基于山東卷高考數(shù)學(xué)多選題型分析及教學(xué)的思考研究

山東省鄒城市兗礦第一中學(xué) 張延知

隨著“新高考”政策在山東省的落實(shí)，山東卷高考數(shù)學(xué)便在原有的題型基礎(chǔ)上，增添了多選題型。這一題型的開展，其目的在于考查學(xué)生對(duì)全章節(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握。多選題型下的知識(shí)點(diǎn)十分多元，覆蓋的范圍也十分廣泛，包含集和、函數(shù)、幾何、曲線等數(shù)學(xué)類問題，教師可以基于這樣的問題類型，對(duì)學(xué)生的能力進(jìn)行簡(jiǎn)易化和快速性的區(qū)分。這種區(qū)分，讓很多教師愛不釋手。因?yàn)樵谛赂呖颊呗鋵?shí)以前，試卷編制者只編寫和設(shè)計(jì)“單選式”的選擇題，面對(duì)題型的轉(zhuǎn)變，一些教師因?yàn)樽陨淼乃季S定勢(shì)，在訓(xùn)練學(xué)生解題能力的過程里，將單項(xiàng)選擇改成多項(xiàng)選擇，對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)能力進(jìn)行考查。這種考查形式與新高考形勢(shì)下的多選題型完全不同，甚至還會(huì)出現(xiàn)一定的考核誤差，讓學(xué)生的思維得不到發(fā)展。由此可見，在實(shí)際教學(xué)的過程里，教師如若想要提高學(xué)生對(duì)“多選題型”的了解，加強(qiáng)學(xué)生的解題能力，其就要對(duì)現(xiàn)行階段的高考多選試題進(jìn)行研究，只有這樣，教師在日常訓(xùn)練的活動(dòng)開展中，才能夠?yàn)閷W(xué)生設(shè)計(jì)出符合新高考要求的多選題型，在提高學(xué)生邏輯思維能力的同時(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、對(duì)單選題改編多選題的內(nèi)容分析

山東省區(qū)的新高考政策剛落實(shí)兩年，即2020年和2021年，兩年的高考真題中，只包含少量的多選題。所以，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師來說，其還未完全掌握多選題型編制的特點(diǎn)，對(duì)多選題型內(nèi)容設(shè)計(jì)的認(rèn)知也相對(duì)比較匱乏，由此，就出現(xiàn)了“單選”改編“多選”的情況。

比如:設(shè)集和A={x|-3＜x＜4}，B={2，3，4，5，6}，則A∩B≠？

A.{1，2，3} B.{2，3}

C.{3，4，5} D.{2，3，4}

以單選的視角來看此題，答案應(yīng)該為ABC，但編創(chuàng)者忽視了B選項(xiàng)也是兩者有公共交集的一部分，所以，正確答案應(yīng)該是AC。以此題的解答結(jié)果為例，教師如若將此題當(dāng)作多選題的訓(xùn)練題型，可能就與原有的考查目標(biāo)相背離。它沒能考核出數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)，也無法提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，由此可見，多選題并不是非黑即白的全盤否定，也不是幾個(gè)沒有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)在一起的拼湊性命題。

比如2020年山東卷的高考數(shù)學(xué)，其中的第9題，第10題，第11題，第12題，就是高考試卷中的標(biāo)準(zhǔn)化多選題型。以第9題為例，其考查的是學(xué)生對(duì)“曲線知識(shí)”的掌握，學(xué)生如若想要選出正確的答案，就要綜合自己的知識(shí)體系，通過對(duì)“圓”“橢圓”“雙曲線”“直線”的性質(zhì)了解，明確相應(yīng)的正確答案。又以第10題為例，此題考查的是學(xué)生對(duì)“三角函數(shù)y=sin（ωx+ψ）圖像”的掌握和對(duì)“數(shù)形結(jié)合”方法的掌握與應(yīng)用，學(xué)生既要擁有一定的基礎(chǔ)知識(shí)，又要具備一定的邏輯思維。多選題和單選題不同，其中的答案分別對(duì)應(yīng)四個(gè)部分的知識(shí)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的累積以及邏輯思維分析題目條件的能力，有著很高的要求。

用具體的話來說，對(duì)多選題的編創(chuàng)，要注重核心素養(yǎng)的展現(xiàn)，即教師在設(shè)計(jì)多選題的時(shí)候，可以圍繞“教材整體內(nèi)容”進(jìn)行編創(chuàng)，每個(gè)選項(xiàng)之間，都應(yīng)該有內(nèi)容的相通和方法的連接。只有在這樣的編創(chuàng)背景之下，學(xué)生的核心素養(yǎng)才能夠得到提升，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才能夠得到延展，學(xué)生的綜合能力才能夠得到加強(qiáng)。

二、山東卷高考數(shù)學(xué)多選題型分析

1.概念類題型。

概念類題型的命制，一般比較直接，沒有特定情境，沒有特定條件，只是基于對(duì)概念的理解與掌握，選擇相應(yīng)的題目答案。知識(shí)點(diǎn)可以有所關(guān)聯(lián)，也可以沒有關(guān)聯(lián)，但其綜合性要深厚，因?yàn)槎噙x題的本質(zhì)特性，就是為了考查學(xué)生的理性思維能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。

例題1：在下列命題當(dāng)中，正確的是（ ）

A.設(shè)a，b是非零向量，若|a+b|=|a|-|b|，則a垂直于b

B.設(shè)a，b是非零向量，若|a+b|=|a|-|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λa

C.若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，那么向量AB=向量DC是平行四邊形ABCD的充要條件

D.設(shè)a，b是非零向量，若a=b，則a∥b

本題就屬于概念性的多選題，學(xué)生可以依靠平面向量的概念內(nèi)容，判定B、C、D是正確命題。A是錯(cuò)誤的，由|a+b|=|a|-|b|說明a和b共線，且|a|＞|b|。

例題2：下列式子中，錯(cuò)誤的是（ ）

A.sin6＞sin3

B.1+sin30°=3/2

D.5sin1＞4sin2＞3sin3

本題也屬于概念性的多選題，學(xué)生要依照公式進(jìn)行運(yùn)算，通過概念定義，判斷B、C、D為正確答案。D選項(xiàng)的內(nèi)容不易判斷，需要變換形體，學(xué)生可以依托正弦函數(shù)的圖像，沿著斜率角度進(jìn)行思考，也可以依靠sin/x（x∈0，π）的單調(diào)性來評(píng)判，由此可得出D的正確性。

2.情境類題型。

情境類題型是在特定情境下所設(shè)計(jì)的多選題，其題目上包含一定的已知條件，學(xué)生在解析這種類型的多選題時(shí)，要明確題目上所給予的條件，比如概念、性質(zhì)、定義等等。只有明確了題中所給條件，學(xué)生在分析的時(shí)候，才會(huì)拓寬自身的數(shù)學(xué)視野，延展自身的數(shù)學(xué)思維。

以2020年的山東卷多選題12題為例，其就以信息論中的重要概念信息熵為背景，給出了信息熵的數(shù)學(xué)定義，結(jié)合中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，編制了信息熵的數(shù)學(xué)性質(zhì)的四個(gè)命題。試題考查了考生獲取新知識(shí)的能力和對(duì)新概念、新問題的理解探究能力，體現(xiàn)了對(duì)考生數(shù)學(xué)閱讀能力與理解能力的考查。

3.性質(zhì)類題型。

性質(zhì)類題型包含很多內(nèi)容，比如曲線方程、函數(shù)、數(shù)列、幾何等等，這些知識(shí)體系中包含許多性質(zhì)，比較容易設(shè)計(jì)和制定多選題。就像2021年山東卷的多選題第11題和12題，2020年山東卷的9題與12題，2021年的十二題圍繞“正三棱柱”的幾何性質(zhì)進(jìn)行了命題，2020年的九題圍繞“曲線方程”的性質(zhì)進(jìn)行了命題，而十二題則圍繞“信息熵”的性質(zhì)進(jìn)行了命題。

由此可見，性質(zhì)題在多選題中的重要性。為提高學(xué)生的解題能力與邏輯思維能力，教師可以從性質(zhì)題出發(fā)，結(jié)合多元的知識(shí)內(nèi)容，整合知識(shí)內(nèi)容的性質(zhì)，設(shè)立多選題。這樣，學(xué)生就可以在解答題目的過程里，通過性質(zhì)的解析，掌握相應(yīng)的解題方法，最為重要的是，多選題的綜合性，會(huì)讓學(xué)生將自己的知識(shí)體系構(gòu)建起來，比如在解析幾何題的時(shí)候，學(xué)生就會(huì)依靠“數(shù)形結(jié)合”的方法和“幾何體”的性質(zhì)獲取正確答案。學(xué)生在解析的過程里，會(huì)依靠性質(zhì)做出多條輔助線，繼而用不同的輔助線判定相應(yīng)的正確結(jié)論。這個(gè)過程中的解題方法是多元的，內(nèi)容是綜合的，所以，學(xué)生能夠依靠一道“多選題”的結(jié)論分析，提高自身的知識(shí)整合能力，加強(qiáng)自身的知識(shí)分析能力。

單以2021年山東卷的多選題第11題為例：已知點(diǎn)P在圓（x-5）2+（y-5）2=16，點(diǎn)A（4，0），B（0，2），則（ ）

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

此題考查的是圓的性質(zhì)，學(xué)生在解析此題的時(shí)候，就要依托圓的性質(zhì)，解答“點(diǎn)和直線”的問題，并依靠“圖形”的繪制，解答出對(duì)應(yīng)的正確答案。

4.假設(shè)性題型。

在近兩年的山東卷高考數(shù)學(xué)中，編制最多的題型就是假設(shè)性題型，和上述類型的多選題都不同，假設(shè)性題型分為兩個(gè)部分，其一是同條件下的多結(jié)論類型題，其二是多條件下的同結(jié)論類型題。雖然這類多選題也和性質(zhì)相連，但其考查的內(nèi)容與性質(zhì)類題型既有相同性，也有不同性，這種不同就在于，部分假設(shè)性題型所研究的性質(zhì)，并不是數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，而是同一載體下的數(shù)學(xué)性質(zhì)。

A.若F（x）=g(x)·2f（x），那么F（x）的極大值點(diǎn)為2/3，極小值點(diǎn)為2

B.若F（x）=g(x)·2f（x）在[et，+∞]（t∈Z）上有零點(diǎn)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），t的最大值為-2

C.若h（x）=f（x）·g（x），那函數(shù)h（x）的最小值為6

D.若h（x）=f（x）·g（x），那函數(shù)h（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）

本題就展現(xiàn)出了“假設(shè)性題型”與“性質(zhì)類題型”的不同，其就以命題真假為判斷基礎(chǔ)，考查了與二次函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)題目。基于對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的解析，此題的A、B、D是正確的。學(xué)生在解析的過程里，可以求得F（x）的導(dǎo)數(shù)獲取單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間，繼而得出F（x）的極大值與極小值。而在求t值的時(shí)候，學(xué)生要依照性質(zhì)的解析，求得F（x）在[et，+∞）（t∈Z）上有零點(diǎn)，只有這樣，才能夠求出t的最大值為2。

三、山東卷高考數(shù)學(xué)多選題型分析下的教學(xué)思考

1.結(jié)合教材內(nèi)容，重視概念教育。

根據(jù)對(duì)山東卷高考數(shù)學(xué)多選題型的分析，教師要重視概念教育，以對(duì)數(shù)學(xué)定理、概念、公式的有效利用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的思想。而在多選題當(dāng)中，有許多和概念定義相連的問題，由此，高中階段的概念教育尤為重要。教師可以以此加強(qiáng)學(xué)生的解題能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

就比如在學(xué)習(xí)“函數(shù)性質(zhì)”的時(shí)候，教師就要重視單調(diào)性、周期性、奇偶性的概念教育，使其能夠依托概念的掌握與內(nèi)化，解決概念類、性質(zhì)類的多選問題。學(xué)生能夠依靠概念進(jìn)行問題解析，并借助概念的具象掌握，快速確定正確答案。比如上述例題3中的D選項(xiàng)，學(xué)生就能夠依托概念的具象化掌握，確定D選項(xiàng)是正確答案。

2.融合數(shù)學(xué)方法，滲透數(shù)學(xué)思想。

所謂“數(shù)學(xué)思想”，指的就是學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)知，是從某些具象化數(shù)學(xué)認(rèn)知過程中提煉出的一些觀點(diǎn)，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中的普遍規(guī)律，直接支配著數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)。關(guān)于“數(shù)學(xué)方法”的定義，指的就是解決數(shù)學(xué)問題的方法，是解決問題時(shí)所應(yīng)用和采取的策略、路徑和手段。數(shù)學(xué)思想是深層的，它具備普遍的指導(dǎo)性價(jià)值，數(shù)學(xué)方法是淺層的，是解決數(shù)學(xué)問題的直接性手段。根據(jù)對(duì)山東卷高考數(shù)學(xué)多選題型的分析，教師在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程里，就必須要融合數(shù)學(xué)方法，滲透數(shù)學(xué)思想，以“一題多解”“變式訓(xùn)練”的教學(xué)路徑融合數(shù)學(xué)方法，以多元化的教學(xué)方式，滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在思想的延展下，進(jìn)入到問題的深層探討當(dāng)中，繼而提高自身的邏輯思維能力和知識(shí)整合能力。

就比如在學(xué)習(xí)“平面向量”的時(shí)候，教師就可以結(jié)合平面向量的“一題多解”“變式訓(xùn)練”，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的掌握，并在傳遞方法的過程中，滲透數(shù)學(xué)思想。而教師在結(jié)合多元方式滲透數(shù)學(xué)思想的過程里，也要注重?cái)?shù)學(xué)方法的傳遞。這樣就能夠延展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，強(qiáng)化學(xué)生的解題能力。比如在求“向量”取值范圍的時(shí)候，學(xué)生就能夠利用“平方法”來降低難度，結(jié)合“三角換元法”求出對(duì)應(yīng)答案。由于向量取值范圍類的題型兼具“數(shù)形”雙重特征，所以，教師在講述例題解題方法的時(shí)候，就可以向?qū)W生滲透“數(shù)形結(jié)合”思想。此外，學(xué)生們也要掌握一些二級(jí)結(jié)論，這樣能夠提升做題速度，節(jié)省答題時(shí)間，幫助學(xué)生在高考數(shù)學(xué)多選體型中實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的發(fā)展。例如在代數(shù)部分的立方差立方和公式，分子常數(shù)化公式，分子有理化公式。分母有理化公式，在平面幾何部分學(xué)生們掌握的平行四邊形對(duì)角線平方之和等于四條邊平方之和。還有一些集合和立體內(nèi)容部分都包含了諸多的二級(jí)結(jié)論，這些二級(jí)結(jié)論掌握之后，學(xué)生們便可以在多選題型中快速解題。

結(jié)束語

綜上所述，在新高考的時(shí)代背景下，高中數(shù)學(xué)教師所開展的教學(xué)活動(dòng)，離不開學(xué)生素養(yǎng)的培育和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升。從近兩年的高考數(shù)學(xué)山東卷中可以看出，新高考落實(shí)下的選擇題型，增添了多選題型。與單選相比，其中的內(nèi)容更加廣泛，對(duì)學(xué)生思維、能力的考查更加深層。為了讓教師可以在課堂上編創(chuàng)出多元的多選題型，使學(xué)生認(rèn)知到多選題的重要性，教師要對(duì)高考試卷中的這類題型進(jìn)行深層化的研究，通過類型的區(qū)分與總結(jié)，獲取一定的體悟，進(jìn)而在課堂當(dāng)中，以多選題的展現(xiàn)，提高學(xué)生的解題能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而教師在對(duì)“高考多選題”進(jìn)行研究的過程里，既要關(guān)注題目?jī)?nèi)容中所包含的知識(shí)思維考查，又要關(guān)注這些題目在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用。教師可以用題型內(nèi)容的總結(jié)，深化課堂上的概念教育、思維教育以及結(jié)論教育，借此加強(qiáng)學(xué)生的解題能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，深化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的綜合素養(yǎng)。