規模達到最大值，這表明交通擁堵會導致交通網絡進一步失效。當δ<0.1時，隨著δ的增加，級聯失效規模明顯增大；當δ>0.1時，隨著δ的增加，級聯失效規模變化較小。因此在隨機節點失效的情況下，交通擁堵會擴大網絡級聯失效影響，當擁堵指數權重到一定閾值，交通擁堵對網絡級聯失效規模影響較小。

3.1.2 蓄意節點攻擊下級聯失效仿真

為研究在考慮擁堵指數情況下，城市群復雜交通網絡節點在蓄意攻擊下級聯失效規模變化，令α=4，τ=1.6，β=0.1。仿真結果如圖6所示。

圖6 蓄意節點攻擊下擁堵指數權重對級聯失效規模影響

由圖6可得，級聯失效規模隨著失效節點數i增加而增加，σ=1，δ=0時，網絡級聯失效規模最小；σ=0，δ=1時，網絡級聯失效規模最大。當δ<0.1時，隨著δ增加，級聯失效規模急劇上升；當0.1<δ<0.3時，隨著δ的增加，級聯失效規模呈下降趨勢，δ>0.3時，級聯失效規模緩慢增加，說明在蓄意節點失效情況下，擁堵指數權重存在2個閾值δm和δn(δm<δn)。當δ=δm時，級聯失效規模從隨著δ上升轉為隨著δ下降；當δ=δn時，在考慮擁塞時，級聯失效規模從下降轉為隨著δ上升。這表明擁堵指數權重到一定程度會使級聯失效規模下降。同時與隨機節點失效相比，蓄意節點失效造成的后果更嚴重，對網絡影響范圍更廣泛。

3.1.3 隨機連邊攻擊下級聯失效仿真

令α=4，τ=1.6，β=0.1，探究在隨機連邊攻擊下，擁堵指數權重和級聯失效規模的關系，每組試驗進行50次后對級聯失效規模求均值，得到如圖7所示結果。

圖7 隨機連邊攻擊下擁堵指數權重對級聯失效規模影響

從圖7可以看出，當δ<0.2時，CFN2為0，復雜網絡不發生級聯失效，失效連邊數和δ對級聯失效規模沒有影響；當δ>0.2時，隨著δ的增大，級聯失效規模不斷上升，直至δ=1，級聯失效規模達到最大值。這表明在隨機連邊失效情況下，當δ小于0.2時，擁堵對CFN2無影響；當δ>0.4時，i越大，CFN2越大，且當δ增大時，級聯失效規模變化較快，說明擁堵指數權重達到一定程度后，隨著擁堵指數權重的增加，級聯失效規模也不斷增加。對比圖4，級聯失效規模比隨機節點攻擊下要小，這是由于連邊的相鄰連邊個數多于節點相連邊個數，在負載分配時接受分配的連邊越多，越不容易發生級聯失效。

3.1.4 蓄意連邊攻擊情況下級聯失效仿真

為研究在連邊蓄意攻擊情況下，擁堵指數權重和級聯失效規模的關系，令α=4，τ=1.6，β=0.1，結果如圖8所示。

由圖8可得，蓄意連邊失效比隨機連邊失效產生的后果更嚴重，這是因為蓄意失效的連邊是介數較大的邊，所以需要分配的負載就更多，導致連邊更容易發生級聯失效。擁堵指數權重δ存在閾值δc，當δ<δc，網絡不發生級聯失效，i越大δc越小，例如當i=10時，δc=0.6，當i=40時，δc=0.3，但i=50時，不存在閾值δc，這是由于失效連邊數足夠大時，復雜交通網絡越易發生級聯失效，δ越大，CFN2越大。δ=0時CFN2達到最大值，i越大級聯失效規模越大。

對比圖5～圖8可知，節點失效比連邊失效對交通網絡的級聯失效影響更大，因此，對于大型城市群交通網絡，要注意維護重要節點的正常運行，在交通擁堵情況下，調整擁堵指數權重，使得剩余容量和擁堵指數保持相對平衡可以減少級聯失效規模。

3.2 節點和連邊重要性評估

為研究長江中游城市群交通網絡節點和連邊的重要性，令α=4，τ=1.6，β=0.1，σ=0.5，δ=0.5，假設每個節點或者連邊單獨失效，研究城市群交通網絡級聯失效過程，得到如圖9和圖10所示結果。

圖9 節點單獨失效對級聯失效規模影響

圖10 連邊單獨失效對級聯失效規模影響

從圖9和圖10可得長江中游城市群復雜交通網絡中的重要節點和連邊。并且可得交通網絡節點級聯失效規模平均值為4.094 39×10-4，交通網絡連邊級聯失效規模平均值為2.851 65×10-5，所以，節點失效相比于連邊失效對于網絡級聯失效影響更大。取最易發生級聯失效前5個節點和最易發生級聯失效前5條路段，如表1所示。

由表1可看出，在對長江中游城市群復雜交通網絡日常維護和管理時，要特別注意武昌站、武漢汽車站、武漢站、漢口站、咸寧汽車站、長沙站、長沙南站、九江汽車站等9個站點的狀態，保證復雜交通網絡系統正常運行。天門南站—仙桃西站、孝感北—孝感汽車站、咸寧汽車站—南昌站、仙桃汽車站—天門汽車站、潛江汽車站—潛江站、天門汽車站—孝感汽車站、武昌站—襄州站、襄陽站—襄州站、黃石北—黃石客運站、大治北站—黃石站等50個路段需要重點關注和管理，防止這些路段失效導致交通網絡發生嚴重的級聯失效。

表1 長江中游城市群重要站點和路段

4 結論

基于城市群交通復雜網絡，提出了考慮擁堵指數和剩余容量的級聯失效負載重分配模型，構建了城市群復雜交通網絡級聯失效模型。分析了擁堵指數權重與城市群交通網絡級聯失效規模的關系，并對復雜網絡中的節點和連邊重要性進行評估，確定了長江中游城市群重要站點和路段。主要結論如下：

(1)失效節點越多，級聯失效規模越大。交通擁堵會導致復雜網絡發生進一步的級聯失效，在不發生擁堵時，即所有路段均暢通情況下，網絡級聯失效規模最小。

(2)隨機節點失效下，交通擁堵到一定程度，交通擁堵對復雜網絡級聯失效影響較??；蓄意節點失效下，存在1個最佳的擁堵指數權重，使得復雜網絡級聯失效規模較小。

(3)隨機和蓄意連邊失效下，擁堵指數權重存在閾值，擁堵指數權重小于閾值時復雜網絡不發生級聯失效，大于閾值時擁堵指數權重越大復雜網絡級聯失效越嚴重。但蓄意連邊失效比隨機連邊失效造成的后果更嚴重，因此要保護邊介數較大的連邊，并且控制復雜交通網絡擁堵指數權重不超過其閾值。

(4)確定長江中游城市群9個重要站點和50個重要路段，并且節點失效相較于連邊失效對于復雜交通網絡影響更大。

本研究不僅可為長江中游城市群交通網絡規劃提供參考，促進長江中游城市群交通運輸系統發展，提高交通網絡管理水平，并且提出的級聯失效模型可準確地判定關鍵站點和路段。后續研究工作將考慮根據乘客目的地的差異性構建復雜交通網絡級聯失效模型，進一步研究、優化復雜交通網絡級聯失效模型。