淺談如何在教學中滲透模型思想

藍穗雅

數學思想是人對現實世界進行“數學化”思維抽象和創造的結果，對各種事物抽象概括及事物間關系的模式建構；是對高度概括的概念、定理、公式等的本質認識和反映。

《新課標》指出：數學課程內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。同時，《新課標》的課程總目標部分指出：學生在經歷小學及初中階段的數學學習后，以“四基”能力，即：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗來適應社會生活和繼續發展數學，這樣看來數學思不僅是數學學習的重要內容，也是數學學習的基本目標。

數學模型是以某種事物本質特征或數量為基礎，運用數學化語言，簡化、抽象為合理的數學結構的過程。建立數學模型的過程稱之為數學建模，一般包括四個步驟：問題情境──建立模型──解釋──應用。建構模型必須要學生親身參與，不是由教師“打包”硬塞給學生。簡潔的公式、定理學生不經歷構建推演，在解決實際問題中，只能生搬硬套，做不到靈活運用。數學建模過程是數學教學的核心目標之一，當模型思想滲透于學生數學學習的過程中，是學生數學素養形成的重要體現。

一、凸顯數學模型學習的過程性

建模的過程，有利于學生聯系生活實際、從已有的知識經驗落腳，在不斷建構中，學習理解和運用數學，這一學習過程有利于改變教師教學生聽的“注入式”的教學模式，將學生推到主體地位，使學生在大量的觀察操作實驗中，積極參與數學活動，在思考探索的基礎上培養學生的各種能力，同時，非“注入式”教學模式既有利于學生掌握數學知識的本質，又有利于擴寬學生數學思想的深度，解決實際問題的能力，體會數學在實際生活的應用，發展學生良好的數學學習情感體驗。

數學的教學過程實際是以“問題”為線索，以“解決問題”為主線，教師指引方向。在問題解決過程中，根據所給信息，讓學生搭建“腳手架”，用數學符號表示問題中的數量關系和變化規律，建立問題框架，構建數學模型。同時，培養學生的抽象、概括及創新能力，使學生理解和掌握數學知識與技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗。

以北師大版一年級數學《一共有多少》為例：

集合是現代數學的基本概念。加法運算模型的實質是把給定集合中各自元素的個數合并在一起，得到一個新的數量（表示新集合中的元素個數），現實生活中蘊含著大量與數量有關的原型，如合并、移入、增加等，是學生學習加法模型的前提和基礎。

本課分為三個層次呈現：

第一層：創設多個豐富的現實情境（“一共有多少支筆”和“一共有多少只熊貓”），初步感知加法的實際意義：把兩部分“合起來”這是學生理解加法的基礎；呈現笑笑和淘氣的對話，整個過程是學生認識數的運算的實物演示過程，既蘊含這對清經過的理解，也包含了計算的方法──數。

第二層：通過直觀模型（圖片操作、畫圖解釋、手指演示等）再次體會加法的意義，加深理解。

第三層：通過“說一說”用語言描述很畫圖解釋的方式，進一步體會圖像表征的過程，幫助學生用多種方式表達對加法意義的理解，體會加法在生活中的應用。

從學生理解、思維方式的角度看，大量豐富的情境為學生提供了更多的加法原型，引導學生進行合并的操作，發現歸納各種原型的本質，都蘊含了“合并”的意思，形成對加法模型的建構。在學生經歷多種解決問題的方法和策略（數一數、畫一畫、擺一擺），讓學生體會不同情境中的共同特性，引導學生思考的方向，有助于培養學生探索并建立適合自己的理解和學習方式，而不只是要學生會用“3+2”來求出結果，幫助學生進一步理解加法的意義，使學生不斷地積累經驗，固化對加法運算模型的建構和理解。

在此基礎上，學生構建起2+3=5這個算式，并讓學生繼續通過說一說、填一填的活動，理解2+3=5的含義。應該說，這個過程是讓學生經歷了，基于問題情境建立加法運算模型的完整過程，這對學生感受理解并掌握加法運算的本質，發展抽象思維能力都有極大的作用。

在具體情境中抽象出加法模型后，建模并未結束。還要變換問題情境，將加法模型運用到現實生活中去，以此深化模型的內涵。故而教材呈現一個新的問題情境（練一練7.說一說，算一算。），這是要求學生根據真實的生活情境說一說發現的加法問題。在多種事物中，分類出同類物品，抽象出數量，建立數量關系，明確同類物品相加的道理，擴展模型的外延。

二、抓住轉化，厘清方法，建立模型

數學模型的建立以豐富的現實問題為原型，具體問題為載體，學生經歷多種思維活動，以多種數學思想方法的支撐，發現這些原型的本質特征，才能建構好數學模型。

以北師大版六年級數學《圓的面積》為例：

教材以具體的一個問題 “如何得到一個圓的面積” 為開端。利用圓內接規則多邊形，發現圓的面積總是比規則多邊形的面積大；圓內數格子也存在誤差。這兩種方法的結果都是得到近似值，而無法準確計算圓的面積。教材提示用“轉化”的方法，將圓轉化成我們學過的規則圖形，那么可以利用規則圖形面積計算公式得到圓的面積的準確值。轉化后的面積不會發生變化，轉化后圖形的面積就是圓的面積。“轉化”的數學思想就是將未知的知識內容轉變為已知的知識內容，在轉化的過程中，知識內容的本質不變。

在轉化時，通過對圓的等份（偶數份）切割，較短的曲線近似看成線段（化曲為直），在多次等分中，可以發現將圓等分的份數越多，每一份扇形的弧線就越向線段逼近，拼成的圖形就越接近平行四邊形，當圓等分的分數足夠多，那么圓就可以轉化為一個平行四邊形。由“曲”變“直”的轉化中讓學生在有限分割中體會無限細分，在無限逼近中體會極限思想。

找到拼成的平行四邊形和圓之間的聯系，即新圖形其中的一部分相當于原圖形的哪一部分是“轉化”的關鍵。轉化成的平行四邊形的底相當于圓的周長，轉化成的平行四邊形的高相當于圓的半徑。由平行四邊形的面積公式可得：。

圓的面積計算公式的推導方法不只有將圓轉化成平行四邊形這一種，還可以將圓轉化成五年級學過的規則圖形，如：長方形、三角形、梯形等，無論轉化成哪一個圖形，都能推導出：S=π。

數學知識要注重 “生長點”和“延伸點”，引導學生感受數學的整體性，體會某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。數學思想蘊涵在數學知識發展的全過程，學生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎上，只有在親身參與學習活動，才能在數學思考、問題解等方面得到發展。在教學中，教師要把基本思想轉化成自己的教學行為，讓學生的各方面素質在潛移默化中得到提升；數學教育既要使學生掌握基本的數學知識與技能，更要發揮在活動中培養人思維和創新能力的作用。