談談解證明題的常用方法

繆鵬

證明題是高中數學中的一類重要題型，經常出現在各類試題中.常見的命題形式有：（1）證明某一個不等式成立；（2）證明某一個代數式為定值；（3）證明某一條直線恒過一個定點；（4）證明某一個結論成立.此類問題側重于考查同學們的邏輯推理和分析能力.下面結合實例探討一下如何解答證明題.

一、分析法

運用分析法解題的基本思路是“執果索因”，即從結論出發，通過分析、推理、運算，不斷地去尋找使已知條件成立的充分條件，直至得到與已知條件一致或某個明顯成立的結論．在解題時，需明確哪些是問題的條件，哪些是問題的結論，然后由“結論”推出“條件”．

例1.已知函數f（x）=log2（x+2），a，b，c是兩兩不相等的正數，且成等比數列，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關系，并證明你的結論．

解：

運用特值法猜測出f（a）+f（c）與2f（b）的大小關系后，需采用分析法證明結論.在運用分析法解答證明題時，往往要采用“要證—只需證—即證”的格式.

二、反證法

假設原命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，由此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的解題方法叫反證法.反證法是一種間接的證明方法.用這種方法證明命題的一般步驟為：（1）假設命題的結論不成立；（2）根據假設進行推理，直到導出矛盾為止；（3）斷言假設不成立；（4）肯定原命題的結論成立.

例2.

反證法往往適用于求證正面情況較多或較復雜的證明題.當問題中出現“不大于”“不都是”“不是”“至多”“至少”等字眼時，運用反證法求證往往比較有效.

三、數學歸納法

數學歸納法適用于證明與正整數有關的命題.運用數學歸納法證明問題的一般步驟為：

（1）證明當n取第一個值n0（例如n0=1，n0=2）時，結論成立；

（2）假設當n=k（n∈N且k≥n0）時結論成立，證明當n=k+1時結論也成立.

完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有自然數n都成立.

例3.

運用數學歸納法解答證明題的關鍵是由當n=k時的結論成立，推出當n=k+1時的結論也成立.

在解答證明題時，不要局限于一種方法，有時可同時運用兩種或兩種以上的方法進行求證，例如在運用數學歸納法時，可采用分析法、比較法等證明當n=k+1時的結論成立；在運用比較法時，可同時運用分析法來比較差式與0，商式與1之間的大小關系.

（作者單位：江蘇省栟茶高級中學）