一類特殊的亞交換群①

鄧雨琪， 呂恒

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

引理1[2]設π′-群H作用在交換π-群G上，A是G的H-不變子群，并且是G的直因子，即存在B≤G使得G=A×B，則必可找到G的某個H-不變子群K使得G=A×K.

引理2[2]設群G是Frobenius群，H是它的F-補，則H的任一Sylow子群或循環，或為廣義四元數群.

定理1令有限群G=P×|Q，其中P是初等交換p-群，Q是交換q-群，設Q?Cqα1×…×Cqαs，若Q忠實互素地作用在P上，則對任意k=1，…，s，均存在nk∈P，使得|CQ(nk)|=qαi1+…+αik，其中i1，…，is是1，…，s的重排.

證當s=1時，結論顯然成立，現在假定s≥2.

設M?_P是滿足CQ(M)=1的極小階Q-不變子群.注意到M最大可取到P.由

Q?Cqα1×…×Cqαs

則存在〈a1〉≤Q，o(a1)=qα1，使得〈a1〉在Q中有補，故可設Q=〈a1〉×Q0，其中Q0是〈a1〉在Q中的補.設M1≤M是滿足C〈a1〉(M1)=1的極小Q-不變子群.

C〈a1〉(Ki)≠1i=1，2

因為循環群的m階子群唯一，其中m是群階的因子，故有

C〈a1〉(K1)∩C〈a1〉(K2)≠1

但由M1的唯一極小性知

由于

故Q=〈a1，CQ(M1)〉.又由

〈a1〉 ∩〈CQ(M1)〉=1

則可得

Q=〈a1〉 ×CQ(M1)

記Q1=CQ(M1).若Q≠〈a1〉 ×Q1，由Q= 〈a1〉 ×Q0可知Q/Q1不是循環群.而Q/Q1忠實不可約地作用在M1上，類似前面的討論可得Q/Q1是循環群，矛盾.故Q=〈a1〉 ×Q1.

設T1≤M使得

于是T1≠1.否則，我們有CQ(M)=CQ(M1)≠1，矛盾.又由CQ(M)=1可得CQ1(T1)=1.此外，T1是滿足CQ1(T1)=1的極小Q-不變子群.否則，設T2

由歸納法，則有

Q=〈a1〉 ×〈a2〉×…×〈as〉

其中

o(ai)=qaii=1，…，s

M=M1×M2× …×Ms

Mi是滿足C〈ai〉(Mi)=1的極小Q-不變子群，i=1，…，s，并且有

CQ(M1)=〈a2〉 ×〈a3〉×…×〈as〉

CQ(M1)∩CQ(M2)=〈a3〉×…×〈as〉

?

CQ(M1)∩CQ(M2)∩…∩CQ(Ms-1)=〈as〉

最后將證明

M×|Q=(Ms×|〈as〉)×(Ms-1×|〈as-1〉)×…×(M1×|〈a1〉)

(1)

Ns-1=M1×M2×…×Ms-1

則M=Ms×Ns-1.因為

CQ(M1)∩CQ(M2)∩…∩CQ(Ms-1)=〈as〉

于是CQ(Ns-1)=〈as〉.記Qs=CQ(Ms)，則

M×|Q=(Ms×|〈as〉)×(Ns-1×|Qs)

由歸納法有

Ns-1×|Qs=(Ms-1×|〈as-1〉)×(Ms-2×|〈as-2〉)×…×(M1×|〈a1〉)

于是

M×|Q=(Ms×|〈as〉)×(Ms-1×|〈as-1〉)×…×(M1×|〈a1〉)

取nk=xik+1…xis，1≠xij∈Mij，則|CQ(nk)|=qαi1+…+αik，其中i1，…，is是1，…，s的重排.

設Irr(G)是有限群G的所有不可約特征標構成的集合.由文獻[1]的定理13.24，可得下面推論：

推論1令有限群G=P×|Q，其中P是初等交換p-群，Q是交換q-群，設Q?Cqα1×…×Cqαs，若Q忠實互素地作用在P上，則對任意k=1，…，s，均存在nk∈P，使得qαi1+…+αik∈cd(G)，其中i1，…，is是1，…，s的重排，cd(G)={χ(1)：χ∈Irr(G)}.