破解極值點偏移問題的幾個“妙招”

鄒永喜

在連續(xù)區(qū)間（x1，x2）上，通常有f（x1）=f（x2），此時極值點x0=x1+x22.由于每個函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的變化率不同，所以有些極值點會出現(xiàn)一定程度的偏移，導致x0≠x1+x22及x1+x2＞2x0（或＜2x0）這些不等關系出現(xiàn).極值點偏移問題的難度通常較大，往往需要采取一些相應的解題技巧，才能使問題順利獲解.本文主要介紹破解極值點偏移問題的三個“妙招”，供大家學習和參考.

一、換元

換元法是求解極值點偏移問題的常用方法.通常需引入新變量，將比值x2x1或差值x2-x1替換，然后根據(jù)已知關系式消去x1、x2，從而構(gòu)造出關于新變量的函數(shù)式，再利用函數(shù)的性質(zhì)解題.

例1.

解答本題，需首先借助關系等式f（x1）=f（x2）=0，將參數(shù)a轉(zhuǎn)化為lnx2-lnx1x2-x1，將目標式轉(zhuǎn)化為關于x2x1的式子，然后用參數(shù)t替換x2x1，通過換元，將目標式轉(zhuǎn)換為關于t的式子，再構(gòu)造函數(shù)f（t），并利用導數(shù)法證明f（t）＞2，即可證明x1x2＞e2.

二、構(gòu)造對稱函數(shù)

構(gòu)造關于極值點x0的對稱函數(shù)，能使極值點偏移問題快速獲解.運用構(gòu)造對稱函數(shù)的技巧解題的基本思路是：①根據(jù)題意求出極值點x0的值，構(gòu)造與極值點x0有關的對稱函數(shù)F（x）=f（x）-f（2x0-x）或函數(shù)F（x）=f（x0+x）-f（x0-x）；②對函數(shù)F（x）求導并得到對應的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出f（x）、f（2x0-x）之間的大小關系；③根據(jù)f（x1）=f（x2）判斷出f（x1）、f（2x0-x2）的大小關系；④利用f（x）的單調(diào)性得出結(jié)論.

例2.

解答本題，主要運用了構(gòu)造對稱函數(shù)的技巧.根據(jù)題意構(gòu)造對稱函數(shù)F（x）=f（x）-f（2-x），然后對F（x）求導，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可比較出f（x）和f（2-x）、f（x1）和f（2-x2）、f（x2）和f（2-x2）的大小關系，進而證明不等式成立.

三、利用對數(shù)均值不等式

對數(shù)均值不等式ab＜a-blna-lnb＜a+b2在解題中應用廣泛.運用對數(shù)均值不等式求解極值點偏移問題，需根據(jù)已知條件找出等量關系式，將其變形為等價的對數(shù)式.可在等式的兩邊同時取對數(shù)或分離等式中的對數(shù)式，然后根據(jù)化簡后式子的結(jié)構(gòu)特點選擇合適的對數(shù)均值不等式，將其代入不等式中并放縮，即可解題.

例3.

首先根據(jù)f（x）=xlnx和f（x1）=f（x2）=m建立等量關系式，由于該等式中含有對數(shù)式，可直接將對數(shù)式分離，然后根據(jù)對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，運用對數(shù)均值不等式a+b2＞a-blna-lnb將對數(shù)式放縮，從而證明結(jié)論.

例4.

解答第二個問題，需首先根據(jù)第一個問題的結(jié)論得到關系式x1x2=1，然后根據(jù)對數(shù)均值不等式x1x2＜x1-x2lnx1-lnx2進行放縮，即可證明不等式成立.

雖然極值點偏移問題較為復雜，但是在解題時，我們只要仔細審題，根據(jù)已知條件建立恰當?shù)年P系并進行合理的變形，就能通過換元，構(gòu)造對稱函數(shù)，利用對數(shù)均值不等式求得問題的答案.

（作者單位：廣東省韶關市新豐縣第一中學）