考慮船體渦流影響的艦船消磁線圈電感計算方法

周國華， 唐烈崢， 孫兆龍， 吳軻娜， 李志新

(海軍工程大學 電氣工程學院， 湖北 武漢 430033)

0 引言

由于地磁場長期磁化作用和鐵磁材料的磁滯效應，鋼鐵結構艦船周圍不僅存在著感應磁性磁場，而且還存在固定磁性磁場，這些磁場成為了磁性兵器的信號源，嚴重威脅著艦船生命力[1]。艦船固定磁性通常采用臨時消磁線圈進行處理，其基本原理是在艦船所處空間中用補償線圈適當補償地球磁場，用工作線圈產生正負交替、幅值逐步衰減的間歇式脈沖磁場，從而達到消除艦船固定磁性的目的[2]。工作線圈電流幅值能達到4 000 A，對于航母這類特大型艦船而言(見圖1[3])，其消磁線圈尺寸巨大、數量眾多，相互之間的磁耦合較為緊密，在電流瞬變過程中，這種耦合作用可能會引起較大的內部過電壓，從而危及到電源的安全，此外過大的電感還會影響消磁電流的同步性和上升下降時間[4-7]。綜上所述，深入研究消磁線圈電感的計算方法，對指導消磁電源系統的設計具有十分重要的意義。

圖1 美國海軍航母在諾福克消磁站進行消磁

盡管在無線充電、電機、脈沖功率及電力電子等領域，學者們提出了多種電感分析方法[8-11]，但針對消磁線圈電感問題的研究甚少，僅孫吉等對空心線圈的電感計算進行了初步研究[12]，但由于其忽略了被消磁艦船船體的影響，電感計算結果會與實際值存在較大出入，船體的影響在于其一方面是導磁體，提高了場域中介質的磁導率，同時也是良導體，在消磁電流瞬變時會感應出渦流，渦流磁場與線圈磁場相互疊加，具有去磁效應，因此消磁線圈的交流電感與直流電感存在顯著差異，然而現有的交流電感計算方法中只考慮了源電流趨膚效應的影響[13-15]，而沒有分析周圍導體感應渦流的去磁效應，無法直接應用于消磁線圈的電感計算。

基于上述背景，本文提出一種消磁線圈的電感計算方法，充分考慮船體的存在對線圈電感的影響，通過空心電感計算值與解析解的對比初步驗證所提方法的有效性，并分析船體網格的控制方法，進一步計算某型航母的縮比船模消磁線圈電感與實測值進行對比驗證方法的有效性，最后分析實尺寸航母消磁線圈的電感，并討論相關影響因素，研究結果可為艦船消磁線圈的電源設計提供指導。

1 電感計算方法研究

1.1 船體渦流對線圈電感影響的定性分析

船體可視為閉合的導電回路，與消磁線圈共同構成一個雙繞組的空心變壓器，其頻域等效電路如圖2所示。圖2中，左半回路代表消磁線圈，U1為電源電壓；I1、R1和L1為不考慮船體渦流效應時的線圈電流、電阻和自感，右半回路代表船體構成的等效閉合回路，Ic、Rc和Lc為船體對應的電流、電阻和自感，消磁線圈與船體渦流間的互感為M1c，角頻率為ω。

圖2 消磁線圈自感分析的頻域等效電路

根據圖1的電路拓撲和KVL定律可列寫方程：

(1)

對(1)式進行化簡，可得考慮船體渦流后的消磁線圈等效自感L1eq如下：

(2)

可見，船體渦流會導致L1eq減小，且ω越高，L1eq降低越多，當ω增加到一定程度后L1eq會趨于飽和。

同理可分析船體渦流對消磁線圈間互感的影響，其頻域等效電路如圖3所示，其中右半回路代表消磁線圈2處于開路狀態，R2和L2為線圈2的電阻和自感，M12為線圈1和2間的互感，M2c為線圈2和船體渦流間的互感。

圖3 消磁線圈互感分析的頻域等效電路

同樣地，根據上述電路拓撲結合KVL定律可列寫如下電路方程：

(3)

經過化簡，可得考慮船體渦流后的線圈1與線圈2間等效互感M12eq如下：

(4)

與前述自感變化規律相似，船體的存在減小了線圈之間的等效互感M12eq，且隨頻率ω的提高互感M12eq會降低，頻率ω無窮大時互感M12eq趨于飽和。

1.2 動態電感計算原理

由前述分析可知，消磁線圈的電感與通常的靜態電感不同，后者為常數，可通過求解恒定磁場分布確定，而前者受渦流影響是動態變化的，與頻率相關。為計及船體渦流的去磁作用，提出線圈動態電感的計算方法：采用有限元法分析線圈交變電流激勵下的三維時諧磁場，通過提取線圈端電壓及電流的實部和虛部來計算線圈的電感。具體原理如下：

在交流激勵下，線圈的阻抗相量為

Z=R+jωL

(5)

(6)

式中：Ur、Ir分別為

綜合(5)式和(6)式可得

(7)

可見，根據激勵電流和線圈端電壓的實部虛部便可以確定線圈的交流電感，若(7)式中激勵電流和電壓在同一線圈上，則電感為自感，反之則為互感。

1.3 空心電感計算結果驗證

考慮到空心線圈的電感具有解析解，針對空心線圈進行電感計算，用于初步驗證本文所提方法的準確性。

首先分析自感，設圓環線圈置于真空，其回路半徑r1=33 m，導線半徑rc=45 mm，根據《電感計算手冊》[16]，其自感計算公式為

(8)

式中：μ0為真空磁導率，即4π×10-7L/m，將幾何參數代入(8)式，可得自感L解析解為287.3 μH。

下面采用本文所提方法進行計算，利用ANSYS軟件建立線圈的有限元模型，在回路中施加激勵電流開展時三維時諧磁場仿真，求解后提取線圈端電壓的實部虛部，代入(7)式可得其自感L的數值解為282.1 μH，以解析解為基準，相對誤差為1.8%，計算精度較高，誤差主要來源于有限元的網格離散誤差。需要指出的是，空心線圈不存在渦流的影響，其電感與頻率無關，在仿真中可任意設置分析頻率。

同理分析線圈之間的互感，設兩根同軸圓環線圈的導體半徑rc均為45 mm，回路半徑r1均為33 m，回路間距d為3.2 m，根據《電感計算手冊》[16]，其互感計算公式為

(9)

式中：F與d/(2r1)有關，可查表獲取，其數值約為30.45，代入(9)式得互感M的解析解為100.5 μH，采用本文所提方法得到數值解為99.6 μH，相對誤差僅為0.9%。

1.4 殼體渦流趨膚效應影響及網格控制方法

航母鋼板厚度最多可達330 mm[17]，即使在極低頻率情況下，電流的趨膚深度也遠低于其厚度，要準確計算消磁線圈的電感，需在船體厚度方向剖分多層單元，對于航母船體這樣復雜的結構而言，要實現厚度方向的多層網格剖分，不僅難度大而且單元量也會急劇增加。下面以結構簡單的小模型為例，首先分析不考慮渦流趨膚效應時的電感計算誤差，然后進一步提出適用于復雜結構的網格控制方法。

計算模型如圖4所示，包括圓柱形薄殼和纏繞在上面的兩匝銅線圈，模型中線圈留有一微小縫隙，便于后續加載電流。殼體材質為船用鋼，相對磁導率為132，電導率為3.2×106S/m[18]，線圈電導率為5.8×107S/m。殼體內半徑為33 m，厚度200 mm，與后續分析的實尺度航母模型接近，薄殼寬6 m，線圈的導體半徑為45 mm，線間距3.2 m。

圖4 殼體渦流趨膚效應分析的小模型

導體趨膚深度δ[19]計算公式如下：

(10)

式中：μ和γ分別為磁導率和電導率，根據下文實尺度航母消磁電流的分析，將頻率設置為0.35 Hz，其對應的鋼殼趨膚深度δ為41.2 mm，小于鋼殼厚度200 mm，在有限元計算模型中鋼殼厚度方向上的單元尺寸應小于1倍趨膚深度，考慮到圓柱形殼體結構簡單，采用六面體網格進行映射剖分。為分析鋼殼厚度方向網格剖分對線圈電感計算的影響，建立了兩套不同的網格，網格I在厚度方向均分為 10層，每層厚度為20 mm，如圖5(a)所示，以確保模型能準確考慮渦流的趨膚效應，網格II在厚度方向僅剖分了1層，即忽略趨膚效應，如圖5(b)所示。其中網格I中的殼體渦流分布如圖6所示，可見殼體渦流的確存在顯著的趨膚效應，電流密度只集中于殼體外表面，內部電流密度幾乎為零。利用上述兩套網格計算0.35 Hz下線圈的電感如表1所示，以網格I為基準，網格II的自感和互感相對誤差分別達到了25.3%和84.9%，可見在不考慮殼體趨膚效應的情況下計算誤差很大。

圖5 鋼殼厚度方向的網格剖分

圖6 網格I中鋼殼內部的渦流分布

表1 0.35 Hz下網格I和網格II的線圈電感計算值

顯然，在厚度方向上僅剖分一層網格是無法體現趨膚效應的，為此嘗試在厚度方向剖分2～3層，且靠近外側的網格厚度設為趨膚深度的整數倍，如圖5(c)～圖5(d)所示，分別稱為網格III和網格IV。基于上述兩套網格的電感計算結果如表2所示，對比表1可見，即使僅采用兩層網格剖分，計算精度也會大為提高，而采用三層網格時，由殼體網格離散引起的自感計算誤差幾乎為零，互感的相對誤差則為2.6%，可滿足工程誤差要求，在后續仿真中，若殼體厚度大于趨膚深度則均采用網格IV的剖分形式。

表2 0.35 Hz下網格I、III和IV的線圈電感計算結果

相比于網格I，網格IV的剖分方法一方面可最大程度地減小單元數量，同時也便于實現復雜結構(如船體)的網格剖分，網格I采用的映射剖分對模型幾何規整性要求很高，而網格IV則無上述要求，只需在計算模型中建立若干不同厚度的殼體，使外層殼體的厚度為趨膚深度的整數倍，在計算軟件中對多層殼體進行布爾操作，從而實現殼體厚度方向的模型分割，最后再進行簡單的自由剖分即可。

2 航母縮比船模消磁線圈電感計算與實測

本節以某航母的縮比船模為研究對象，采用本文方法計算其消磁線圈的電感，并針對船模消磁線圈的電感開展實測，以充分驗證本文計算方法的有效性。

2.1 仿真計算

2.1.1 仿真模型

參照某航母的外形尺寸，以40倍進行縮比，采用SolidWorks軟件建立了航母縮比船模的三維幾何模型，如圖7所示，模型中忽略了球艏，同時將艦島簡化為空心長方體，船底部近似為平面結構，鋼板厚度均為1 mm。消磁線圈緊貼船體和艦島纏繞，為縱向非規則螺線管形狀，從艏至艉一共70匝，分為 7個回路，每個回路10匝，各匝線圈在縱向等距離排布，線圈的導體半徑為1.1 mm。

圖7 縮比船模整體三維仿真模型

2.1.2 網格剖分

由于電感測試儀的最低測量頻率為100 Hz，本節數值仿真僅針對100 Hz進行分析，該頻率雖然遠高于實際消磁電流對應的頻率0.35 Hz，但仍屬于低頻范疇，不存在高頻下的電磁波現象，其電感變化規律與1.1節中的原理分析相一致，因此單從驗證計算方法有效性的角度來看，采用100 Hz進行分析是合理和可行的。

設縮比船模中船體鋼相對磁導率為132，電導率為3.2×106S/m[18]，100 Hz下趨膚深度為2.4 mm，大于船體厚度1 mm，感應渦流無趨膚效應，因此船體厚度方向網格僅剖分一層即可，整體模型均采用四面體網格自由剖分，船體和艦島部分的網格如圖8所示。實驗室制作的縮比船模與實際艦船的船體連接方式不同，其飛行甲板與船舷通過栓接固定，在交接的部位存在較大的接觸電阻，對渦流分布具有顯著影響，因此為模擬這種間隙，在仿真模型中將飛行甲板與船舷交接線處的單元設為非渦流域單元，如圖8中紅色部分標注所示。此外，由于線圈總數多達70匝，導致模型整體的單元量巨大，軟件無法進行剖分，每次仿真中僅建立兩個回路的線圈，其余線圈均刪除，從而使單元量顯著降低。例如，需要獲取G_01和G_02回路的互感時，仿真模型僅包含G_01和G_02線圈，需要獲取G_02和G_03回路的互感時，模型僅包含G_02和G_03線圈。

圖8 縮比船模的網格剖分

2.1.3 計算結果

采用本文方法進行電感計算，100 Hz下的結果如表3所示。由表3可知：在縮比模型中消磁線圈的自感約在80～230 μH之間，靠近艏部和艉部的線圈尺寸較小，自感也較低，而中部線圈的自感較大；相鄰兩回路的互感約在20～64 μH之間，而間隔一個回路的線圈互感約在9～20 μH范圍內，降低了約2～3倍，可以推測相距更遠的其余線圈互感更小可以忽略不計，在表3中就不再列出。需要特別指出的是，由于縮比船模的飛行甲板與船舷采用栓接結構，近似為開路，其渦流去磁效應大為削弱，而實際航母的船體通過焊接構成一個整體，因此縮比船模的電感變化規律與實際艦船會存在較大差異，從這一點看，仿真分析具有縮比船模試驗無法替代的作用。

表3 100 Hz下縮比船模消磁線圈電感矩陣計算結果

2.2 實驗測量

2.2.1 電感測量方法

采用LCR數字電橋對縮比船模的消磁線圈進行電感測量，該裝置如圖9所示，測試頻率設為 100 Hz。

圖9 數字電橋實物圖

自感的測量方法較簡單，僅需將待測線圈接入LCR數字電橋，將測量值減去引線電感Lσ即為線圈自感。

互感測量原理如圖10所示，將兩個線圈首先順向串聯，采用LCR數字電橋測量其等效電感L′，L′=L1+L2+2M，再將線圈反向串聯，并測量其等效電感L″，L″=L1+L2-2M，可得互感M=(L′-L″)/4。兩次接線中引線盡量保持不動，確保L′和L″相減的過程中可以剛好抵消掉引線電感Lσ。

圖10 互感測量基本原理

2.2.2 測量結果與分析

在實驗室內參照某航母的尺寸和形狀制作縮小40倍的縮比船模，并根據2.2.1節方法測量消磁線圈的自感和互感，縮比船模的局部實物圖如11所示，測量值與計算值的對比如表4～表5所示，可見自感的計算精度較高，誤差在7.1%以內，而互感本身數值更小，因此相對誤差稍大，但也均不超過17.2%。除數值仿真本身的誤差外，仿真模型與實際縮比船模的差異也是重要的誤差來源，包括材料參數誤差和模型幾何誤差，前者是由于船體鋼材磁導率和電導率的分散性引起的，而后者主要來自于仿真中對船體幾何結構的簡化，例如將復雜的艦島簡化為空心長方體、將三維曲面結構的船舷和底部近似成平面結構等，此外實際繞制的線圈難免存在一定彎曲和位移，不可能與仿真模型完全一致。考慮到上述各類模型差異，從工程應用的角度而言，計算值與測量值吻合得較為理想，驗證了本文方法的有效性。

圖11 縮比船模局部實物圖

表4 100 Hz下縮比船模消磁線圈自感測量值與計算值對比

表5 100 Hz下縮比船模消磁線圈互感測量值與計算值對比

3 實尺度航母消磁線圈電感計算分析

3.1 電感計算結果

某航母及其消磁線圈的實際外形尺寸為前述縮比模型的40倍，船體厚度設為200 mm。

信號的上升時間tr(定義從幅值10%上升到90%所需的時間)與截止頻率fm滿足如下函數關系[20]：

fm=0.35/tr

(11)

假設消磁線圈的脈沖電流上升和下降時間為 1 s，則對應的上限截止頻率fm為0.35 Hz，以此作為分析頻率，其對應的趨膚深度為41.2 mm，低于船體厚度200 mm，根據1.4節的分析，在模型中需要建立3層不同厚度的船體，其中兩層船體的厚度為趨膚深度，用于控制船體厚度方向的網格剖分，類似于圖5(d)的網格，以保證計算精度。此外，實際航母的船體通過焊接構成了一個整體，因此在仿真中將所有船體的單元均為渦流區域，而不將飛行甲板與船舷交接處的單元設為非渦流域。

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消磁線圈的電感計算結果如表6～表7所示，自感大約在2～4 mH范圍內，靠船艏艉部的線圈電感偏小，舯部線圈電感較大，互感很小，相鄰線圈的互感比自感低了約一個數量級，間隔一個線圈的互感更是比自感降低了兩個數量級，而前述縮比模型中線圈互感能達到自感的30%。這一點實際航母與縮比模型存在較大差異，主要是由渦流去磁引起的，一方面，實際航母的船體是一個完整的導電體，圓周方向的渦流去磁作用更為顯著；另一方面，航母尺寸更大，船體厚度更寬，因此造成船體上的感應電動勢增加，而船體等效電阻降低，兩者均會引起船體渦流的增大，進而導致電感降低。從上述結果也可見，船體渦流對消磁線圈互感的影響更為顯著。

表6 0.35 Hz下實際航母消磁線圈自感計算值

表7 0.35 Hz下實際航母消磁線圈互感計算值

3.2 影響因素分析

下面以G_01的自感和G_01與G_02之間的互感為例，分析影響線圈電感的相關因素。

3.2.1 船體磁導率的影響

為研究船體鋼磁導率對消磁線圈電感的影響，在仿真中保持其余參數不變，將船體鋼相對磁導率設為80和250，電感計算結果如表8所示，可見船體磁導率對消磁線圈電感具有較顯著的影響，隨著磁導率的增加，互感可增大1～2倍。

表8 不同船體磁導率下線圈電感計算結果

3.2.2 船體電導率的影響

鋼材的電導率有一定分散性，其上限不超過鐵的電導率107S/m[19]，同時考慮到船體焊接可能存在一定的接觸電阻，將其電導率下限設為106S/m，不同船體電導率對應的線圈電感計算結果如表9所示，與前述磁導率的影響類似，電導率對線圈電感也有較為顯著的影響，互感相差可達4～5倍。

表9 不同船體電導率下線圈電感計算結果

3.2.3 船體厚度的影響

表10 不同船體厚度下線圈電感計算結果

3.2.4 頻率的影響

前述分析均假設脈沖上升時間為1 s，其對應的上限截止頻率為0.35 Hz，實際脈沖時間可能在0.1～10 s間變化，計算3.5 Hz和0.035 Hz頻率下的線圈電感如表11所示，可見頻率對消磁線圈的電感影響很大，尤其是互感，能相差一個數量級以上。

表11 不同頻率下線圈電感計算結果

3.2.5 船體渦流的影響

為分析船體渦流的存在對消磁線圈電感大小的影響，計算了無船體渦流時的線圈電感作為對比，如表12所示，可見渦流對線圈電感影響很大，考慮渦流時自感會降低約3倍，互感更是降低了一個數量級以上，進一步表明在計算消磁線圈電感時必須要考慮船體的渦流。

表12 有無船體渦流時線圈電感計算結果

3.2.6 船體的整體影響

為分析船體的存在對消磁線圈電感大小的影響，計算了空心消磁線圈電感作為對比，如表13所示，可見在0.35 Hz頻率下由于船體的存在，消磁線圈的電感甚至低于了空心電感，說明船體雖然提高了磁導率，但其渦流去磁作用仍是占主導的。

表13 有無船體時線圈電感計算結果

4 結論

本文以分析艦船消磁線圈的電感為目標，首先提出了考慮船體渦流影響的消磁線圈動態電感計算方法，在此基礎上通過空心線圈電感解析解與計算值的對比初步驗證了所提方法的有效性。分析了船體網格的控制方法，進一步計算了某航母縮比船模消磁線圈的電感，與實測值進行對比驗證了方法的有效性。最后計算了實尺度航母消磁線圈的電感，并分析了影響電感大小的相關因素。得到主要結論如下：

1)提出了考慮船體渦流去磁效應的艦船消磁線圈電感計算方法：利用三維時諧磁場仿真提取線圈端電壓和電流的實部和虛部，在此基礎上根據阻抗相量表達式即可確定線圈的電感數值。

2)利用所提方法計算了空心線圈的電感值并與解析解進行對比，自感誤差為1.8%，互感誤差僅為0.9%；分析了殼體渦流趨膚效應對電感計算結果的影響，并對殼體的網格進行了優化，綜合計算精度和剖分效率，網格優化控制方法為：在殼體厚度方向剖分3層，其中外側2層網格的厚度為趨膚深度，此時由殼體網格離散引起的自感計算誤差幾乎為零，而互感誤差僅為2.6%。

3)計算了某航母縮比船模消磁線圈在100 Hz下的自感和互感，并開展了電感實測工作，其中自感計算的最大相對誤差為7.1%，互感誤差均小于17.2%，計算值與測量值吻合較好，充分驗證了計算方法的可行性和有效性。