基于聚類分析的初中生數學應用能力評價體系研究

唐小娟

摘要：《全日制義務教育數學課程標準》再三強調了初中生數學應用意識和應用能力，但目前為止，未有相關的評價體系以促進學生該能力的提升。本文通過問卷調查，研究某個數學內容的評價指標，采用聚類分析的方法建構指標之間的結構體系。

關鍵詞：數學應用能力；義務教育；聚類分析

一、引言

2011 年，教育部頒布的《全日制義務教育數學課程標準》（以下簡稱《課標》）在各學段中安排了四個部分的課程內容：“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”。其中，“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主，目的是培養和提高學生解決現實問題的能力。

從二十世紀開始，英國開始關注數學的應用，九十年代，在推行的國家課程中，他們把使用和應用數學作為重要的目的之一。二十一世紀初，日本在新課改中設置綜合學習課程，目的是增強學習者的數學應用意識，提升應用能力。特別提到初中學生要提高用數學分析現象的能力。在荷蘭，費賴登塔爾提到數學教育要面向社會現實、聯系實際生活，增強學生從客觀現象發現數學的能力。荷蘭的中學十分關注數學的應用，在數學課程中融入許多實用性很強的知識。美國數學教育學家舍費爾德提出“問題解決的理論主要包括如何綜合地應用已有的數學知識、思想和方法解決實際問題，問題解決為學生提供實踐應用數學的機會，利于把數學應用到非常規問題和現實問題”。美國的課程標準要求所有學生在21世紀應具備應用數學的能力。德國的數學教學內容上有大量與工業和經濟有關的知識，目的是讓學生學習解決實際問題的理論，從而解決實際問題。法國強調讓學生運用所學的知識解決自己在實踐中遇到的實際問題，他們在教學內容上提出大量與實際密切相關的問題。新加坡2000年修訂的中學數學教學大綱目標是培養學生的數學問題解決能力，該能力指在實際任務、現實生活問題和純數學問題中使用和應用數學。[1]在國內，二十世紀八十年代，數學教學大綱就提出培養學生解決實際問題的能力，直至最新的數學課程標準的頒布，文件中一直強調數學的應用能力。王尚志提出培養學生的應用意識是數學課程的重要目標。[2]對數學應用能力方面的研究主要集中在現狀研究、影響因素研究和培養策略研究三方面。[3-5]

事實上，在以往的教學中，初中數學老師只注重基礎知識的教學，將所學數學技能運用于具體實際問題的解決或者說參與相關的實踐活動則少之又少，不利與學生數學應用能力的提升。同時，目前研究也未有初中生數學應用能力的評價體系去驅動和加強他們對數學的實際應用能力的重視，所以建構相關評價體系尤為重要。本文采用聚類分析方法，對指標進行分析，以建構相應評價體系。

二、聚類分析

聚類分析是根據待分類模式特征的相似或相異程度將數據樣本進行分類，從而使同一組的數據盡可能相似，不同組的數據盡可能相異。[6，7]若各組類數據相似度越大，組間的數據差異越大則分類效果越好。[8]聚類分析具有強大的數據分析能力，使得它在各行各業中發揮了巨大作用。主要的聚類分析方法有：基于k-means算法和k-medoids算法的劃分法；基于BIRCH算法、CURE算法、ROCK算法、Chameleon算法等的層次方法、網格法和模型法。

2022版《義務教育數學課程標準》包括數感、量感、符號意識、抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念等數學能力。PISA數學測評認為學生的數學素養包括應用能力，表達能力和闡述與評估能力，這些能力均建立在推理基礎之上。綜合兩方面提出的考察指標，以七年級上學期第二章《整式的加減》為例，主要提出幾個評價指標：數感、量感、符號意識、抽象能力、運算能力、推理能力、模型觀念，其中推理能力又細分為觀察、歸納和類比，總共十個指標。采用聚類分析法中的層次分析方法，找出指標之間的結構關系，進而建構相應評價體系。

編制了七年級上學期第二章《整式的加減》調查問卷，研究對象為南昌市某中學七年級學生，共487人，發放問卷全部有效收回。首先，面對所有學生進行數學應用能力的調查，并結合問卷的作答情況，得到所有學生的上述能力的掌握情況。采用層次分析法，對所有學生的評價能力進行分析，分析結果如圖1：其中VAR0001-10分別表示數感、量感、符號意識、抽象能力、模型觀念、觀察、歸納、類比、推理能力和運算能力。從分層結果可知：可將所有的這些能力分為3個維度，分別為模型觀念、運算能力和其他能力構成的一組。其中其他能力構成的一組與PISA的表述較為相似，即以數學的結構、表征和陳述解決現實問題，進行推理，而這些均需用到數感、量感、符號意識、抽象能力、觀察、歸納、類比和推理能力；模型觀念與PISA中的運用能力一致，即運用數學概念和推理進行計算，建構數學模型，以解決數學表述問題；運算能力也即根據計算結果進行評價或闡述。

三、結論

本文討論初中生數學應用能力的評價體系，以七年級學生的《整式的加減》為例，采用聚類分析方法，對10個指標進行分析，得到評價分為3個維度，模型觀念、運算能力和其他能力構成一組。該分析結果與PISA提出的三個數學素養表述、運用和闡述或評價基本一致。

參考文獻：

1.蔡雅楠.培養初中生數學應用能力的教學研究[D].天津師范大學，2011.

2. 王尚志，孔啟平. 培養學生的應用意識是數學課程的重要目標[J].數學教育學報，2002，11（2），43-45.

3.劉赫.初中生數學應用意識的現狀調查及培養策略[D].遼寧：遼寧師范大學，2019.

4.黃宇瑛.高中生數學應用意識培養研究[D].長春：東北師范大學，2006.

5.曾慶可.中學數學教育中數學應用意識的培養探討[D]. 華中師范大學，2004

6.王駿.無監督學習中聚類和閾值分割新方法研究[D].南京理工大學，2010.

7.王敏.分類屬性數據聚類算法研究[D].江蘇大學，2008.

8.張靜.數據挖掘中聚類分析綜述[J].價值工程，2014（15）：226-227.

基金項目：江西省教育科學“十三五”規劃2020年度課題（20YB028）