坐標系是如何“誕生”的

宋巧巧

我們知道，坐標的意義在于將代數(shù)與幾何聯(lián)系起來.然而，坐標系雖然看似簡單，但它的形成卻是一個十分漫長的過程.

從本質(zhì)上講，坐標就是一種位置參考.古代的天文學家們?yōu)榱舜_定出天空中星星的位置，自然地用到了某種類似于坐標的方法，即對天空進行網(wǎng)格劃分，根據(jù)網(wǎng)格位置來確定星體的位置.古希臘天文學家喜帕恰斯（Hipparchus，公元前190-公元前125）用經(jīng)度和緯度標出天空中點的位置，這就像是給天空畫上了網(wǎng)格，利用網(wǎng)格可以標記和快速地找到星星.

古希臘天文學家和數(shù)學家歐多克索斯（EudoxusofCnidus，公元前408-公元前355）曾使用過一種坐標體系標記天空中星體的位置.喜帕恰斯曾評價歐多克索斯在描述恒星位置時采用了恒星的極距（相當于赤道系統(tǒng)的偏角）、赤經(jīng)（赤道，以赤道為參考面）、經(jīng)度（黃道，以黃道面為參考）、極經(jīng)度（混合兩種參考）等概念，并給出了兩種星空坐標系，如圖1（地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為黃道，以黃道為參考平面）、圖2（假想過天體中心與地球赤道面重合的平面為赤道面，以赤道面為參考平面），但沒有提供天體的緯度.

如果在平面上，經(jīng)度相當于水平線，緯線相當于豎直線，從喜帕恰斯對歐多克索斯的評價可以看出，歐多克索斯的坐標系統(tǒng)，只能確定出星星的高度，并不能準確地定位星星.喜帕恰斯引入緯線，則可以準確地定位星星.后來這種網(wǎng)格坐標被古希臘數(shù)學家進行了改進.他們在一個平面底部畫出一條水平線，然后在左側(cè)畫出一條垂直線（有時是傾斜的），平面內(nèi)任意點的位置通過該點到水平線和垂直線之間的距離來確定.這樣做的意義主要有兩點：（1）把可見的網(wǎng)格轉(zhuǎn)變成了隱形的網(wǎng)格，使空間看起來更簡潔；（2）由于測量距離的需求，引入了標準的公共設備——尺子，這就向著標準坐標系邁出了重要的一步.

阿波羅尼奧斯（ApolloniusofPerga，約公元前262-公元前190年）在研究坐標系上作出了巨大的貢獻.我們現(xiàn)今使用的橢圓、拋物線和雙曲線的定義就是由他提供的.在阿波羅尼奧斯的坐標體系中，他將水平線稱為“直徑”，這里的“直徑”就是我們熟知的x軸，“頂點”就是坐標原點，將y軸定義為曲線的切線（參見圖3）.

由此我們已經(jīng)看出阿波羅尼奧斯已經(jīng)區(qū)分出了x軸、y軸、坐標原點，盡管使用了不同的稱謂，但在外在形式上，他的坐標軸只是一條直線，并沒有方向，也沒有負軸，相當于今天笛卡爾坐標系的第一象限.

建立現(xiàn)代坐標系并溝通代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系的，主要是費馬（PierredeFermat，1607-1665）和笛卡爾（RenéDescartes，1596-1650）.

費馬在研究阿波羅尼奧斯的《論平面軌跡》后，開始對坐標系進行了深入地研究，用字母來表示幾何圖形中的點、直線等，如圖4所示，設曲線上的一點為J，J的位置隨著A、E變化，這個坐標系相當于現(xiàn)在的傾斜坐標系.費馬的坐標系利用了韋達的現(xiàn)代表示方法，其特點是沒有使用y軸，沒有負坐標軸.

費馬給出了一條基本原則：只要在最后的方程里出現(xiàn)兩個未知量，就可以得到一個軌跡，它可能是一條直線，也可能是一條曲線.如圖4中，用x、y表示A、E，它們之間的關系可以用曲線的方程來表示，它的意義在于通過建立坐標系，獲得了代數(shù)方程，賦予曲線方程以幾何意義，無論是對于幾何還是代數(shù)，這都是巨大的進步.

幾何圖形比較直觀，這引起了笛卡爾的關注.他便產(chǎn)生了把代數(shù)應用到幾何中的想法，于是創(chuàng)建了笛卡爾坐標系，并主要完成了以下幾個方面的工作：

1.利用方程思想解決作圖問題.例如，將某個幾何問題化歸為尋求一個未知長度的線段，設其為x，且滿足關系x2=ax+b2，其中a和b為已知長度.由圖5和代數(shù)運算得出結(jié)果x=a2+a24+b2.但笛卡爾只考慮了正根，沒有考慮負根.

2.求坐標系中的方程曲線.先選定一條直線，如圖6所示，以A點為原點，用x表示AP，用y表示PC.可以看出，笛卡爾與費馬繪制曲線的方法，以及坐標的使用方法基本一致.

3.笛卡爾建立了一般方程與曲線的關系，極大地擴展了曲線的范疇.當時古希臘人認為只有用直尺和圓規(guī)作出來的曲線才是可靠曲線，但笛卡爾認為只要給定一個含x和y的代數(shù)方程，就可以求出它的曲線，而且有些曲線是無法用尺規(guī)作出來的.

4.笛卡爾借助坐標研究光學，給出了折射定律.他還解決了一個一般性問題：什么樣的曲面作為兩種介質(zhì)的交界面時，從第一種介質(zhì)內(nèi)一點發(fā)出的光線射到曲面上，折射進入第二種介質(zhì)恰好匯聚于一點.笛卡爾給出了一種卵形線，如圖7（坐標系是后人加的）所示，并給出了曲線的方程.

費馬研究坐標的主要目的在于繼承希臘人（主要是阿波羅尼奧斯）的思想.但笛卡爾利用坐標提出了更為一般的處理曲線問題的方法，大大超越了費馬.也正是由于笛卡爾，人們認識到了坐標系的偉大，并由此誕生了解析幾何.

但是，笛卡爾有關坐標的發(fā)明，起初并沒有引起科學家們的關注.許多科學家認為笛卡爾只是提供了一種幾何分析方法，所得到的科學結(jié)論，仍沒有超越古希臘幾何學者所取得的成就.只能說這些科學家只看重知識（幾何知識）本身，而沒有發(fā)現(xiàn)獲得這些知識的方法（坐標幾何法）的價值.

另一個原因來自于笛卡爾自身.笛卡爾為了體現(xiàn)出自己工作的高深，故意將許多地方寫得模糊不清，他曾自稱說歐洲的數(shù)學家?guī)缀鯖]有一個人能看懂他的著作.還故意刪減了一些內(nèi)容，稱他不愿意奪去讀者自行加工的樂趣，這或許是一種冠冕堂皇的說法，實際上是擔心如果書寫得太過于易懂，那些自命不凡的人，將會稱笛卡爾所寫的東西都是他們已知的東西.

隨著對解析幾何的推廣，坐標系也逐漸被完善，這主要得益于范斯庫藤（FransvanSchooten，1615-1660）和沃利斯（JohnWallis，1616-1703）.范斯庫藤是荷蘭數(shù)學家，1632年與笛卡爾相識，并閱讀了他尚未出版的《幾何》一書，當時覺得難以理解，后來對《幾何》做注解，將其翻譯成拉丁文于1649年出版，該書后來又多次出現(xiàn)再版，這為笛卡爾坐標系的推廣起到了關鍵作用.更為重要的是，范斯庫藤還給出了坐標變換——從一條基線（x軸）到另一條基線變換的代數(shù)式，這可能是坐標變換的最早工作成果.

沃利斯是一位英國牧師和數(shù)學家，他的主要貢獻

在于推動了無窮小微積分的發(fā)展.我們在高數(shù)中學習到的無窮大的符號∞，就是他發(fā)明的，同樣他用1∞來表示無窮小.沃利斯在坐標系上的貢獻在于他引入了負坐標，將坐標幾何的研究由第一象限推廣到了四個象限，后來牛頓又用了沃利斯的坐標體系，使得解析幾何有了快速的普及.

牛頓在《流數(shù)法與無窮級數(shù)》一書中還發(fā)明了一種新的坐標體系.17-18世紀坐標系是由一個x軸，一個與x軸垂直或成某一角度的y軸構(gòu)成的.牛頓則采用了固定點和通過該點的直線作坐標軸（類似于極坐標），他還采用了雙極坐標，點的位置決定了該點到兩個固定點的距離.不過，牛頓的這些成果大約形成于1671年，卻到了1736年才出版.而雅各布·伯努利（Ja?kobI.Bernoulli，1654-1705）于1691年在《教師學報》上就發(fā)表了有關極坐標的成果，因此通常認為是雅各布首先發(fā)明了極坐標.

17世紀中后期，法國數(shù)學家拉伊爾（PhilippedeLaHire，1640-1718，）、約翰·伯努利（JohannBernoul?li，1667-1748）、帕朗（AntoineParent，1666-1716）、歐拉（LeonhardPaulEuler，1707-1783）等人，將平面坐標系發(fā)展為空間三維坐標系.

坐標系的偉大在于它溝通了幾何與代數(shù)，首先，幾何的概念得以用代數(shù)表示，幾何的問題也可以通過代數(shù)運算求解.反過來，又可以利用幾何來解釋代數(shù)，使代數(shù)問題變得形象直觀，還可以借助幾何去發(fā)現(xiàn)那些新的代數(shù)結(jié)論.拉格朗日曾對這一結(jié)合做出過非常高的評價，他說：“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展就是緩慢的，它們的應用就十分狹窄.但當它們結(jié)合在一起時，相互吸取新鮮的活力，就會以快速的步伐走向完善.”

毫無疑問，將代數(shù)與幾何聯(lián)合起來，離不開坐標系，只有在坐標系的框架下，實在物體的運動或變化，才能抽象成為數(shù)學模型，問題才得以解決.解析幾何學的創(chuàng)立，開啟了用代數(shù)方法解決幾何問題的新時代.在西方數(shù)學發(fā)展的過程中，幾何學似乎一直就是至高無上的.一些代數(shù)問題，也都要用幾何方法去解決.解析幾何的產(chǎn)生，改變了這種傳統(tǒng)，在數(shù)學思想上可以看作是一次飛躍，代數(shù)方程和曲線、曲面聯(lián)系起來了.