談?wù)劧?xiàng)分布的判定及其概率公式的應(yīng)用

何燕燕

二項(xiàng)分布是一種重要的分布，很多同學(xué)不能正確判斷一個(gè)變量是否服從二項(xiàng)分布，自然也不能很好地利用二項(xiàng)分布的概念來(lái)解題.下面，我們來(lái)重點(diǎn)剖析二項(xiàng)分布的定義，并探討一下判定一個(gè)變量是否服從二項(xiàng)分布的方法，以及利用二項(xiàng)分布的定義求解相關(guān)的概率問(wèn)題.

一、二項(xiàng)分布的定義及概率公式

在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若（1）每次試驗(yàn)都有兩個(gè)相互對(duì)立的結(jié)果，分別為“成功”和“失敗”；（2）每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1-p；（3）各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，用X表示n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為X?B（n，p）.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）.

對(duì)于這個(gè)定義和概率公式，我們要明確三點(diǎn)：

1.n次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，條件（3）說(shuō)明了各個(gè)試驗(yàn)的獨(dú)立性，條件（1）（2）說(shuō)明了試驗(yàn)的重復(fù)性；

2.服從二項(xiàng)分布的變量是指n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件“成功”的次數(shù)；

3.概率公式P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）中的Ckn是一個(gè)組合數(shù)，pk是k次成功的概率，（1-p）n-k是n-k次不成功的概率.由于k次成功和n-k次不成功相互獨(dú)立且同時(shí)發(fā)生，所以pk（1-p）n-k表示k次成功n-k次不成功的概率.由于k次成功有Ckn種可能，所以任何一種可能發(fā)生的概率都是pk（1-p）n-k，因此在n次試驗(yàn)中，k次成功且n-k次不成功發(fā)生的概率是Ckn個(gè)pk（1-p）n-k相加，即Cknpk（1-p）n-k.

二、判斷一個(gè)變量是否服從二項(xiàng)分布的方法

判斷一個(gè)變量是不是服從二項(xiàng)分布，主要看三點(diǎn)：

1.各次試驗(yàn)中的事件是否相互獨(dú)立，即試驗(yàn)是不是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；

2.在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是否相同.

3.在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果是否只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.

例1.女性患色盲的概率是0.25%，X為任取n個(gè)女人中患色盲的人數(shù)，請(qǐng)判斷X是否服從二項(xiàng)分布.

分析：把檢查n個(gè)女人是否患色盲看成是n次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)檢查一個(gè)女人，有兩個(gè)結(jié)果：患色盲與不患色盲，可以分別看成“成功”和“失敗”兩種情況.檢查色盲患者在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是0.25%，即“成功”的概率在每次試驗(yàn)中都是0.25%，“失敗”的概率即不患色盲，在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是99.75%.在各次試驗(yàn)中，由于婦女不同，檢查結(jié)果相互之間不影響，即各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.因此n次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).而X是n個(gè)女人中患色盲的人數(shù)，可以看成是n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)，所以X服從二項(xiàng)分布，且是服從參數(shù)分別是n，0.25%的二項(xiàng)分布，記作X?B（n，0.25%）.

三、概率公式的應(yīng)用

一些與二項(xiàng)分布有關(guān)的問(wèn)題中要求根據(jù)實(shí)驗(yàn)的情況求概率.對(duì)于此類問(wèn)題，我們需先根據(jù)二項(xiàng)分布的定義判斷變量是否服從二項(xiàng)分布，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）進(jìn)行求解.

例2.已知一批產(chǎn)品的次品率是0.12，從中任取5件，設(shè)X為5件中的次品數(shù)，求P（X=3）.

分析：把抽取5件產(chǎn)品看成是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次所抽到的產(chǎn)品有兩種情況：次品與不是次品，我們將是次品看作是“成功”，不是次品看作是“失敗”.由題意可知，每次抽到次品的概率是0.12，即“成功”的概率是0.12，“失敗”的概率是0.88，且各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響.用X表示5件產(chǎn)品中的次品數(shù)，即X代表5次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，因此X服從二項(xiàng)分布，記作X?B（5，0.12）.根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式P（X=k）=Ck50.12k0.885-k（k=0，1，2，3，4，5），可得P（X=3）C350.1230.882==0.013381632.

在解答問(wèn)題時(shí)，我們通常要先判斷n次試驗(yàn)是否是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，然后找到服從二項(xiàng)分布的變量.一般來(lái)說(shuō)，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功或不成功的次數(shù)都是服從二項(xiàng)分布的.設(shè)成功的次數(shù)為X，則X～B（n，p）；設(shè)失敗的次數(shù)為Y，則Y～B（n，1-p）.要根據(jù)所求的概率是與成功有關(guān)，還是與失敗有關(guān)，來(lái)確定服從二項(xiàng)分布的變量.

（作者單位：陜西省神木市職業(yè)技術(shù)教育中心）