選用合適的方法，提升證明不等式的效率

汪程

不等式證明題的題型多變，解法多種多樣，對同學們的數學思維和邏輯推理能力有較高的要求.證明不等式的方法有很多種，如比較法、分析法、綜合法、導數法、構造法、放縮法等.下面重點探討一下比較法、綜合法、分析法、放縮法.

一、比較法

比較法是證明不等式的基礎性方法.運用比較法證明不等式，需將不等式左右兩邊的式子作商或作差，然后將商式與1進行比較，將差式與0作比較，再根據所得的結果證明不等式.

例1.

二、綜合法

綜合法是證明不等式問題的常用方法，對一些較為復雜的不等式證明題，通常采用綜合法求證.運用綜合法證明不等式，往往要將已知條件與所證目標關聯起來，從已知條件出發，尋找相關的公式、定理、性質等對不等式進行變形，通過一系列的推理、運算，推出目標不等式.

例2.

本題中的目標不等式較為復雜，需由條件出發，根據指數的性質和不等式的可加性、傳遞性、可乘性證明結論.

三、分析法

分析法是指從所要求證的目標出發，利用相關的公式、定理、性質等進行推導，逐步找到使得命題成立的充分條件，直至得到使不等式明顯成立的條件.運用分析法證明不等式，需“執果尋因”，采用“要證——則證——即需證——即證”的格式.

例3.

四、放縮法

有些不等式較為復雜，利用相關的公式、定理、性質無法直接證明不等式，需將不等式一側或兩側的式子放大或者縮小，再利用不等式的傳遞性證明不等式成立.若要證明A≤B，可以將B縮小成為D≤B，或者將A放大成為A≤C，然后證明A≤C≤D≤B，從而證明不等式.

例4.

解答本題，主要運用了放縮法，先將不等式左邊的式子平方，并縮小，只要證明縮小后的代數式依然大于1，則可利用不等式的傳遞性則證明不等式左邊的式子也大于1.

同學們在證明不等式時，要仔細觀察所要求證的不等式，抓住其特點，明確其結構，并將其與已知條件關聯起來，然后將其左右的式子作商、作差，放縮，利用相關的公式、定理、性質進行推理、運算，靈活運用比較法、綜合法、分析法、放縮法來證明.

（作者單位：湖北省十堰市鄖陽中學）