立足核心素養培養 著眼學生終身發展
——例談新課標初中“數與代數”領域內容的教學實施策略

王東升

（阜新市招生考試委員會辦公室教育服務中心）

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）發布后，其基本理念、結構特征、課程內容等方面都有調整變化，其培養目標進一步完善，課程設置得到優化，強化了育人導向，確立了核心素養導向的課程目標：以學生發展為本，進一步強調學生“四基”的獲得與發展，發展學生“四能”，形成正確的情感、態度和價值觀。在教學中，教師要了解“數與代數”領域的課程內容主要變化，并依據基本理念，落實課程內容及育人目標要求，探究教學方式與策略。

新課標新增11條內容，分別是：理解負數的意義；知道實數由有理數和無理數組成；能用數軸上的點表示實數，能比較實數的大小；能借助數軸理解相反數和絕對值的意義（這里對實數而言）；能利用乘法公式進行簡單的推理；了解代數推理；能根據現實情境理解方程的意義；理解函數值的意義；知道二次函數系數與圖象形狀和對稱軸的關系；會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決相應的實際問題；知道二次函數和一元二次方程之間的關系。新課標刪除1條內容的星號，是“了解一元二次方程的根與系數的關系”，將此內容由選學調整為必學。下面圍繞“數與代數”領域主要變化，談一談在教學中要注意的一些問題和實施建議。

一、知道實數由有理數和無理數組成

在初中階段，數系的擴充有兩次，第一次是負數的產生，數系擴充到有理數；第二次是無理數的產生，數系擴充到實數。每一次數系的擴充，都是對人類認識的一次挑戰，也是學生學習的難點。認識實數的組成，關鍵是理解無理數。教師教學時可以分成六個層次進行。

第一個層次：發現非有理數。若正方形面積為2，邊長為a，則a2=2。那么a是什么數？因為12=1，22=4，32=9，……所以，a是介于1~2之間的數，不可能是整數；因為……結果是分數，所以a不可能是分數。這樣，a既不是整數，也不是分數，即a不是（我們熟知的）有理數。

這樣的數真的存在嗎？教師可讓學生把邊長為1的兩個正方形沿對角線剪開，他們會發現這四個全等的等腰直角三角形可以拼成一個較大的正方形，其面積為2。因此，可以確定平方為2的數是客觀存在的。

第二個層次：在a2=2中，a是有限小數還是有限循環小數？

邊長a 1

教師可以繼續引導：還可以繼續算下去嗎？a可能是有限小數嗎？a可能是無限循環小數嗎？

第三個層次：分數是有限小數或無限循環小數。有限小數都可以表示成分數，無限循環小數也都可以表示成分數。如化為分數：設則100x，34+x=

因為a2=2中的a不可能是分數，所以，a2=2中的a不是有限小數，也不是無限循環小數。到此，教師就可以引導學生給無理數下定義了。

第四個層次：無理數的定義。有理數總可以用有限小數或無限循環小數表示；反之，任何有限小數或無限循環小數也都是有理數。而我們把無限不循環小數稱為無理數，把有理數和無理數統稱實數。

第五個層次：無理數的形式。初中階段無理數的常見形式有4個：一是無限不循環小數類，如0.1010010001……（兩個1之間依次多一個0）；二是常數類，如π、2π等；三是根式類，如2、3等；四是三角函數值類，多數角度的銳角三角函數值。學生以后還會認識到常數類的無理數，如自然常數e。

第六個層次：數學發展史中的無理數。公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯（Hippasus）發現了一個驚人的事實：一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的。這一不可公度性與畢氏學派的“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相徑庭。希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明了有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”，引發了數學史上的第一次數學危機，并對以后2000多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學和邏輯學的發展，并且孕育了微積分思想萌芽。直到17世紀還有一些數學家不承認無理數。1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次危機。

教師讓學生了解數學發展史的這些關鍵片段是數學教學不可或缺的一個環節。著名數學家M·克萊因十分強調數學史對數學教育的重要價值。他曾說：“課本中的字斟句酌的敘述，未能表現出創造過程中的斗爭、挫折以及在建立一個可觀的結構之前數學家所經歷的艱苦漫長的道路。而了解到數學家如何跌跤，如何在迷霧中摸索前進，并且如何零零碎碎地得到他們的成果，應能使面對難題的人們鼓起勇氣。”

通過對數學發展史的介紹，可以讓學生了解到人類在追求真理道路上的艱辛努力和堅定信念，也有利于幫助學生樹立科學品質，培養良好的科學精神。另外，在數學的發展長河中，涌現出許多熠熠生輝的數學大家，他們或孜孜以求，鍥而不舍；或艱苦卓絕，攻堅克難；他們在用數學成果造福人類的同時，也為后人留下了寶貴的精神財富。利用好這些資源，教育才能“培根鑄魂，啟智潤心”。

二、了解代數推理

說起推理，人們自然會想到幾何證明。其實，不但“圖形與幾何”領域有推理，“數與代數”“統計與概率”領域也都是離不開推理的。可以說，推理是一種無所不在的思維方式。推理有三種形式：演繹推理、歸納推理和類比推理。

例如，任意寫一個三位數，交換它的百位數字與個位數字，又得到一個數字，兩個數相減后的結果有什么規律？這個規律對任意一個三位數都成立嗎？

教師可先引導學生寫出一個三位數，如123，交換后是321，兩數相減是321-123=198。然而，一個數字是難以確定規律是什么的：末位是8嗎？是偶數嗎？是3的倍數嗎？是9的倍數嗎？是11的倍數嗎？需要再寫出一個三位數觀察：756，交換后是657，兩數相減是756-657=99。通過這樣，使學生初步把握問題的規律。要“一般證明”此問題，還要用字母代替數，進行“符號運算”：100a+10b+c-（100c+10b+a）=99a-99c=99（a-c）。

在解決了本題后，教師當然還可以啟發學生思考：其他的多位數會如何呢？兩位數：10a+b-（10b+a）=9a-9b=9（a-b）；四位數：1000a+100b+10c+d-（1000d+100b+10c+a）=999a-999d=999（a-d）。進而引導學生探索多位數存在的更一般規律。

回顧上面的解答過程不難發現，學生的思維所經歷的過程為：先明確數字關系，進行數字演算，初步發現數字規律，這是一個歸納推理的抽象過程；然后，利用字母表示數，進行符號運算，最后表達一般規律，這是一個演繹推理的證明過程。教學中教師要讓學生經歷這個探究過程，讓學生學會用數學的眼光觀察，用數學的思維思考，用數學的語言表達。

歸納推理也稱歸納，其本質是通過對部分事物的研究，推斷更大范圍中事物的整體特征，它是從個別事物中概括出一般原理和性質的思維方式，是從特殊到一般的認識過程。如通過3+5=5+3等，可歸納得到加法的交換律a+b=b+a。再如，通過4×等，可歸納得二次根式的乘法法則歸納是尋找和發現數學真理的主要手段。

在數學學習的過程中，教師也可以常用類比的方式，如可以利用學生對分數的性質的認識和理解，來引導他們學習分式的性質。同時，教師也要注意，類比只是合情的猜測，其結論是否正確，還有待于進一步的證明。如我們知道積的乘方運算法則為（ab）2=a2b2，在之后學習二項式乘方時，一些學生就容易“類比”地認為（a+b）2=a2+b2，這是錯誤的。

雖然由類比推理發現的結果不一定正確，但是“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現”，很多科學上的發明和創造正是需要打破常規，大膽設想，才能得到豐碩的成果。

三、能根據現實情境理解方程的意義

教學中，教師要依托現實的情境來幫助學生理解方程的意義。如可創設這樣的現實情境：一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8折優惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？

分析可知，該題中所涉及的四個關鍵數量有如圖1所示的關系，它們之間形成了A，B兩個循環。

圖1

若設每件服裝的成本為x元，在A循環中，（1+40%）x·80%=售價，在B循環中，售價-x=15。學生可以發現，以任意一個數量為聯系節點，A，B兩個循環中的數量就聯系在一起，都可以形成含有未知數的等式，即方程。

若設每件服裝的成本為x元，根據題意，根據不同的等量關系可以得到不同的方程：（1+40%）x·80%-x=15（以利潤為等量），（1+40%）x·80%=15+x（以售價為等量），（1+40%）x·80%-15=x（以成本為等量），（1+40%）x=（15+x）/80%（以標價為等量），80%=（15+x）/（1+40%）x（以折扣為等量）。

因此可以說，方程就是“同一個量（或等量）的兩種不同表達”，這樣的認識，也有助于學生對列方程的思考。對于方程的定義，教材的描述一般為：含有未知數的等式叫做方程。針對方程這個“定義”，有的教師提出：x=2是方程嗎？說x=2是方程的，理由是從“含有未知數的等式叫做方程”的定義來看。也有另一種認識，華東師范大學張奠宙教授指出：僅根據定義“含有未知數的等式叫方程”就會出現“x=1，x-x=0是不是方程”這樣的怪問題，其實這句話只談了方程的表面。方程的本質是為了求未知數，在已知數和未知數之間建立一種等式關系。既然方程的本意就是要求未知數，如果x=1，未知數已經求出來了，也就沒有方程的問題了。這類問題與我們學習方程知識沒有關系。在方程概念的教學中應當淡化形式，注重實質。

當然，教師應該了解，x=2是不是方程還要看場合，在現行數學教材體系，如在初中拋物線的“對稱軸方程”或高中解析幾何的“直線方程”中，我們還得把x=2說成是方程。在這里，教師可以引導學生回顧“打折銷售”的例子：為什么題中會產生A，B兩個循環呢？只有一個循環行嗎？如把題目改為：商店將某種服裝100元賣出，每件獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？其實這就是加減法的問題，沒必要列方程。東北師范大學史寧中教授指出：方程一定是在講兩個故事。所謂兩個故事，就是兩個等量關系，這樣就可以用兩種不同的形式表示同一個量，也把這個叫做“算兩次”。

四、理解函數值的意義

對于函數值的意義，可以從以下四個方面來理解。

一是從代數的角度看。函數值就是與其自變量取值相對應的因變量的值。例如，對于一次函數y=3x+4，當x=5時，對應的函數值y=19。

二是從幾何的角度看。函數值就是函數圖象上某點的縱坐標。例如，一次函數圖象交x軸于點A（3,0），交y軸于點B。若是函數值為正，則自變量x的取值范圍是x<3。即圖象上縱坐標為正的點的橫坐標的取值。

三是實際問題中具有實際意義。例如，甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步600米，先到終點的人原地休息。已知甲先出發2秒。在跑步過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與乙出發的時間t（秒）之間的關系如圖2所示，則b值是多少？

圖2

分析可知，所求圖2中b的值就是“乙出發100秒時兩人的距離”，故應先求得甲、乙兩人的速度。

解：t=0時，y=8，即乙即將出發時，甲已經出發2秒，甲、乙兩人距離為8米。所以米/秒。

在乙出發后，兩人距離先變小后變大，說明乙速大于甲速，且在t=100秒時，兩人距離增至最大，說明乙已經到達終點，原地休息。所以秒。此時兩人距離b=6×100-（8+4×100）=192米。當然，由于所求兩人距離是乙走了600米時兩人的距離，所以，不求乙的速度也可以。圖象上點（a，0）的縱坐標0的實際意義是“甲乙兩人距離為零”，即乙追上了甲。

四是從函數值的特征角度看。首先，與自變量的取值一一對應。對于每一個確定的自變量的值，都有唯一的函數值與其對應。即對于y=f（x）而言，一個x，有唯一的y與之對應；不同的x，對應的y可能相同。其次，其變化特征體現函數的性質。隨著自變量的取值的增大，函數值可能隨之增大，也可能隨之減小，也可能在某個范圍內增大，在另一個范圍內減小。即函數會表現出單調遞增，或單調遞減，或奇函數，或偶函數等性質。

五、了解一元二次方程的根與系數的關系

教師先要引導學生了解一元二次方程的根與系數的關系內容。寬泛地說，一元二次方程的求根公式也是“根與系數的關系”，即根與系數的關系可以分為兩個方面：一個是用系數表示根—求根公式；另一個是用根表示系數——韋達定理。其中，求根公式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當b2-4ac≥0時

韋達定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為x1，x2，利用求根公式可得（這是現行教材給出的教學順序）。當一元二次方程的二次項系數為1時，即若x2+px+q=0的兩個根為x1，x2，利用求根公式可得，x1+x2=-p，x1x2=q。

其實，韋達定理還可以從另一種途徑來認識。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為x1，x2。則ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2，比較恒等式同次冪項系數，得b=-a（x1+x2），c=這恰是“韋達定理”的實際發展軌跡）。教師可以利用這個思路來引導學生研究一元三次方程的根與系數的關系。

然后，教師要把握一元二次方程的根與系數的關系的“了解”層次的教學要求。依據《義務教育數學課程標準（2011年版）》關于“了解”層次的教學要求，現行北師大版初中數學九年上冊教材中設計的部分練習如下：

（1）利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：x2-3x-1=0，3x2+2x-5=0；

（3）寫出一個以4和-7為根的一元二次方程；

（4）已知方程5x2+mx-6=0的一個根為2，求它的另一個根及m的值。

在實際教學和評價中，仍存在隨意拔高教學要求的現象，如已知一元二次方程（有實數根），求兩根的平方和、立方和、倒數和差的絕對值等。而這些內容其實是高中階段（人教B版必修一）的教學要求。

關于“了解”的層次要求，新課標是這樣解釋的，了解：知道，初步認識；從具體事例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象。可見，上面所列舉的“課外練習”，明顯超出了新課標中“了解”的層次要求。教師如果無視要求，在教學、評價中隨意拔高，那么教學將走進誤區。

教師還要關注一元二次方程的根與系數的關系的育人價值：一是發展學生發現問題、提出問題的能力。教師若只是知道一元二次方程的根與系數的關系，則也不過是多掌握了一個“定理”而已。教學中，若能引導學生去發現、去猜想、去歸納這個“關系”，無疑會培養學生觀察問題的“數學眼光”。二是促進學生積累用數學符號進行一般性推理的經驗。初中學生的思維正處在“抽象表達”發展的關鍵階段，韋達定理的探索、論證及表達過程，恰好能幫助學生感悟符號表達對于數學發展的作用，提高用抽象的“數學語言”表達問題的能力。

此外，教師還應引導學生了解一元二次方程的根與系數的關系發展史。在數學發展過程中，韋達定理也是引人關注的。在1615年出版的《方程的理解與修正》一書中，法國數學家韋達給出了形如-x2+px=q（p，q>0）的一元二次方程的兩根之和等于p，兩根之積等于q。不過，韋達并沒有考慮方程有重根或負根的情況，定理僅適合有兩個不相同的正實根的情形。到1629年，吉拉爾出版了《代數新發明》一書，書中討論了一般n次方程根與系數的關系。他認為，方程的根可以是負數或虛數，并提出：一個n次方程應該有n個根。這就是現在大家熟知的代數基本定理。吉拉爾在韋達的基礎上給出了他的證明。直至18世紀，數學家歐拉首次給出方程x2+px+q=0的韋達定理的嚴格證明。19世紀，蘇格蘭數學家華里斯沿用了歐拉的證明，并完善了求根公式。

從韋達定理的發展史我們不難看出，它的發展過程是間斷的、不完整的、極具探索性的。從歷史發展的角度來看，教學應秉承數學史發展的軌跡，通過觀察、歸納、推理、證明的方式，引導學生發現數學定理。從數學思想的角度來看，在學習韋達定理時學生應著重體會整體性思想，在教學過程中應體現歸納思想。

綜上所述，教師應以培養學生的核心素養作意識統領，以此為思考一切教學問題的出發點和歸宿。教師應以學生發展為本，解決好“為何學？如何學？怎樣學？學了如何？”的問題，強調學生“四基”的獲得，發展學生“四能”；充分發揮數學課程內容文化屬性的育人價值，樹立學生的文化自信；激發學生的愛國熱情，培養學生的科學精神，使其形成正確的情感、態度和價值觀。