怎樣求解二面角問題

趙萍

二面角問題在立體幾何中比較常見，常見的命題形式有求二面角的大小、求二面角的余弦值，證明兩個平面互相垂直等.此類問題的難度一般較大，需綜合運用立體幾何知識、平面幾何知識、解三角形知識、三角函數知識，才能順利求得問題的答案.本文結合實例，重點探討一下求解二面角問題的幾種常用方法.

一、定義法

二面角是由從一條直線出發的兩個半平面所組成的，而二面角的大小往往是用其平面角的大小來表示，因此在求二面角的大小時，通常要用到二面角的平面角的定義：過二面角的棱上的一點在兩個半平面內作垂直于棱的射線，兩射線所成的角.然后根據正余弦定理、勾股定理求得二面角的平面角的大小，即可求得二面角的大小.

例1.

解答本題主要運用了定義法，需根據二面角的平面角的定義，在二面角B-PC-A的棱PC上任取一點D，過D分別作DE⊥PC，DF⊥PC，從而確定了二面角B-PC-A的平面角∠EDF，再根據余弦定理求得cos∠EDF的值.

二、垂面法

垂面法是指作一個垂直的平面，根據其中的垂直關系求得問題的答案.在求解二面角問題時，若題目中涉及的垂直關系較多，可過二面角棱上的一點在兩個半平面內作棱的垂線；也可將兩個半平面內的垂線平移，使其交于一點；還可過一條垂線上的一點作另一個平面的垂線，從而構成一個垂面，則垂面上的兩條垂線或其平行線所形成的夾角即為二面角的平面角.最后根據勾股定理即可求得二面角的平面角的大小.

例2.

本題中的垂直關系較多，于是分別過B、D作DH⊥PC，BH⊥PC，得到PC的垂面BHD，據此確定二面角B-PC-D的平面角∠BHD，再在△BHD中由余弦定理即可求得∠BHD的大小，進而求得二面角B-PC-D的大小.值得注意的是，二面角α的范圍為：[0，π].

三、三垂線法

三垂線法是利用三垂線定理解題的方法.運用三垂線法求解二面角問題，需先找到平面的垂線，然后過垂線上的一點作平面的斜線，若平面內的一條直線與平面的斜線垂直，那么這條直線與斜線在平面內的射影垂直，根據這些垂直關系就可以確定二面角的平面角，最后根據勾股定理、正余弦定理即可求得平面角的大小.

例3.

根據題意作AH⊥BC，便可知AH為PH在平面ABCD內的射影，由三垂線定理可得BC⊥PH，由此可確定∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，再在Rt△PHA中根據正切函數的定義求得∠PHA的大小，進而可得到二面角P-BC-A的大小.

由此可見，求解二面角問題的關鍵有兩步：第一步，根據二面角的平面角的定義、三垂線定理、垂面的性質，確定二面角的平面角；第二步，根據勾股定理、正余弦定理、三角函數的定義求得平面角的大小.

（作者單位：江西省贛州市南康第三中學）