如何根據數列的遞推關系式求通項公式

毛佳艷

數列的遞推關系式一般是指相鄰兩項或三項之間的關系，通常用an+1、an、an-1來表示.由遞推關系式求數列的通項公式，需仔細研究數列的遞推關系式，對其進行合理的變形，才能順利求得問題的答案.本文主要談一談如何根據數列的遞推關系式的形式求其通項公式.

一、形如an+1-an=f（n）的遞推關系式

形如an+1-an=f（n）的遞推關系式，表示的是數列的前后兩項之差項是一個關于n的式子，可以將通項公式an用相鄰兩項之差的和來表示，即an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1.根據遞推關系式求得這些相鄰項之差的和，便可用關于n的式子來表示an，化簡所得的結果，即可求得數列{an}的通項公式.

例1.

令n=1，2，3，…，n-1，便可根據已知的遞推關系式，求得數列中所有相鄰兩項之差，將其累加，即可求得數列的通項公式.對于形如an+1an=f（n）的遞推關系式，也可采用類似的思路，令n=1，2，3，…，n-1，將這些式子累乘，即可求得數列{an}的通項公式.

二、形如an+1=Aan+B的遞推關系式

形如an+1=Aan+B的遞推關系式比較常見，通常需引入參數k，將其設為an+1-k=A（an-k），然后將其與已知遞推關系式的系數進行對比，即可求得k的值，這樣便構造出等比數列{an-B1-A}.根據等比數列的通項公式，就能求得數列{an}的通項公式.

例2.已知數列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求數列{an}的通項公式.

引入參數k，便可構造出等比數列｛bn｝，根據等比數列的通項公式求得數列｛bn｝的通項公式，即可得到數列{an}的通項公式.

例3.

通過取倒數，便可將遞推關系式轉化為an+1=Aan+B的形式，再引入參數，便可構造等比數列，根據等比數列的通項公式來求得問題的答案.

可見，遞推關系式不同，求數列通項公式的方法也不相同.因此，求數列的通項公式，要重點研究數列的遞推關系式，將其進行合理的變形，如令n=1，2，3，…，n-1，再將其累加或累乘；引入參數或取倒數，再將其構造成等差、等比數列的通項公式，這樣便可將問題順利轉化為簡單問題來求解，達到化難為易的目的.

（作者單位：陜西省神木市職業技術教育中心）